Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama k Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l

KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA

B. PERMUTASI n UNSUR YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA

Permutasi yang kita bahas sebelumnya mensyaratkan bahwa n unsur yang tersedia tidak memiliki unsur-unsur yang sama atau masing-masing dari n unsur itu berbeda. Bagaimana jika dari n unsur yang tersedia memuat beberapa unsur yang sama? Perhatikan contoh berikut ini: Masalah 5. Berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf a, a, dan b? Jawab: Dengan cara permutasi sebelumnya kita peroleh susunan huruf-hurufnya yakni aab, aba, aab, aba, baa, baa sehingga dari 3 huruf dapat dipermutasikan 6 macam cara. Namun terlihat bahwa hasil permutasi tersebut ada yang sama, yakni aab, aba, dan baa, sehingga dapat kita tuliskan satu kali. Jadi, permutasi 3 huruf dengan 2 unsur yang sama hanya dapat disusun dengan 3 macam cara yaitu aab, aba, baa. Dengan demikian banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama ditentukan sebagai berikut: P = 3 = 3 2 Banyak unsur yang tersedia Banyak unsur yang sama � = � � � = � � � � Berdasarkan deskripsi di atas, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut:

1. Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama k

≤ n, maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:

2. Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l

unsur yang sama, dan m unsur yang sama k+l+m ≤ n , maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan: KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA Latihan III: 1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf: a. H, A, L, A, N, dan G b. J, A, K, A, R, T, dan A c. T, A, N, T, A, N, dan G d. B, A, R, B, A, R, dan A 2. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari delapan angka yang disusun dari angka- angka: 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6? 3. Terdapat 3 jenis buku masing-masing sebanyak empat, tiga, dan dua buku. Buku itu akan dibagikan kepada 9 anak. Setiap anak mendapat satu buku. Berapa banyak cara pembagian tersebut? 4. Dari 9 buah kelereng, 2 buah berwarna merah, 4 buah berwarna kuning, dan 3 buah berwarna hitam. Berapa banyak cara untuk menyusun 9 buah kelereng itu secara berdampingan? 5. Terdapat 3 bendera merah, 3 bendera biru, dan 4 bendera kuning. Berapa macam komposisi warna bendera dapat dipasang berjajar pada sebuah jalan, jika bendera warna sama tidak dapat dibedakan satu dengan yang lainnya?

C. PERMUTASI SIKLIS

Permutasi dari huruf-huruf A, B, dan C adalah ABC, ACB, BAC, CAB,dan CBA. Persoalannya, jika permutasi tersebut disusun secara melingkar, berapa banyak susunan yang dapat terjadi? Perhatikan contoh berikut ini: Masalah 6. Misalkan tiga orang sahabat akan menempati tiga buah kursi. Berapa kemungkinan mereka dapat menempati kursi tersebut, jika: a. kursi disusun memanjang b. kursi disusun melingkar Jawab: Misalkan ketiga sahabat itu ialah Rina, Rini, Rino. a. kursi disusun memanjang Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan pengetahuan sebelumnya tentang permutasi. � 3 3 = 3 = 6 KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA Jadi, ada 6 kemungkinan yaitu - Rina, Rini, Rino - Rina, Rino, Rini - Rini, Rina, Rino - Rini, Rino, Rina - Rino, Rina, Rini - Rino, Rini, Rina b. kursi disusun melingkar Susunan penempatan tiga orang itu diperlihatkan seperti gambar berikut: Dalam bentuk bagan, gambar dapat disederhanakan menjadi: Misalkan ketiga orang tersebut bernama Rina, Rini, dan Rino. Masih adakah kemungkinan lainnya? Sebutkan kemungkinan-kemungkinan yang ada  Susunan pada gambar A dapat dibaca sebagai berikut urutan membacanya searah dengan perputaran jarum jam: • Jika Rina sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Rina, Rino, Rini • Jika Rino sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Rino, Rini, Rina • Jika Rini sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Rini, Rina, Rino Perhatikan bahwa susunan tersebut sama, seperti diperlihatkan Gambar A.  Susunan pada gambar B dapat dibaca sebagai berikut: • Jika Rina sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Rina, Rini, Rino • Jika Rino sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Rino, Rina, Rini Gambar A Gambar B Gambar A Gambar B Rina Rino Rini Rini Rino Rina KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA • Jika Rini sebagai urutan pertama, maka diperoleh susunan Rini, Rino, Rina Perhatikan bahwa susunan tersebut juga sama, seperti diperlihatkan Gambar B Jadi banyak susunan 3 unsur yang ditempatkan pada sebuah kurva tertutup berbentuk lingkaran seluruhnya ada 2 kemungkinan susunan. Dari contoh diatas, terlihat bahwa: Dari tabel di atas kita ketahui bahwa � 3 3 = 3 = 6 Sedangkan tiga kali permutasi siklis tiga unsur sama dengan permutasi tiga unsur Sehingga diperoleh: Permutasi siklis 3 unsur = � 3 3 : 3 Sehingga, Banyak permutasi siklis n unsur = � � � : � = � � = � − 1 Permutasi 3 unsur Permutasi siklis 3 unsur Rina, Rini, Rino Rini, Rino, Rina Rino, Rina, Rini Rina, Rini, Rino Rina, Rino, Rini Rino, Rini, Rina Rini, Rina, Rino Rina, Rino, Rini Susunan unsur-unsur secara melingkar disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler circular permutation Masalah 7: Misalkan ada 4 orang A Ani, B Beni, CCica, dan D Doni akan berdiskusi dan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan yang dapat terjadi? Secara Umum, Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan aturan: P siklis = n-1 KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA Masalah 8. Sebuah gelang disusun dari 4biji permata yang terdiri dari 2 permata berwarna merah, 1 permata berwarna kuning, dan 1 permata berwarna biru. Berapa kemungkinan cara penyusunan biji permata tersebut sehingga membentuk sebuah gelang? Jawab: Biji permata tersebut terdiri dari 4 buah. Terdapat 3 warna yakni merah, kuning dan biru. Biji permata merah berjumlah 2, jadi terdapat 2 unsur yang sama. Maka, kita selesaikan menggunakan pengetahuaan mengenai permutasi unsur yang sama dengan rumus: �����ℎ ����� ����� ���� ��� ��������� ����� − ����� ���� ���� Karena gelang berbentuk kurva tertutup lingkaran maka kita juga menggunakan pengetahuan tentang permutasi siklis, sehingga: �����ℎ ����� ����� ���� ��� = � − 1 Maka, diperoleh: 4 − 1 2 = 3 2 = 3 Sehingga, kemungkinan susunan gelang ada 3 cara, yaitu: MerahMerahKuningBiru, MerahKuningMerahBiru, MerahMerahBiruPutih � = � − � � � = � − � � � � Berdasarkan deskripsi di atas, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut:

1. Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama k