Wenni Junida : Penentuan Jumlah Produksi Optimal Untuk Memaksimumkan Laba Dengan Menggunakan Metode Integer Programming Di PT. Cahaya Kawi Ultra Polyintraco, 2010.
3.4.2. Bentuk Umum Model Pemrograman Linier
Fungsi Tujuan : Maksimumkanminimumkan Z =
∑
= n
j j
j
X C
1
. Terhadap fungsi kendala :
≤
1 1
2 12
1 11
. .
. b
X a
X a
X a
n n
= +
+ +
≥ ≤
2 2
2 22
1 21
. .
. b
X a
X a
X a
n n
= +
+ +
≥ ≤
i n
mn i
i
b X
a X
a X
a =
+ +
+ .
. .
2 2
1 1
≥
≥
j
X
di mana : X
j
: variabel keputusan ke-j C
j
: parameter fungsi tujuan ke-j b
i
: kapasitas kendala ke-i a
ij
: parameter fungsi kendala ke-i untuk variabel keputusan ke-j i
: 1,2, . . . , m j : 1,2, . . . , n
3.4.3. Asumsi Model Pemrograman Linier
Program linier memiliki asumsi tertentu yang harus dipenuhi, yakni : 1.
Proportional Dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau
penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level
Wenni Junida : Penentuan Jumlah Produksi Optimal Untuk Memaksimumkan Laba Dengan Menggunakan Metode Integer Programming Di PT. Cahaya Kawi Ultra Polyintraco, 2010.
nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi.
2. Additivity
Additivity menyatakan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas. Sifat ini berlaku bagi fungsi tujuan maupun kendala.
3. Divisibility
Asumsi ini menyatakan bahwa variabel keputusan diperbolehkan memiliki nilai yang tidak integer.
4. Deterministic
Setiap parameter koefisien fungsi objektif, ruas sisi kanan koefisien pembatas diketahui secara pasti. Hal ini menunjukkan bahwa semua
parameter model berupa konstanta.
3.4.4. Metode Simpleks
Untuk memecahkan masalah program linier, pada tahun 1947 George Dantzig menemukan sebuah metode yang sangat efisien yakni metode simpleks.
Langkah-langkah penyelesaian program linier dengan metode simpleks
10
1. Program linier LP harus dibuat dalam bentuk standar, yakni :
:
- Kendala dalam bentuk persamaan dan konstanta sisi kanan right hand
side = RHS semua positif -
Semua variabel non negatif -
Fungsi tujuan dapat maksimum atau minimum
10
Sri Mulyono, Riset Operasi. Jakarta. 2004, hlm 32
Wenni Junida : Penentuan Jumlah Produksi Optimal Untuk Memaksimumkan Laba Dengan Menggunakan Metode Integer Programming Di PT. Cahaya Kawi Ultra Polyintraco, 2010.
2. Bentuk standar model LP dibuat dalam bentuk tabel simpleks sehingga
memudahkan perhitungan. Adapun bentuk standar tabel simpleks adalah
11
Contoh : Maks. Z = 5X
1
+ 2X
2
+ 3X
3
+ - X
4
+ X
5
Kendala : X
1
+ 2X
2
+ 2 X
3
+ X
4
= 8 ...1
3X
1
+ 4X
2
+ X
3
+ X
5
= 7 ...2
X
1
,..., X
5
≥ 0
Tabel 3.2. Bentuk Standar Tabel Simpleks
Cb Cj
5 2
3 -1
1 Konstanta
Basis X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
-1 X
4
1 2
2 1
8 1
X
5
3 4
1 1
7 row
3 4
Z= -1 Sumber Sitompul, Darwin. Riset Operasi I. 2006
C
b
adalah koefisien dari variabel basis pada fungsi tujuan C
j
adalah koefisien dari variabel non basis pada fungsi tujuan. P
j
adalah nilai pada tiap kolom dan baris Z = Cb x Konstanta
row = Cj-CbPj Contoh : row
1
= 5--1,1 = 5 – -1+3 = 3
Z = Cbkonstanta = -1,1 = - 1
3. Dari tabel simpleks standar dapat dilihat bahwa bentuk dasar sudah dalam
sistem kanonikal X
4
hanya ada di pers 1 dan X
5
hanya ada di pers 2, maka X
4
dan X
5
sebagai variabel basis. Jika simpleks standar tidak dalam
11
Sitompul, Darwin. Riset Operasi I. 2006.
Wenni Junida : Penentuan Jumlah Produksi Optimal Untuk Memaksimumkan Laba Dengan Menggunakan Metode Integer Programming Di PT. Cahaya Kawi Ultra Polyintraco, 2010.
bentuk kanonikal maka harus diubah ke dalam bentuk kanonikal dengan menambah variabel artificial.
4. Berdasarkan bentuk standar, temukan solusi layak dasar awal initial basic
feasible solution. Dari contoh diperoleh solusi awal : X
1
=X
2
=X
3
=0, X
4
=8 dan X
5
=7. Maka Z = 50 + 20 + 30 -18 + 17 = -1. 5.
Periksa optimalitas, dimana untuk maksimisasi solusi optimal jika semua row harus bernilai negatif atau nol. Dari Tabel 3.2. diketahui solusi
belum optimal maka dilanjutkan dengan mencari solusi yang lebih baik. Untuk maksimisasi, pilih entering variable variabel nonbasis yang akan
menjadi basis row paling positif X
3
sebagai entering variable, dan leaving variable variabel basis yang akan keluar dari menjadi nonbasis
berdasarkan hukum rasio minimum, yakni :82=4 atau 71 = 1. Maka dipilih X
4
sebagai leaving variable.
Tabel 3.3. Tabel Simpleks 1
Cb Cj
5 2
3 -1
1 Konstanta
Basis X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
-1 X
4
1 2
2 1
8 1
X
5
3 4
1 1
7 row
3 4
Z= -1
Elemen perpotongan disebut elemen pivot dan untuk menghitung sistem kanonikal baru elemen harus dijadikan 1 dan elemen lain di kolom pivot
dijadikan nol.
Wenni Junida : Penentuan Jumlah Produksi Optimal Untuk Memaksimumkan Laba Dengan Menggunakan Metode Integer Programming Di PT. Cahaya Kawi Ultra Polyintraco, 2010.
Tabel 3.4. Tabel Simpleks 2
Cb Cj
5 2
3 -1
1 Konstanta
Basis X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
3 X
3
12 1
1 12
4 1
X
5
52 3
-12 1
3 row
1 -4
-2 Z= 15
6. Dilakukan iterasi sampai diperoleh hasil optimal dimana row bernilai
negatif atau nol. Berikut Tabel optimal untuk contoh diatas,
Tabel 3.5. Tabel Simpleks 3
Cb Cj
5 2
3 -1
1 Konstanta
Basis X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
3 X
3
25 1
35 -15
175 5
X
1
1 65
-15 25
65 row
-265 -95
-25 Z= 815
Dengan demikian program linier tersebut memiliki solusi optimal sebagai
berikut : X
1
= 65, X
2
= 0, X
3
= 175, X
4
= 0, X
5
= 0 dan Z = 815
3.4.5. Metode Big M dan Dua Fase
