Algoritma Kekar untuk Regresi Bolak-balik Robust Alternating

41 dalam model faktor. Standarisasi awal ini bersesuaian dengan matriks korelasi yang berbasis Faktor Analitik. Langkah 1: Nilai awal. Pertama, dilakukan analisis komponen utama yang kekar, robust principal component analysis PCA. Skor komponen utama dijadikan sebagai nilai awal ̂ untuk skor faktor. Kemudian kita gunakan Projection Pursuit PP berbasis pada estimator yang diimplementasi dalam Croux dan Ruiz-Gazen 1996. Metode yang berbasis pada PP ini dapat menangani kondisi G E, dan sangat kekar. Dengan pendekatan ini kita dapat mencukupkan perhitungan hanya sampai sejumlah k-komponen pertama yang diperlukan saja, sehingga dapat lebih cepat. Menggunakan PCA biasa pada langkah ini dapat memperlambat tercapainya kekonvergenan, bahkan dapat memberikan hasil yang tidak kekar bila terdapat banyak pencilan. Langkah 2: Proses iterasi. Anggaplah iterasi sekarang pada langkah ke –t t  1 dan ̂ telah diperoleh Pertama dihitung pembobot bagi baris w i t , yang menjadi downweight bagi pencilan pada gugus skor dugaan { ̂ | } � . Kemudian dihitung ̂ � ∑ ̂ untuk j = 1, . . . , E: Pada bagian ini kita mengepas regresi L1 sebanyak E kali dan akan selalu diulang pada setiap langkah iterasi. Kita perhatikan bahwa nilai loadings juga diduga pada saat yang sama, sehingga memudahkan dalam implementasi algoritma ini. Untungnya, telah terdapat algoritma regresi L1 yang sangat efisien, sehingga menghemat waktu. Pembobot w i t , hanya perlu dihitung sekali dalam setiap langkah iterasi. Perhitungan pembobot kolom v j t analog dengan pembobot baris. Pembobot kolom ini akan menurunkan bobot pencilan pada gugus dugaan vector loading { ̂ | } � . Kemudian dihitung ̂ � ∑ ̂ untuk i = 1, . . ., G. Nilai dari fungsi tujuan yang dioptimasi telah dihitung untuk penduga ̂ yang diperoleh pada langkah ke t 1 dan langkah ke t dibandingkan. Jika tidak ada perbedaan yang esensial, maka proses iterasi dihentikan dan kita memperoleh ̂ ̂ untuk dan ̂ ̂ dengan . Jika tidak maka Langkah 2 diulang. Langkah 3: Orthogonalisasi. Langkah terakhir ini adalah pilihan, dapat dilakukan dapat pula tidak, karena tidak akan mengubah nilai dugaan fitted values ̂ ̂ ̂ . Kemudian kita hitung penduga robust bagi matriks peragam ̂ dari skor dugaan { ̂ | }. Karena skor hanya memiliki dimensi sebanyak k yang kecil, maka matriks ̂ dapat dihitung degan cepat. Sedangkan ̂ dihitung berdasarkan penduga Minimum Covariance Determinant MCD terboboti reweighted MCD estimator dengan nilai breakdown value 25, melalui algoritma FAST-MCD milik Rousseeuw dan van Driessen 1999. Kita memilih nilai breakdown sebesar 25 pada MCD untuk mendapatkan kombinasi sifat kekekaran robustness dan efisiensi pada penduganya sebagaimana disarankan oleh Croux dan Haesbroeck 2000. Setelah itu, kita transformasi ̂ ̂ ̂ dan ̂ ̂ ̂ sehingga matriks peragam yang kekar robust covariance matrix bagi nilai dugaan skor sekarang adalah matriks identitas, yang sesuai dengan syarat model � ̂ . Pengaruh lainnya adalah bahwa biplot yang merepresentasi pengamatan, pada Langkah 4 43 tidak akan menunjukkan struktur korelasi, dalam praktik ini merupakan hal umum terjadi Gower Hand 1996. Langkah 4: Sisaan, uniquenesses, biplot. Nilai sisaan diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ dan dapat diplot terhadap indeks baris-kolom i, j pada plot 2 dimensi. Plot ini berguna untuk deteksi pencilan. Dari sisaan ini nilai uniquenesses dapat diduga sebagai ̂ ̂ . Dan pada umumnya digunakan dimesi dua, k = 2, dapat diperoleh representasi observasi oleh ̂ , ̂ dan peubah oleh ̂ , ̂ secara tumpang tindih pada satu plot 2 dimensi yang sama yang disebut biplot. Hal ini juga memungkinkan untuk melakukan regresi bolak-balik menggunakan penduga regresi lainnya, seperti penduga-M M-estimator dan penduga median kuadrat terkecil Least Median Square estimator, selanjutnya disingkat LMS. Hal ini bahkan mungkin untuk menjalankan algoritma dengan penduga regresi Kuadrat Terkecil tak-robust, menghasilkan hasil yang sama dengan pendekatan klasik Gabriel 1978 yang berbasis pada dekomposisi nilai singular. Regresi bolak-balik menggunakan algoritma LMS telah dipertimbangkan oleh Ukkelberg dan Borgen 1993. Namun, dengan menggunakan LMS menghasilkan algoritma yang sangat memakan waktu. Courx et al. 2003 menunjukkan bahwa penduga RAR memberikan metode faktor analisis yang paling memuaskan sehubungan dengan waktu komputasi, robustness, dan konvergensi algoritma yang stabil. Meskipun tidak ada bukti konvergensinya, banyak simulasi dan contoh telah menunjukkan kinerja yang baik secara numerik dan statistika. Prosedur RAR memerlukan pemilihan beberapa penduga kekar pelengkap dan fungsi pembobotan. 3.5 Kajian Kekekaran Model FANOVA terhadap Tambahan Nilai Ekstrim 3.5.1 Data dengan Tambahan Nilai Ekstrim Kajian ini dilakukan dengan memberikan tambahan nilai ekstrim pada data yang berasal dari salah satu percobaan BB Padi dalam rangka mengembangkan beras fungsional kaya Fe melalui program biofortifikasi Fe yang dilakukan bekerjasama dengan IRRI. Percobaan ini dilakukan di 7 lokasi pada musim tanam 2007 melibatkan 8 galur hasil pemuliaan dan 2 varietas pembanding. Penambahan pencilan dilakukan pada arah baris dan kolom pada tabel dua arah matriks IGL, karena penambahan pencilan pada ulangan tidak memberikan pengaruh terhadap analisis kestabilan IGL sebagaimana dilaporkan oleh Zulhayana et al. 2011. Banyaknya nilai ekstrim yang ditambahkan adalah sebanyak 2, 5 dan 10 masing-masing dengan 2 ulangan, satu ulangan pada baris dan yang lain pada kolom. Nilai ekstrim yang diberikan adalah nilai ekstrim pada arah kananatas, nilai ekstrim arah kiri dianggap sama karena distribusi normal yang simetrik. Penambahan ini dilakukan secara acak pada baris-baris atau kolom-kolom, namun tambahan nilai sebesar 3 kali simpangan baku diberikan pada sel dengan nilai tertinggi pada bariskolom terpilih.

3.5.2 Kekekaran Model FANOVA terhadap Tambahan Nilai Ekstrim

Nilai ekstrim diberikan sebanyak 2, 5 dan 10 atau 1, 4 dan 8 buah dengan tambahan sebesar 3 kali simpangan baku menurut bariskolom diberikan pada sel dengan nilai tertinggi pada bariskolom terpilih. Hal ini dilakukan untuk memberikan pencilan pada bariskolom yang berbeda. Penambahan pada pengamatan ekstrim baris belum tentu teridentifikasi pencilan pada pengaruh baris, karena bisa jadi pengaruh yang lebih besar justru dirasakan oleh kolom bila baris-baris lain lebih rendah, atau mungkin juga pengaruhnya hilang oleh pengamatan pada sel-sel lain. Penambahan satu buah sel nilai ekstrim, baik pada baris maupun kolom memberikan hasil pendugaan model kekar yang memberikan pembobot pada suatu pengamatan sebagai pengamatan pengungkit, meskipun tidak terdeteksi sebagai pengaruh pencilan. Sedangkan pada penambahan pencilan sebanyak 4 buah 5 pada kolom teridentifikasi satu pengaruh pencilan dan satu pengukit 45 yaitu pada baris ke-8. Sedangkan penambahan 8 buah pencilan 10 pada baris menghasilkan identifikasi 1 pencilan yang berpengaruh pada sisi baris, sebaliknya pada 10 pencilan pada kolom Tabel 3.1 Pembobot bagi pengaruh pengungkit pada penambahan nilai ekstrim Penambahan nilai Ekstrim 10 pada baris Pembobot Baris G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Pembobot Kolom L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 0.0502064 1 1 1 1 1 1 1 Penambahan nilai Ekstrim 10 pada Kolom Pembobot Baris G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 1 1 1 0.24275 1 1 1 1 1 1 Pembobot Kolom L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 1 1 1 1 1 1 1 1 Bila kita menambahkan nilai ekstrim pada baris dan kolom sekaligus, maka model akan mendeteksi lebih banyak pencilan. Namun suatu bariskolom dapat memiliki pencilan pada dua sisi atas dan bawah. Hal ini terjadi pada penambahan 1 nilai ekstrim pada baris dan 1 pada kolom. Gambar 3.1 menunjukkan boxplot bagi pengaruh baris dan kolom model FANOVA Kekar. Dua nilai ekstrim yang ditambahkan terdeteksi sebagai pengaruh pencilan kolom dalam dua arah, atas dan bawah. Keduanya juga merupakan pengamatan pengungkit yang kemudian diboboti dengan lebih rendah. Tabel 3.2 Pembobot bagi pengaruh pengungkit pada penambahan nilai ekstrim baris dan kolom sekaligus Penambahan nilai Ekstrim 10 pada baris dan kolom Pembobot Baris G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 1 1 1 0.28777 1 1 1 1 1 1 Pembobot Kolom L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 1 1 1 1 1 0.7517 1 1