Modul Pelatihan Matematika SMA
9
Sifat komutatif dan asosiatif
Untuk sebarang bilangan asli , , dan berlaku
Sifat komutatif Pada penjumlahan: + = +
Pada perkalian: = Sifat asosiatif
Pada penjumlahan: + + = + + Pada perkalian:
= Sifat komutatif dapat kita gunakan untuk menyusun urutan bilangan yang akan
dioperasikan. Sedangkan sifat asosiatif dapat kita gunakan untuk mengelompokkan bilangan-bilangan yang akan dioperasikan.
Apakah sifat komutatif juga berlaku untuk operasi pengurangan dan pembagian dua bilangan asli? Jelaskan jawaban Anda.
Sifat distributif
Misalkan , , dan adalah sebarang bilangan asli, maka berlaku
+ =
+ Pada himpunan bilangan asli
ℕ berlaku sifat distributif penjumlahan terhadap perkalian, coba Anda jelaskan.
Definisi pengurangan
Operasi pengurangan didefinisikan dalam bentuk penjumlahan sebagai berikut: − = � b�rar�i = + �
Himpunan ℕ tidak tertutup terhadap operasi pengurangan, cukup ditunjukkan satu
contoh penyangkal, sebagai berikut. Dipilih 2, 3
ℕ dan dibuktikan − ≠ − Menurut definisi pengurangan,
− = , karena = + . Tetapi − ℕ karena
menurut definisi pengurangan, = + � dan tidak terdapat x ℕ sehingga 2=3+x.
Jadi, himpunan ℕ tidak bersifat komutatif terhadap operasi pengurangan.
10
2. Bilangan Bulat
Mula-mula orang hanya memerlukan himpunan bilangan asli untuk perhitungan sehari-hari, misalnya seorang peternak mencacah banyak hewan ternak yang
dimilikinya. Pada suatu saat, sang peternak tersebut mendapat musibah karena semua hewan ternaknya mati terserang wabah penyakit. Misalkan semula peternak
tersebut mempunyai 100 ekor ternak. Karena mati semua maka hewan ternaknya habis tidak tersisa. Dalam kasus peternak tersebut, operasi hitung yang terjadi adalah
− . Untuk semesta himpunan bilangan asli
ℕ, kita tidak dapat menemukan suatu bilangan yang memenuhi hasil operasi
− . Oleh karena itu perlu
dilakukan perluasan dengan menambah satu bilangan baru, yaitu yang merupakan hasil operasi
− . Himpunan bilangan asli yang sudah diperluas dengan
menambah bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah whole
numbers, dinotasikan dengan �. Dengan demikian � = { , , , , , , 6, , , … }.
Himpunan bilangan cacah diperluas lagi dengan menambahkan lawan dari setiap bilangan asli. Sebagai contoh, lawan dari bilangan , yang dinotasikan dengan
− , adalah suatu bilangan yang jika ditambahkan dengan akan memberikan hasil . Jika
lawan dari semua bilangan asli tersebut ditambahkan ke dalam himpunan bilangan cacah
�, maka akan diperoleh himpunan bilangan baru yang dinamakan himpunan bilangan bulat integers, dan dinotasikan dengan
ℤ berasal dari bahasa Jerman Zahlen
” . Dengan demikian ℤ = {… , − , − , − , − , , , , , , … }. Himpunan bilangan bulat
ℤ dapat diklasifikasikan ke dalam tiga kelompok, yaitu: Himpunan bilangan bulat positif: { , , , , … }
Nol: { } Himpunan bilangan bulat negatif: {… , − , − , − , − }
Pembagian bilangan bulat
Pembagian didefinisikan sebagai lawan dari operasi perkalian. Jika dan masing-masing adalah bilangan bulat, dengan
≠ , maka pembagian ÷ , dinyatakan sebagai , dan didefinisikan sebagai
= b�rar�i =
