Kesesuaian Dua Konfigurasi Matriks: Metode Procrustes

27 Mahalanobis di dalamnya. Jarak antar titik tidak berubah dengan berubahnya titik asal origin, tidak pula berubah bila sumbu koordinatnya diputar. Dua figur dalam ruang dimensi r dan masing-masing mewakili n titik dikatakan kongruen jika keduanya dibedakan oleh suatu transformasi yang kekar. Dua figur, X dan X , dikatakan mempunyai bentuk yang sama jika keduanya dihubungkan oleh suatu transformasi kesamaan sehingga : X =  X  + 1N  T dimana |  | = 1,  berukuran r × 1 dan  0 adalah skalar. , , merupakan komponen translasi, skala dan rotasi transformasi kesamaan dari X ke X . Metode Procrustes Biasa Ordinary Procrustes Method bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi titik yang mewakili n unit pengamatan yang sama. Pada prinsipnya, untuk melihat kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi, salah satu konfigurasi dibuat tetap, sementara konfigurasi lainnya ditransformasi sehingga cocok dengan konfigurasi yang pertama Digby Kempton , 1987. Menurut Digby dan Kempton 1987 ada tiga tipe transformasi yang diperlukan : translasi, rotasi sumbu koordinat dan penskalaan yang dilakukan jika kedua konfigurasi mempunyai skala yang tidak sama. Translasi adalah perpindahan paralel dari setiap titik pengamatan ke suatu titik asal yang baru. Secara aljabar, translasi ini dapat dinyatakan sebagai X = XH dengan H matrik translasi, X adalah matriks data dan X adalah matriks data setelah ditranslasi. Rotasi adalah perputaran titik ataupun sumbu koordinat. Pada metode Procrustes ini, rotasi yang diperbolehkan adalah rotasi sumbu koordinat. Pada dasarnya, rotasi ini adalah penggunaan suatu matriks ortogonal sebagai matriks transformasi. Jadi, jika suatu gugus pengamatan X ingin dirotasikan dengan suatu matriks rotasi , X = X , maka matriks  tersebut haruslah memenuhi kedua sifat tersebut di atas, atau secara aljabar linear dapat dituliskan sebagai  T  = I dan  T = I Pada metode Procrustes, jenis perpindahan yang dipilih adalah perpindahan yang dapat meminimumkan jumlah kuadrat jarak antara tititk-titik pada konfigurasi yang dipindahkan terhadap titik-titik yang sesuai pada konfigurasi yang dibuat tetap Digby Kempton, 1987. Statistik R-kuadrat adalah salah satu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan kesamaan bentuk kedua konfigurasi yang dibandingkan. Nilai ini menunjukkan berapa persen pengamatan pada kedua konfigurasi yang dapat dianggap sama. Jika nilai ini sama dengan 1 100 , berarti kedua konfigurasi mempunyai bentuk yang sama. Perbedaan yang terdapat sebelum teknik Procrustes diterapkan hanya disebabkan karena rotasi, translasi atau penskalaan. Anggaplah kita memiliki dua konfigurasi yaitu A dan R. Konfigurasi A tetap sedangkan konfigurasi R ditransformasi menjadi Z, dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, ingin didapat, ˆ , dan  ˆ yang bisa meminimumkan jumlah kuadrat jarak m 2 AR titik-titik yang dipindahkan terhadap titik-titik yang sepadan pada konfigurasi yang dibuat tetap. Secara aljabar dituliskan sebagai m 2 AR = tr A-Z T A-Z Untuk meminimumkan nilai m 2 AR ini, akan lebih baik kalau kedua matriks A dan R dipusatkan terlebih dahulu di titik asal. Matriks translasi dugaan dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan : τ Γ R R β A A N 1 ~ ~     dengan A ~ dan R ~ adalah matriks data terpusat. Nilai  dan matriks rotasi  diperoleh dengan meminimumkan : ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 Γ R A Γ R R Γ A A Γ R β S A Γ R β S A T T T T T tr tr tr tr        Misalkan penguraian nilai singular Singular Value Decomposition dari R A ~ ~ didefinisikan : T ULQ R A  ~ ~ maka dugaan nilai , matriks  adalah: T QU Γ  . Karena Q dan U adalah matriks ortogonal, maka matriks Γ juga merupakan matriks ortogonal, sehingga matriks ini dapat dipergunakan sebagai matriks rotasi. Sedangkan penduga parameter skala adalah : 29 ~ ~ ~ ~ R R Γ R A T T tr tr   . Matriks kesalahan adalah simpangan matriks dugaan terbaik Z terhadap matriks target, yaitu matriks A. Matriks kesalahan secara aljabar dapat ditulis dalam bentuk: E = A - Z. Dengan demikian, jumlah kuadrat galat ini adalah jumlah kuadrat unsur- unsur pada matriks simpangan. Jumlah Kuadrat Total JKT dan Jumlah Kuadrat Galat JKG secara aljabar dapat dituliskan : JKT = tr A’A dan JKG = tr A-Z T A-Z. Sedangkan R 2 yang merupakan suatu ukuran kesamaan kedua konfigurasi dapat dihitung dengan rumus : R 2 = 1 - JKGJKT = 1 - tr A-Z T A-Ztr A T A . Pembandingan kedua gugus data dilakukan dengan melihat besarnya nilai R 2 . Jika nilai R 2 mendekati nilai 1 100 , berarti dua gugus data yang dibandingkan memiliki kemiripan karakteristik. Dalam GENSTAT, procrustes rotasi ortogonal adalah metoda yang paling umum digunakan dan disajikan oleh The ROTATION Directive. Anggaplah bahwa ada dua satuan koordinat untuk n titik dengan r dimensi dalam n×r matriks X dan Y. Gugus X dijadikan acuan yang dianggap tetap, dan konfigurasi Y akan digeser dan diputar sedemikian sehingga diperoleh kesesuaian terbaik terhadap X. Di sini “terbaik” berarti meminimumkan penjumlahan dari jarak kuadrat antara titik- titik pada koordinat X dan koordinat “terbaik” setelah digeser dan diputar, titik-titik pada Y. Translasi terbaik pergeseran titik origin, membuat centroids untuk kedua koordinatnya secara bersamaan, ini mudah dilakukan dengan mentranslasi kedua koordinat tersebut sedemikian sehingga centroidsnya adalah di titik asal itu. Setelah translasi, untuk mencari rotasi terbaik dilakukan SVD Lawes Agricultural Trust, 2003.

2.10 Uji Nisbah Kemungkinan Likelihood Ratio Test

Setiap model dapat dihitung nilai Likelihoodnya. Model dengan Likelihood yang rendah lebih disukai, sehingga untuk mendapatkan model yang baik dapat dilakukan pengujian melalui perbandingan nilai Rasio Likelihood, atau selisih Log-likelihoodnya. Keuntungan menggunakan uji ini adalah tidak diperlukannnya pendugaan galat. Anggaplah L 1 menjadi nilai maksimum likelihood dari data tanpa asumsi tambahan. Dengan kata lain, L 1 adalah likelihood data dengan semua parameter tak terestriksi, dan penduga maksimum likelihood menggantikan parameter ini. Sedangkan L menjadi nilai maksimum likelihood ketika parameter dibatasi dan direduksi jumlahnya didasarkan pada asumsi. Asumsikan sebanyak k parameter berkurang. Artinya L memiliki banyaknya parameter yang kurang dari banyaknya parameter pada L 1 dengan selisih sebanyak k parameter. Bentuk nisbah L L 1 akan selalu memiliki nilai antara 0 dan 1 dan kecil kemungkinannya nisbah ini akan bernilai kecil. Statistik G = -2 ln L L 1 akan semakin besar nilainya jika nilai rasio likelihood L L 1 semakin besar. Statistik G mengikuti sebaran Khi-kuadrat dengan derajat bebas k. Statistik uji G juga dapat digunakan untuk memeriksa apakah nilai yang diduga dengan peubah di dalam model lebih baik jika dibandingkan dengan model tereduksi Hosmer Lemeshow 1989. 31

BAB III. PENANGANAN PENGAMATAN PENCILAN PADA MODEL AMMI

3.1 Pengantar

Pengamatan pencilan sering mendapat perhatian pada analisis statistika. Ukuran pemusatan dan penyebaran data yang sering digunakan seperti rataan mempunyai sifat rentan terhadap adanya pencilan. Akibat satu pengamatan yang sangat jauh berbeda nilainya dari sesamanya akan cenderung mempengaruhi nilai rataan. Demikian juga dengan ragam, karena ragam diukur menggunakan konsep rataan jarak kuadrat pengamatan terhadap rataannya maka ia juga rentan terhadap pencilan. Hampir semua prosedur statistik yang mendasarkan pada statistik rataan dan ragam serta sebaran normal pada umumnya, secara teori akan menghadapi hal yang sama. Termasuk di dalamnya pendekatan kuadrat jarak terkecil atau Least Square. Selain rataan dan ragam, dikenal pula ukuran pemusatan dan penyebaran lain yaitu median dan simpangan mutlak median atau Median Absolute Deviation MAD. Dua statistik ini berbasis median yang relatif tegar terhadap pencilan. Terkait dengan itu, beberapa prosedur statistika dikembangkan menurut kedua model di atas, antara lain regresi kekar dengan konsep simpangan median mutlak terkecil atau least absolut menggantikan least square. Prosedur-prosedur ini kemudian disebut dalam kelas pemodelan atau pendekatan “robust”. Pada data numerik yang mengikuti sebaran normal, keberadaan pencilan pada satu sisi tertentu akan menimbulkan kemenjuluran skewnesss yang cenderung terdeteksi sebagai ketaknormalan. Model AMMI sebagaimana model- model lain yang menggunakan SVD seperti Analisis Komponen Utama dan Analisis Faktor, rentan terhadap adanya pencilan, karena SVD berbasis Least Square . Sedangkan dalam upaya merakit sifat-sifat unggul pada suatu genotipe, pencilan justru menjadi sesuatu yang berharga, karenanya mengabaikan keberadaannya tidaklah bijaksana. Untuk itu diperlukan metode yang relatif ”kekar” terhadap adanya pencilan.