Deret Geometri Tak Hingga

Modul Pelatihan Matematika SMA 105 Untuk lebih memantapkan tentang barisan berderajat ini, disajikan beberapa contoh. 1. Barisan 2, 5, , , … Terlihat bahwa barisan tersebut adalah barisan aritmetika, sehingga jika dibentuk barisan selisihnya diperoleh selisihnya tetap. 2 5 8 11 3 3 3 Selisih tetap Selisih tetap yaitu 3 diperoleh pada pengurangan pertama sehingga barisan 2, 5, , , … disebut barisan berderajat satu. Dengan demikian, barisan aritmetika juga bisa disebut barisan berderajat satu. 2. Barisan 5, , , 20, 2 , … Pada proses pengurangan pertama, terlihat bahwa barisan selisihnya tidak tetap sehingga barisan ini bukan barisan aritmetika. Proses pengurangan dilanjutkan ke tingkat dua dan diperoleh selisihnya tetap. 5 8 13 20 29 … 3 5 7 9 2 2 2 Selisih tetap=2 Selisih tetap yaitu 2 diperoleh pada pengurangan kedua sehingga barisan 5, 8, , 20, 2 , … disebut barisan berderajat dua 3. Barisan 2, 5, , 5, 0, … Barisan ini bukan merupakan barisan aritmetika, hal tersebut dapat dibuktikan pada tingkat pengurang pertama belum diperoleh selisih tetap. Apakah barisan berderajat dua. Untuk membuktikan hal itu, proses pengurangan dilanjutkan sehingga didapat selisish yang tetap. 2 5 18 45 90 … 3 13 27 45 10 14 18 6 6 Selisish tetap=6 106 Selisih tetap yaitu 6 diperoleh pada pengurangan ketiga sehingga barisan 2, 5, , 5, 0 … disebut barisan berderajat tiga Target utama dalam pembahasan barisan adalah menentukan rumus umum suku ke- n. yaitu u n dari barisan berderajat 2 atau lebih.  Barisan kuadratbederajat dua Bentuk umum u n = a n 2 + b n + c, Proses : u 1 =a+b+c, u 2 =4a +2b +c, u 3 =9a + 3b+c, u 4 =16a+4b+c, i a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+ … ii 3a+b 5a+b 7a+b iii 2a 2a Untuk menentukan rumus umum suku ke- n dari barisan bilangan 25, , , 20, 2 , … dilakukan proses pengurangan berikut i 5 8 13 20 29 … ii 3 5 7 iii 2 2 Dengan mengamati kedua proses pengurangan iii, selisih tetapnya didapat 2a = 2 sehingga a= 1. Substitusikan a=1 pada u 1 ii diperoleh 3 = u 1 = 3a + b = 3 + b sehingga b = 0. Substitusi a=1, b=0 pada u 1 i, didapat 5 = a + b+ c  c = 5 – b – a = 5 – 1 - 0 = 4. Jadi, didapat rumus umum suku ke-n adalah u n = 1 n 2 + 0 n + 4 = n 2 + 4 Modul Pelatihan Matematika SMA 107  Barisan bederajat tiga Bentuk umum suku ke-n adalah u n = a n 3 + b n 2 + cn + d, dengan a, b, c, d bilangan riil. Proses : i a+b+c+d 8a+4b+2c+d 27a+9b+3c+d 64a+16b+4c+d ii 7a+3b+c 19a+5b+c 37a+7b+c iii iv 12a+2b 18a+2b v 6a 6a Untuk menentukan rumus umum suku ke-n, u n dari barisan bilangan 2, 5, 18, 45, 90, … dilakukan dengan membuat proses pengurangan, berikut i 2 5 18 45 90 ii 3 13 27 45 iii 10 14 18 iv 4 4 Dengan mengamati kedua proses pengurangan, dari iv didapat 6a = 4 sehngga sehingga a = . Substitusikan a = pada u 1 iii berlaku 10 = 12a + 2b sehingga b = 1. Substitusi a = dan b=1 pada u 1 ii, didapat 1. = 7a + 3b + c, sehingga c= - . Substitusi a = , b=1, c= - pada u 1 i, didapat d=5. Jadi, didapat rumus umum suku ke-n adalah U n = n 3 + n 2 – n + 5 = 4 n 3 + 3 n 2 – 14 n + 15