KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA
A. PENGERTIAN PERMUTASI
Perhatikan masalah berikut ini:
Masalah 3.
Tina, Dita, Ani dan Rika akan duduk pada kursi yang disusun memanjang. Berapakah kemungkinan susunan duduk mereka?
Permasalahan tersebut hampir sama dengan masalah 3 yang telah kita bahas sebelumnya. Masalah ini akan kita selesaikan dengan aturan perkalian.
Sehingga semuanya ada 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara. Kemungkinan susunan mereka duduk adalah:
- Tina, Dita, Ani, Rika - Tina, Dita, Rika, Ani
- Tina, Rika, Dita, Ani - Tina, Rika, Ani, Dita
- Tina, Ani, Dita, Rika - Tina, Ani, Rika, Dita
- Dita, Tina, Ani, Rika - Dita, Tina, Rika, Ani
- Dita, Rika, Tina, Ani - Dita, Rika, Ani, Tina
- Dita, Ani, Tina, Rika - Dita, Ani, Rika, Tina
- Ani, Dita, Tina, Rika - Ani, Dita, Rika, Tina
- Ani, Rika, Dita, Tina - Ani, Rika, Tina, Dita
- Ani, Tina, Dita, Rika - Ani, tina, Rika, Dita
- Rika, Dita, Ani, Tina - Rika, Dita, Tina, Ani
- Rika, Tina, Dita, Ani - Rika, Tina, Ani, Dita
- Rika, Ani, Dita, Tina - Rika, Ani, Tina, Dita
Jadi, terdapat 24 susunan yang berbeda. Kesimpulan:
Jadi, dari 4 benda yang ada dapat dibentuk 24 macam susunan yang berbeda.
4 3
2 1
Ada 4 pilihan
untuk mengisi
tempat pertama
Ada 3 pilihan
untuk mengisi
tempat kedua
Ada 2 pilihan
untuk mengisi
tempat ketiga
Ada 1 pilihan
untuk mengisi
tempat keempat
KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA
Masalah 4.
Perhatikan tiga huruf a, b, dan c. Tuliskan kemungkinan susunan dua huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf tersebut
Kita kerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, ada dua posisi yang harus diisi oleh ketiga huruf a, b, dan c.
Sehingga semuanya ada 3 x 2 =6 cara. Kemungkinan susunan huruf-huruf tersebut adalah ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Jadi, terdapat 6 susunan yang berbeda. Kesimpulan:
Jadi, dari 3 benda yang ada jika hanya diambil 2 benda maka dapat dibentuk 6 macam susunan yang berbeda.
Kemungkinan susunan-susunan tersebut disebut permutasi.
Perhitungan cara tersebut secara umum dapat dituliskan sebagai: �
� �
= �� − 1� − 2 … � − � + 1
�
� �
dibaca: permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia dengan, n : semua unsur yang tersedia
r : banyaknya unsur yang akan dibentuk Jika r=n maka:
�
� �
= �� − 1� − 2 … 1 = �
Permutasi adalah susunan berbeda yang dapat dibentuk dari unsur-unsur yang tersedia dengan aturan-aturan tertentu.
3 2
Ada 3 pilihan
untuk mengisi
posisi pertama
Ada 2 pilihan
untuk mengisi
posisi kedua
KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA
n dibaca n faktorial. Sehingga kita dapat memperoleh rumus permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia, yaitu:
�
� �
= �
� − � Selain itu, didefinisikan 1=1 dan 0=1.
Contoh: 1. Berapa banyak susunan angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4?
Jawab: Banyak susunan yakni permutasi 4 unsur dari 4 unsur yang tersedia:
�
4 4
= 4 � 3 � 2 � 1 = 4 = 24
2. Berapa banyak susunan 2 angka yang dapat dibentuk dari angka-angka pada contoh 1? Jawab:
Banyak susunan yakni permutasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia: �
2 4
= 4 � 3 = 12
atau �
2 4
= 12 = 24
2 =
4 2
= 4
4 − 2
Contoh:
3. Dari 8 calon yang ada akan dibentuk pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, wakil ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Berapa kemungkinan susunan pengurus
kelas yang dapat dibentuk? Jawab:
�
4 8
=
8 8
−4
=
8 �7�6�5�4
4
= 1680
Jadi, ada 1680 kemungkinan susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk. 4. Terdapat 3 orang perempuan dan 2 orang laki-laki yang akan duduk pada kursi yang
disusun berdampingan. Berapa banyak cara kelima orang tersebut dapat duduk jika: Banyaknya permutasi dari pengambilan r unsur
dari n unsur yang tersedia r ≤n adalah:
Pn,r =
� �−�
KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA
a. mereka dapat duduk bebas tanpa aturan? b. mereka harus duduk berselang-seling?
Jawab: a. mereka dapat duduk bebas
�
5 5
= 5 � 4 � 3 � 2 � 1 = 5 = 120
b. mereka harus duduk berselang-seling Karena terdapat 3 orang perempuan dan 2 orang laki-laki, maka cara mereka dapat
duduk berselang-seling yakni dengan posisi duduk pertama ditempati oleh perempuan.
= 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 12 Jadi ada 12 cara mereka dapat duduk berselang-seling.
Atau dapat diselesaikan dengan cara:
�
1 3
� �
1 2
� �
1 2
� �
1 1
� �
1 1
= 3
3 − 1 �
2 2
− 1 � 2
2 − 1 �
1 1
− 1 � 1
1 − 1
= 3 �2�2�1�1 = 12
3 2
2 1
1
Cara mengisi
tempat pertama
Cara mengisi
tempat kedua
Cara mengisi
tempat ketiga
Cara mengisi
tempat keempat
Cara mengisi
tempat kelima
Cara mengisi
tempat pertama
Cara mengisi
tempat kedua
Cara mengisi
tempat ketiga
Cara mengisi
tempat keempat
Cara mengisi
tempat kelima
KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA
Latihan II:
1. Hitunglah nilai dari bentuk: a. 34
b. 4 + 6 c. 5 – 3
d.
73 24
2. Nyatakan dengan notasi faktorial dari: a. 12 x 11 x 10 x 9 x 8
b.
9 � 8 � 7
6 � 5
3. Tentukan nilai n jika diketahui pernyataan berikut: a.
�
3 �
: �
2 �
= 6 b.
�
5 �
= 9 �
4 �−1
c. �
2 �+2
= 56 4. Pada suatu rapat organisasi kepemudaan akan disusun pengurus yang terdiri atas
ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika terdapat 7 orang calon yang layak untuk dipilih. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin dapat dibentuk?
5. Seorang ketua, sekretaris, bendahara, dan pembantu umum akan dipilih dari 15 orang anggota PKK. Tentukan banyaknya pemilihan tersebut
6. 4 pemuda dan 3 pemudi akan duduk berjajar pada sebuah bangku. Berapa macam posisi duduk yang mungkin jika yang menempati bagian pinggir hanya pemuda saja?
7. Berapa banyak bilangan ribuan yang dapat dibentuk dari kumpulan angka 1, 2, 3, 4, dan 5 apabila:
a. dengan pengulangan b. tidak ada pengulangan
8. Berapa banyaknya bilangan 4 angka yang dapat dibentuk dari kumpulan angka berikut ini:
a. 2, 3, 4, 5 b. 2, 3, 4, 5, 6
9. Dalam suatu kejuaraan bulutangkis dunia, terdapat 12 finalis yang akan memperebutkan juara I, II, dan III. Tentukan banyaknya susunan juara I, II, dan III
yang dapat terjadi 10. Jika terdapat 9 lampu berlainan warna yang akan dipasang pada 4 buah fitting.
Tentukan banyaknya susunan lampu yang mungkin
KELAS XI IPS SMA BOPKRI 2 YOGYAKARTA
B. PERMUTASI n UNSUR YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA
Kategori