Kesesuaian Dua Konfigurasi Matriks: Metode Procrustes
27 Mahalanobis di dalamnya. Jarak antar titik tidak berubah dengan berubahnya titik
asal origin, tidak pula berubah bila sumbu koordinatnya diputar. Dua figur dalam ruang dimensi r dan masing-masing mewakili n titik
dikatakan kongruen jika keduanya dibedakan oleh suatu transformasi yang kekar. Dua figur, X dan X
, dikatakan mempunyai bentuk yang sama jika keduanya dihubungkan oleh suatu transformasi kesamaan sehingga :
X =
X + 1N
T
dimana | | = 1, berukuran r × 1 dan 0 adalah skalar. , , merupakan
komponen translasi, skala dan rotasi transformasi kesamaan dari X ke X .
Metode Procrustes Biasa Ordinary Procrustes Method bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi titik yang mewakili n unit pengamatan yang
sama. Pada prinsipnya, untuk melihat kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi, salah satu konfigurasi dibuat tetap, sementara konfigurasi lainnya
ditransformasi sehingga cocok dengan konfigurasi yang pertama Digby Kempton , 1987.
Menurut Digby dan Kempton 1987 ada tiga tipe transformasi yang diperlukan : translasi, rotasi sumbu koordinat dan penskalaan yang dilakukan jika
kedua konfigurasi mempunyai skala yang tidak sama.
Translasi
adalah perpindahan paralel dari setiap titik pengamatan ke suatu titik asal yang baru. Secara aljabar, translasi ini dapat dinyatakan sebagai X
= XH dengan H matrik translasi, X adalah matriks data dan X
adalah matriks data setelah ditranslasi.
Rotasi
adalah perputaran titik ataupun sumbu koordinat. Pada metode Procrustes ini, rotasi yang diperbolehkan adalah rotasi sumbu koordinat. Pada dasarnya,
rotasi ini adalah penggunaan suatu matriks ortogonal sebagai matriks transformasi.
Jadi, jika suatu gugus pengamatan X ingin dirotasikan dengan suatu
matriks rotasi
, X = X
, maka matriks tersebut haruslah memenuhi kedua sifat tersebut di atas, atau secara aljabar linear dapat dituliskan sebagai
T
= I
dan
T
= I
Pada metode Procrustes, jenis perpindahan yang dipilih adalah perpindahan yang dapat meminimumkan jumlah kuadrat jarak antara tititk-titik
pada konfigurasi yang dipindahkan terhadap titik-titik yang sesuai pada konfigurasi yang dibuat tetap Digby Kempton, 1987. Statistik R-kuadrat
adalah salah satu ukuran yang digunakan untuk menggambarkan kesamaan bentuk kedua konfigurasi yang dibandingkan. Nilai ini menunjukkan berapa persen
pengamatan pada kedua konfigurasi yang dapat dianggap sama. Jika nilai ini sama dengan 1 100 , berarti kedua konfigurasi mempunyai bentuk yang sama.
Perbedaan yang terdapat sebelum teknik Procrustes diterapkan hanya disebabkan karena rotasi, translasi atau penskalaan.
Anggaplah kita memiliki dua konfigurasi yaitu A dan R. Konfigurasi A tetap sedangkan konfigurasi R ditransformasi menjadi Z, dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil, ingin didapat, ˆ , dan
ˆ
yang bisa meminimumkan jumlah kuadrat jarak m
2 AR
titik-titik yang dipindahkan terhadap titik-titik yang sepadan pada konfigurasi yang dibuat tetap. Secara aljabar dituliskan sebagai
m
2 AR
= tr A-Z
T
A-Z Untuk meminimumkan nilai m
2 AR
ini, akan lebih baik
kalau kedua matriks A dan R dipusatkan terlebih dahulu di titik asal.
Matriks translasi dugaan dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan :
τ Γ
R R
β A
A
N
1 ~
~
dengan
A ~
dan
R ~
adalah matriks data terpusat.
Nilai
dan matriks rotasi diperoleh dengan meminimumkan :
~ ~
2 ~
~ ~
~ ~
~ ~
~
2
Γ R
A Γ
R R
Γ A
A Γ
R β
S A
Γ R
β S
A
T T
T T
T
tr tr
tr tr
Misalkan penguraian nilai singular Singular Value Decomposition dari
R A
~ ~
didefinisikan :
T
ULQ R
A
~ ~
maka dugaan nilai
, matriks adalah:
T
QU Γ
.
Karena Q dan U adalah matriks ortogonal, maka matriks Γ juga merupakan
matriks ortogonal, sehingga matriks ini dapat dipergunakan sebagai matriks rotasi. Sedangkan penduga parameter skala adalah :
29
~ ~
~ ~
R R
Γ R
A
T T
tr tr
. Matriks kesalahan adalah simpangan matriks dugaan terbaik Z terhadap
matriks target, yaitu matriks A. Matriks kesalahan secara aljabar dapat ditulis
dalam bentuk:
E = A - Z.
Dengan demikian, jumlah kuadrat galat ini adalah jumlah kuadrat unsur- unsur pada matriks simpangan. Jumlah Kuadrat Total JKT dan Jumlah Kuadrat
Galat JKG secara aljabar dapat dituliskan : JKT = tr
A’A dan JKG = tr A-Z
T
A-Z.
Sedangkan R
2
yang merupakan suatu ukuran kesamaan kedua konfigurasi dapat dihitung dengan rumus :
R
2
= 1 - JKGJKT
= 1 - tr A-Z
T
A-Ztr A
T
A .
Pembandingan kedua gugus data dilakukan dengan melihat besarnya nilai R
2
. Jika nilai R
2
mendekati nilai 1 100 , berarti dua gugus data yang dibandingkan memiliki kemiripan karakteristik.
Dalam GENSTAT, procrustes rotasi ortogonal adalah metoda yang paling umum digunakan dan disajikan oleh The ROTATION Directive. Anggaplah
bahwa ada dua satuan koordinat untuk n titik dengan r dimensi dalam n×r matriks X dan Y. Gugus X dijadikan acuan yang dianggap tetap, dan konfigurasi Y akan
digeser dan diputar sedemikian sehingga diperoleh kesesuaian terbaik terhadap X. Di sini “terbaik” berarti meminimumkan penjumlahan dari jarak kuadrat antara
titik- titik pada koordinat X dan koordinat “terbaik” setelah digeser dan diputar,
titik-titik pada Y. Translasi terbaik pergeseran titik origin, membuat centroids untuk kedua koordinatnya secara bersamaan, ini mudah dilakukan dengan
mentranslasi kedua koordinat tersebut sedemikian sehingga centroidsnya adalah di titik asal itu. Setelah translasi, untuk mencari rotasi terbaik dilakukan SVD
Lawes Agricultural Trust, 2003.