Invers Komutatif prosiding semnas mipa uny 2012
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-219
Terbukti operasi pada G, memenuhi sifat komutatif. Demikian pula untuk sistem aljabar H, dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan
pasangan operasi, di mana terbukti operasi pada H, tidak memenuhi sifat komutatif. Grup Abelian Komutatif
Karena G, memenuhi sifat komutatif, maka G, merupakan grup abelian komutatif. Sebaliknya grup H, tidak memenuhi sifat komutatif maka grup H, bukan merupakan grup
abelian komutatif. Grup Siklik
Untuk sistem aljabar G, dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya sendiri sebagai berikut.
0 = 00 0 = 111
0 = 222 1 = 1111
1 = 22 2 = 11
2 = 2222 Ada elemen 1 dan 2 yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan seluruh elemen
dalam himpunan G, maka G, adalah grup siklik. Demikian pula untuk sistem aljabar H, dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya
sendiri sebagai berikut.
1 = 11 1 = 1 2 31 2 31 2 3
1 2 3 = 1 2 31 2 31 2 31 2 3 1 3 2 = 1 2 31 2 3
1 = 1 3 21 3 21 3 2 1 = 1 21 2
1 2 3 = 1 3 21 3 2 1 2 = 1 21 21 2
1 3 2 = 1 3 21 3 21 3 21 3 2 1 = 1 31 3
1 = 2 32 3 1 3 = 1 31 31 3
2 3 = 2 32 32 3 Tidak ada elemen pada grup H yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan
seluruh elemen dalam himpunan H, maka H, bukan Grup Siklik.[7] Grup Aperiodik dan Periodik
Berikut adalah order unsurnya pada grup G,:
Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup G, adalah grup periodik. Dilakukan uji yang sama pada grup H,. Berikut adalah order unsurnya:
Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup H, adalah grup periodik. Subgrup Normal
H = {1, 1 2 3, 1 3 2, 1 2, 1 3, 2 3}bukan merupakan himpunan bagian dari G={0,1,2} maka H bukan merupakan subgrup dari G sehingga tidak dapat dibuktikan. Begitupula sebaliknya,
G={0,1,2} bukan merupakan himpunan bagian dari H = {1, 1 2 3, 1 3 2, 1 2, 1 3, 2 3 maka G bukan merupakan subgrup dari H sehingga tidak dapat dibuktikan.
3 2
3 1
1
unkes
2 23
2 13
2 12
3 132
3 123
1 1
unkes
Ngarap I, Don T, Pretty C Pengujian Struktur Matematika
M-220
Grup Faktor Salah satu syarat dari grup faktor adalah grup tersebut memiliki subgrup normal namun karena
pembuktian sebelumnya G, dan H, keduanya bukan merupakan subgrup normal, maka grup factor tidak dapat dibuktikan.
Pengujian dengan Aplikasi
Seperti contoh sistem aljabar di atas, sekarang akan diproses dengan menggunakan program aplikasi pengujian yang telah dikembangan untuk melihat apakah program aplikasi dapat
memberikan hasil yang tepat, sesuai dengan pengujian secara manual. Pertama-tama, perlu di-input elemen dari masing-masing sistem aljabar, seperti berikut.
Gambar 2.
Input Elemen Masing Himpunan
Setelah tiap elemen hasil operasi selesai di-input, tombol Finish perlu ditekan. Kemudian program akan menuju pada tampilan selanjutnya.
Berikut adalah tampilan hasil pengujian himpunan A dan himpunan B terhadap grup khusus.
Gambar 3. Hasil Uji Grup Siklik
Gambar 4. Hasil Uji Grup Komutatif
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-221
Gambar 5. Hasil Uji Grup Periodik dan Aperiodik
Gambar 6. Hasil Uji Subgrup Normal
Gambar 7.
Hasil Uji Grup Faktor Dengan melihat perbandingan hasil antara pengujian secara manual dengan pengujian
melalui program aplikasi, dapat dilihat bahwa program aplikasi dapat memberikan hasil pengujian yang tepat, sama dengan pengujian secara manual.
KESIMPULAN Dari analisis dan pengujian terhadap contoh kasus sistem aljabar, dapat disimpulkan bahwa
program pengujian dapat memberikan hasil yang tepat, sesuai dengan sifat-sifat yang ada. Program aplikasi ini jauh lebih efisien dibandingkan dengan melakukan pengujian secara manual sehingga
waktu pengerjaan yang ditempuh lebih singkat. Program ini dinilai dapat memenuhi tujuannya karena pengguna mudah memahami klasifikasi sistem aljabar beserta sifat-sifatnya karena program
memberikan penjelasan hasil pengujian secara bertahap, detail, dan jelas. DAFTAR PUSTAKA
[1] Bergstra, J.A and Tucker, J.V, 2008, Division Safe Calculation in Totalised Fields, Theory Computer System, Vol 43, 01 p 410-424
Ngarap I, Don T, Pretty C Pengujian Struktur Matematika
M-222
[2] Carlson, D., 2003, The Teaching and Learning of Tertiary Algebra, Prosiding Seminar Nasional Aljabar dan Pengajaran Aljabar di Perguruan Tinggi, Jogjakarta.
[3] Lethbridge, timoty C, Laganiere, Robert, 2002. Object Oriented Software Engineering: practical Software Developmnet Using UML and Java, McGraw-Hill, New York.
[4] Okur, M, 2006. Computer Applications in Teaching Abstract Algebra, International Journal of Applied Science and Technology, Vol 1, No.1, March 2011, p 20-27
[5] Pevtsova, et al. 2009. Varieties for Modules of Quantum Elementary Abelian Groups. Algebras and Representation Theory Vol.12 No.2-5 p74-86
[6] Turban, Efraim, Rainer, R Kelly Jr, Potter, Richard E, 2004. Introduction to Information Technology. John Wiley and Sons, London
[7] Wallace, D. A. R. 2004. The algebraic stucture of group rings.,Bulletin of American Mathematical Society vol. 1 No. 2 .
[8] Weisstein, et al. 2009. Noncommutative Rings and Geometry. Algebras and Representation Theory vol. 12 No. 2-5. p 15-25
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-223
STRATEGI VAKSINASI PULSE UNTUK MENGATASI EPIDEMI
PENYAKIT CAMPAK BERDASARKAN MODEL SIR
Nikenasih Binatari, M.Si., Eminugroho Ratna Sari, M.Sc .
Abstrak
Berdasarkan teori dinamika populasi dalam lingkungan, dihipotesiskan bahwa epidemi campak dapat dikendalikan secara efisien oleh vaksinasi pulse yaitu dengan
pemberian vaksin secara periodik. Keadaan sistem dapat dianalisa dengan model yang representative terhadap perilaku sistem. Pengembangan model SIR dengan melibatkan
parameter p, proporsi banyaknya individu yang tervaksin setiap periode waktu, digunakan sebagai model paling sederhana.
Berdasarkan model yang diperoleh pada akhir penelitian dapat dianalisa bahwa epidemi
campak dapat
dikendalikan jika
proporsi p
memenuhi . Hal ini berarti bahwa pemberian vaksin
kepada individu yang rentan terhadap penyakit, secara berulang-ulang dengan periode tertentu, memungkinkan pembasmian kejangkitan penyakit campak dari seluruh
populasi. Kata Kunci:
vaksinasi pulse, SIR, epidemi penyakit campak
PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
Campak adalah penyakit yang disebabkan oleh infeksi virus yang menular pada anak-anak, dan terkadang juga menyerang orang dewasa. Penyakit ini ditandai dengan demam tinggi, radang
selaput mata, dan bercak kemerahan pada kulit. Anak kurang gizi mudah terserang komplikasi yang fatal. Campak disebabkan oleh Paramiksovirus. Penularan terjadi melalui percikan ludah dari
hidung, mulut, maupun tenggorokan. Penderita bisa menularkan penyakit dalam waktu 2-4 hari sebelum timbul ruam kulit dan selama ruam kulit ada. Masa inkubasi 10-14 hari sebelum gejala
muncul.
Sebelum vaksinasi campak digunakan secara meluas, wabah campak terjadi setiap 2-3 tahun, terutama pada anak-anak usia pra-sekolah dan anak-anak SD. Jika seseorang pernah
menderita campak, maka seumur hidupnya dia akan kebal terhadap penyakit ini. Data yang ada menyebutkan, kematian akibat campak di dunia yang dilaporkan pada 2002 mencapai 777.000
orang. Di negara-negara ASEAN terdapat 202.000 orang meninggal akibat campak dan 15 30.300 orang diantaranya berasal dari Indonesia. Setiap tahun diperkirakan 30.000 anak Indonesia
meninggal karena komplikasi yang diakibatkan campak. Hal ini berarti, kira-kira ada 1 anak yang meninggal setiap 20 menitnya Depkes RI, 2007.
Baik langsung maupun tidak langsung, penyakit campak merupakan salah satu penyakit yang dapat mengakibatkan kematian. Pemerintah Indonesia telah melakukan beberapa upaya untuk
mereduksi kematian, salah satunya yaitu dengan pemberian imunisasi campak. Di Indonesia, program imunisasi campak telah dimulai sejak 1984 dengan kebijakan memberikan 1 dosis pada
bayi usia 9 bulan. Pada awalnya cakupan campak sebesar 12,7 persen di tahun 1984, kemudian meningkat sampai di atas 80 persen pada tahun 1990 dan seterusnya bertahan di atas angka tersebut
sampai 2006. Pemberian vaksin pada bayi usia 9 bulan ini berdasarkan atas konsep lama ‘strategi imunisasi waktu konstan’.
Meskipun pemberian imunisasi telah diberikan, bahkan dengan dosis yang semakin tinggi, perkembangan penyakit campak masih belum dapat dikendalikan. Bahkan, individu yang telah
divaksin masih dapat terinfeksi campak. Strategi yang baru untuk mengendalikan penyakit campak kemudian dikemukakan, yaitu dengan pemberian vaksin secara periodik, yang dikenal dengan
1 1
mT mT
mT p e
mpT m
mT p e
Nikenasih, Eminugroho Strategi Vaksinasi Pulse
M-224
strategi vaksinasi pulse. Strategi ini digunakan untuk mempercepat reduksi perkembangan penyakit campak. Harapannya strategi ini dapat menghilangkan kemungkinan terjadinya epidemi atas
penyakit campak. Strategi ini didasarkan atas sugesti bahwa penyakit campak dapat dikendalikan secara efektif ketika proses alami yang bersifat sementara ditimbulkan oleh proses lain yang
bersifat sementara pula. Dalam penelitian ini, akan dirumuskan pembentukan model matematika berdasarkan model SIR
dengan pemberian vaksin secara periodik pada populasi kelas rentan. Selanjutnya akan dianalisa titik ekuilibrium dan kestabilan di sekitar titik ekuilibrium sehingga dapat disimpulkan mengenai
keefektifan pemberian vaksin secara periodik tersebut kepada kelas rentan. Identifikasi masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, dapat diidentifikasi beberapa masalah. Adanya perbedaan yang signifikan antara strategi vaksinasi pada penyakit campak. Pada strategi
konvensional, individu yang baru saja lahir tidak mempunyai peran dalam meyebarkan penyakit campak. Pemberian vaksin campak dilakukan pada bayi usia 9 bulan dan vaksin hanya dilakukan
satu kali seumur hidup. Berbeda dengan strategi konvensional, strategi vaksinasi pulse didasarkan bahwa anak usia sekolah, rentang usia 5 tahun – 16 tahun mempunyai peranan besar dalam
menyebarkan penyakit campak. Oleh karena itu diperlukan pemberian vaksin secara periodik pada individu.
Pada penelitian kali ini, akan diuji keberhasilan vaksinasi pulse dari segi matematisnya. Analisa keberhasilan didasarkan atas perilaku sistem dalam model yang dibangun.
Rumusan Masalah
Dari identifikasi masalah tersebut, dapat dirumuskan masalah mengenai faktor yang diperlukan agar pemberian vaksin secara periodik terhadap individu yang rentan terhadap penyakit
campak efektif untuk dilakukan, sehingga dapat mengurangi keterjangkitan terhadap penyakit campak.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Dalam penelitian ini, akan dikonstruksi suatu model matematika yang representative terhadap pola penyebaran penyakit campak khususnya pada anak usia dini dengan batasan, asumsi, dan
parameter yang didefinisikan.
Sistem Dinamika Model SIR pada Penyakit Campak dengan Vaksinasi Pulse
Pembangunan model dimulai dengan mengklasifikasikan individu dalam populasi menjadi tiga kelas
• Kelas rentan susceptibleS, yaitu kelompok individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi
penyakit •
Kelas terinfeksi infectedI, yaitu kelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit
• Kelas sembuh removed, recoverR, yaitu kelompok individu yang telah sembuh dari penyakit
Sesuai dengan kondisi pada penyabaran penyakit campak, model SIR kemudian dibatasi oleh asumsi-asumsi berikut ini :
• Populasi tertutup, dalam arti tidak ada kelahiran, kematian dan migrasi. Jumlah populasi
konstan N. •
Hanya menular apabila terjadi kontak langsung dengan penderita. •
Individu yang sembuh mempunyai kekebalan permanen, dalam arti setelah sembuh individu tidak bisa menjadi rentan lagi.
• Masa inkubasi sangat singkat.
• Laju kenaikan jumlah individu di kelas I sebanding dengan jumlah individu kelas S dan I
yaitu . Laju penurunan jumlah individu kelas S juga
. •
Laju kenaikan jumlah individu pada kelas R sebanding dengan jumlah individu kelas I yaitu .
• Laju kelahiran dan kematian diasumsikan sama yaitu m yang artinya harapan hidup adalah
1m. Model SIR klasik sebelum adanya vaksinasi yang sesuai dengan asumsi diatas adalah
SI
SI
I
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-225
4.1 dimana
untuk setiap t. Analisa pada model tersebut bergantung pada nilai basic reproduction number
, yaitu banyaknya individu rentan yang kemudian terinfeksi jika berinteraksi dengan penderita dalam hal
ini, penderita campak dan banyaknya individu yang rentan, terinfeksi, dan sembuh mula-mula. Sistem Dinamika 4.1 mempunyai dua titik kesetimbangan
Jika banyaknya individu yang rentan dan individu yang terinfeksi disekitar N,0 dengan , artinya setiap interaksi dengan penderita tidak cukup kuat untuk menginfeksi
individu yang rentan, maka penyebaran penyakit campak tidak akan mewabah dan cenderung menghilang. Kondisi ini kemudian dikatakan stabil asimtotik disekitar titik
kesetimbangan N,0 jika . Oleh karena itu, pada titik kesetimbangan N,0
penyakit campak tidak mewabah dan cenderung menghilang, maka titik kesetimbangan N,0 disebut juga dengan titik kesetimbangan bebas penyakit free disease equilibrium
point. Jika banyaknya individu yang rentan dan individu yang terinfeksi disekitar
dengan , maka penyebaran penyakit campak akan
mewabah tetapi tidak mencapai kepunahan. Banyaknya individu yang rentan dan individu
terinfeksi akan bergerak menuju nilai . Kondisi ini kemudian
juga dikatakan stabil asimtotik disekitar titik kesetimbangan .
Oleh karena terdapat individu yang terinfeksi pada titik kesetimbangan ini, maka titik kesetimbangan ini disebut dengan titik kesetimbangan epidemic epidemic equilibrium
point. Vaksinasi dalam penelitian ini hanya diberikan pada individu yang rentan terhadap
penyakit. Individu yang terinfeksi penyakit maupun yang sudah sembuh tidak diberikan vaksinasi. Pada vaksinasi konstan p bagian, yaitu vaksinasi yang hanya diberikan satu kali dan diawal waktu,
maka sistem
dinamika model
SIR yang
sesuai adalah
4.2 Skema dari vaksinasi pulse yaitu memberikan vaksinasi sebesar p bagian dari semua individu yang
rentan terhadap penyakit campak secara periodic setiap T tahun. Akibatnya, banyaknya individu yang rentan pada suatu periode berkurang sebanyak p bagian dari individu yang rentan pada
periode sebelumnya. Misalkan
adalah waktu dimana vaksinasi pulse ke-n dilakukan, maka pernyataan pada kalimat sebelumnya dapat dinyatakan dalam simbol matematika sebagai berikut
4.3
mR I
dt dR
I mI
IS dt
dI S
m I
mN dt
dS
, ,
N t
R t
I t
S
R
1
R
1
R
m
m m
mN m
,
1
R
m
m m
mN m
,
m
m m
mN m
,
pmN mR
I dt
dR I
mI IS
dt dI
S m
I mN
p dt
dS
1
n
t
n n
t S
p t
S 1
Nikenasih, Eminugroho Strategi Vaksinasi Pulse
M-226
dimana dan
adalah waktu sesaat sebelum vaksinasi pulse ke-n atau Diketahui sebelumnya bahwa dalam vaksinasi pulse, vaksin diberikan secara periodik pada
individu yang rentan, oleh karena itu sistem dinamika model SIR yang sesuai dengan vaksinasi pulse adalah
4.4 Misalkan setelah vaksinasi ke-n, banyaknya individu yang terinfeksi adalah 0,
, maka solusi bebas penyakit pada Sistem Dinamika 4.4 dengan vaksinasi pulse untuk banyaknya
individu yang rentan harus memenuhi memenuhi hubungan
4.5 dimana
dan .
Dari persamaan kedua pada Sistem Dinamika 4.4
diperoleh bahwa
Dari persamaan terakhir ini, kemudian diperoleh basic reproduction number sebagai berikut
Solusi Bebas Penyakit
Tujuan dari adanya vaksinasi pulse yaitu penyebaran penyakit campak tidak mewabah dan tidak ada individu yang terinfeksi penyakit ini. Oleh karena itu, penelitian ini hanya akan
difokuskan pada titik kesetimbangan bebas penyakit saja. Titik kesetimbangan bebas penyakit ini kemudian disebut dengan solusi bebas penyakit. Jadi, langkah yang akan dilakukan pada penelitian
ini adalah mencari titik kesetimbangan bebas penyakit pada model yang representative terhadap perilaku penularan penyakit campak kemudian menganalisa perilaku sistem disekitar titik
kesetimbangan bebas penyakit tersebut.
Misalkan F adalah pemetaan yang menyatakan hubungan antara banyaknya individu yang rentan sesaat setelah vaksinasi pulse ke-n+1 dengan banyaknya individu yang rentan sesaat setelah
vaksinasi pulsa ke-n, maka
Titik tetap pada interval waktu
untuk pemetaan F tersebut adalah 4.6
Oleh karena tujuan penelitian adalah mencari banyaknya individu rentan yang perlu divaksin dengan vaksinasi pulse secara periodic sehingga tidak ada individu yang terinfeksi, maka titik tetap
haruslah sama dengan banyaknya individu mula-mula yang rentan sesaat setelah vaksinasi pulse ke-n, atau
. Dengan demikian, solusi bebas penyakit pada Sistem Dinamika 4.5 pada interval waktu
adalah
T t
t
n n
1
n
t
. ,
lim
n
n
t S
t S
n n
n n
n n
t t
t S
p mR
I dt
dR I
mI IS
dt dI
t t
t S
p SI
S N
m dt
dS
n
t t
t I
0
1 1
n n
t t
t pS
S N
m dt
dS
1 1
1
n n
t S
p t
S
T t
t
n n
1
I mI
IS dt
dI
m S
I m
dt dI
1
m S
R
n n
S F
S
1
S
1
n n
t t
t
N p
e e
p e
p N
p S
mT mT
mT
1 1
1 1
1 1
S
n
S S
1
n n
t t
t
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-227
4.7 Solusi bebas penyakit ini disebut juga dengan titik kesetimbangan bebas penyakit.
Analisa Kestabilan di Sekitar Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Selanjutnya akan dianalisa sifat kestabilan Sistem Dinamika 4.4 di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit. Misalkan
4.8 Kedua fungsi diatas merupakan fungsi nonlinear. Dengan menggunakan deret taylor di titik
kesetimbangannya, maka diperoleh system persamaan diferensial linear
4.9 Matriks Jacobian yang bisa dibentuk dari Sistem 4.9 adalah
Analisa kestabilan dari sistem di sekitar titik kesetimbangan dapat dilakukan dengan memperhatikan nilai eigen dari matriks jacobian, yaitu
Titik kesetimbangan bebas penyakit akan stabil asimtotik jika kedua nilai eigen bernilai negatif. Darisini dapat diambil kesimpulan bahwa jika
maka kedua nilai eigen bernilai negative, yang berakibat bahwa sistem akan stabil asimtotik di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit jika basic reproduction number bernilai kurang dari
satu.
Proporsi Vaksinasi Pulse
Diperhatikan Persamaan 4.6,
Dalam hal ini epidemic campak dapat dikendalikan jika proporsi p memenuhi
Artinya bahwa pemberian vaksinasi kepada individu yang rentan terhadap penyakit, secara berulang-ulang dengan periode tertentu, memungkinkan pembasmian kejangkitan penyakit
campak dari seluruh populasi.
~ ,
1 1
1 ,
1 1
~
1 1
t I
t t
N p
e e
p t
t t
e e
p pe
N t
S
n mT
mT n
n t
t m
mT mT
n
I mI
IS I
S G
t t
t S
p SI
S N
m I
S F
n n
n
, ,
I m
S dt
dI I
S S
S m
dt dS
~
~ ~
m
S S
m ~
~
S m
m ~
2 1
1
R
N p
e e
p e
p N
p S
mT mT
mT
1 1
1 1
1 1
1 1
mT mT
mT p e
mpT m
mT p e
Nikenasih, Eminugroho Strategi Vaksinasi Pulse
M-228
KESIMPULAN dan SARAN Kesimpulan
Sistem dinamika model SIR yang sesuai dengan vaksinasi pulse adalah
Tujuan dari adanya vaksinasi pulse yaitu penyebaran penyakit campak tidak mewabah dan tidak ada individu yang terinfeksi penyakit ini. Oleh karena itu, penelitian ini hanya akan difokuskan
pada titik kesetimbangan bebas penyakit saja. Titik kesetimbangan bebas penyakit ini kemudian disebut dengan solusi bebas penyakit.
Berdasarkan Sistem tersebut, diperoleh solusi bebas penyakit
Selanjutnya, epidemic campak dapat dikendalikan jika proporsi p memenuhi
Artinya bahwa pemberian vaksinasi kepada individu yang rentan terhadap penyakit, secara berulang-ulang dengan periode tertentu, memungkinkan pembasmian kejangkitan penyakit
campak dari seluruh populasi Saran
Penelitian ini masih jauh dari kata sempurna. Untuk itu diperlukan berbagai perbaikan dan pengembangan untuk penelitian selanjutnya. Salah satunya adalah dapat menghitung waktu
maksimal untuk setiap periode vaksinasi sedemikian sehingga epidemic campak dapat dicegah. DAFTAR PUSTAKA
[1] Brauer, Fred. Castillo-Chavez, Carlos. 2001. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Springer-Verlag New York, Inc.
[2] Depkes
RI. 2007.
Peta Kesehatan Indonesia 2007. Diakses melalui http:www.depkes.go.iddownloadspublikasiPeta20Kesehatan202007.pdf
pada tanggal 4 November 2011.
[3] Kermack, W.O., and Mc. Kendrick, 1927, A Contribution to The Mathematical Theory of Epidemics, Proc. Roy. Soc. Lond. A , pp. 700-721.
[4] Perko, L., 1991, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, New York.
[5] Shulgin, Boris. Stone, Lewi. Agur, Zvia. 1998. Pulse Vaccination Strategy in the SIR Epidemi Model. Bulletin of Mathematical Biology 60. 1123 – 1148.
n n
n n
n n
t t
t S
p mR
I dt
dR I
mI IS
dt dI
t t
t S
p SI
S N
m dt
dS
~ ,
1 1
1 ,
1 1
~
1 1
t I
t t
N p
e e
p t
t t
e e
p pe
N t
S
n mT
mT n
n t
t m
mT mT
n
1 1
mT mT
mT p e
mpT m
mT p e
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-229
PEMODELAN STRUCTURAL EQUATION MODELING SEM
BERBASIS VARIANS PADA DERAJAT KESEHATAN DI PROPINSI JAWA TIMUR 2010
1
Noermayanti Hidayat dan
2
Dr.Bambang Widjanarko Otok,S.Si,M.Si
1
Mahasiswa S2 Jurusan Statistika- FMIPA ITS, Surabaya
2
Dosen Pembimbing, Jurusan Statistika- FMIPA ITS Noermayanti.hidayatyahoo.com
Abstrak
Selama lebih dari tiga dasawarsa, Indonesia telah melaksanakan berbagai upaya dalam rangka meningkatkan kesehatan dan kesejahteraan masyarakat. Namun demikian,
walau sudah dicapai banyak kemajuan tetapi keadaan kesehatan msyarakat di Indonesia masih tertinggal jika dibandingkan dengan beberapa negara tetangga. Angka kematian
bayi misalnya, di Indonesia sendiri angka kematian bayi berada diurutan atas diantara negara-negara anggota South East Asia Medical Information Center SEAMIC, serta
sebagian besar masyarakat Indonesia sendiri baik yang berada di pedesaan maupun perkotaan masih sulit untuk mendapatkan pelayanan kesehatan. Untuk mengatasi
masalah-masalah tersebut, maka perlu dilakukan penetapan tentang indikator derajat kesehatan untuk mengetahui peningkatan derajat kesehatan masyarakat dan pelayanan
kesehatan dapat dirasakan oleh semua lapisan masyarakat.
Derajat kesehatan sendiri dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain lingkungan, perilaku, dan pelayanan kesehatan. Dalam mencapai derajat kesehatan,
faktor-faktor yang mempengaruhi tersebut harus dapat dikendalikan dengan baik, karena semua faktor tersebut tidak dapat diukur secara langsung melainkan pada indikator-
indikator yang diketahui. Dalam penelitian ini akan dihubungkan tiga variabel konstruk yang berkaitan denga derajat kesehatan yaitu variabel lingkungan, perilaku, dan
pelayanan kesehatan untuk melihat apakah ketiga variael tersebut berpengaruh terhadap derajat kesehatan atau tidak. Salah satau metode yang digunakan dalam penelitian ini
adalah dengan menggunakan analisis Structural Equation Modeling SEM yang berbasis varians yaitu Partial Least Square PLS untuk mengetahui kebenaran konsep
teori mengenai faktor-faktor yang mempengaruhi derajat kesehatan masyarakat Jawa Timur.PLS merupakan metode analisis yang powerfull karena metode tersebut tidak
didasarkan pada banyaknya asumsi dimana seperti data tidak harus berdistribusi multivariat normal dan sampel tidak harus besar. Tujuan dalam penelitian ini adalah
untuk mendapatkan bentuk estimasi parameter dan bentuk estimasi model fit.
Hasil akhir dalam penelitian ini adalah, yang pertama untuk estimasi parameter dalam PLS diperoleh tiga estimasi yaitu estimasi bobot, estimasi jalur, serta estimasi
rata-rata dan lokasi parameter, yang kedua untuk model fit yang diperoleh dalam PLS adalah : Derajat kesehatan = -0,213 lingkungan -0,098 perilaku -0,362 pelayanan
kesehatan, dengan nilai R-square sebesar 0,269 yang artinya variasi derajat kesehatan dapat dijelaskan oleh varilabel konstruk lingkungan, periaku, dan pelayanan kesehatan
sebesar 26,9 sedangkan 73,1 dipengaruhi oleh variabel lain.
Kata kunci : Derajat kesehatan, SEM-Varians PLS
PENDAHULUAN Latar Belakang
Selama lebih dari tiga dasawarsa, Indonesia telah melaksanakan berbagai upaya dalam rangka meningkatkan kesehatan dan kesejahteraan masyarakat. Namun demikian, walau sudah
dicapai banyak kemajuan tetapi keadaan kesehatan msyarakat di Indonesia masih tertinggal jika dibandingkan dengan beberapa negara tetangga. Angka kematian bayi misalnya, di Indonesia
Nurmayanti H, Bambang W Pemodelan Structural Equation
M-230
sendiri angka kematian bayi berada diurutan atas diantara negara-negara anggota South East Asia Medical Information Center SEAMIC, serta sebagian besar masyarakat Indonesia sendiri baik
yang berada di pedesaan maupun perkotaan masih sulit untuk mendapatkan pelayanan kesehatan. Untuk mengatasi masalah-masalah tersebut, maka perlu dilakukan penetapan tentang indikator
derajat kesehatan untuk mengetahui peningkatan derajat kesehatan masyarakat.
Derajat kesehatan sendiri dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain lingkungan, perilaku, dan pelayanan kesehatan. Dalam mencapai derajat kesehatan, faktor-faktor yang
mempengaruhi tersebut harus dapat dikendalikan dengan baik, karena semua faktor tersebut tidak dapat diukur secara langsung melainkan pada indikator-indikator yang diketahui. Dalam penelitian
ini akan dihubungkan tiga variabel konstruk yang berkaitan dengan derajat kesehatan yaitu variabel lingkungan, perilaku, dan pelayanan kesehatan untuk melihat apakah ketiga variabel tersebut
berpengaruh terhadap derajat kesehatan atau tidak. Salah satau metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah dengan menggunakan analisis Structural Equation Modeling SEM yang
berbasis varians yaitu Partial Least Square PLS untuk mengetahui kebenaran konsep teori mengenai faktor-faktor yang mempengaruhi derajat kesehatan masyarakat Jawa Timur. PLS sendiri
merupakan metode analisis yang powerfull karena metode tersebut tidak didasarkan pada banyaknya asumsi dimana seperti data tidak harus berdistribusi multivariat normal dan sampel
tidak harus besar. Rumusan Masalah
1. Bagaimana bentuk estimasi parameter dari Structural Equation Modeling SEM berbasis
varians dengan pendekatan Partial Least Squre PLS? 2.
Bagaimana bentuk estimasi model fit dari Structural Equation Modeling SEM berbasis varians dengan pendekatan Partial Least Squre PLS terhadap derajat kesehatan?
Tujuan
1. Mendapatkan bentuk estimasi parameter dari Structural Equation Modeling SEM berbasis
varians dengan pendekatan Partial Least Squre PLS. 2.
Mendapatkan bentuk estimasi model fit dari Structural Equation Modeling SEM berbasis varians dengan pendekatan Partial Least Squre PLS terhadap derajat kesehatan.
Manfaat Penelitian
Manfaat yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah : 1.
Sebagai bahan perbandingan dalam mempelajari metode statistik terutama yang berhubungan dengan pemodelan SEM dan yang berbasis varians.
2. Sebagai metode alternatif dalam pemodelan SEM berbasis vaians dalam penyimpangan asumsi
normalitas bagi para peneliti khususnya dibidang kesehatan. 3.
Menambah pengetahuan peneliti tentang penerapan ilmu statistika dalam masalah sosial masyarakat khususnnya dalam bidang kesehatan.
Batasan Masalah Penelitian ini dibatasi hanya pada kajian pemodelan derajat kesehatan menggunakan analisis
Structural Equation Model SEM berbasis varians dengan pendekatan Partial Least Square PLS. METODE PENELITIAN
Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari Dinas Kesehatan Propinsi Jawa Timur 2010, yaitu data tentang faktor-faktor yang mempengaruhi dan
indikator-indikator yang terkait pada derajat kesehatan untuk tiap KabupatenKota di Provinsi Jawa Timur yang terdiri dari 38 KabupatenKota.
Identifikasi Variabel Penelitian
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan variabel observed atau variabel
teramati sebanyak 11 variabel indikator yaitu :
X1 : Persentase rumah sehat X2 : Persentase keluarga yang memiliki akses air bersih
X3 : Persentase keluarga yang memiliki pengelolaan limbah X4 : Persentase peran aktif masyarakat dalam posyandu
X5 : Persentase bayi yang mendapat ASI eksklusif
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-231
X6 : Persentase keluarga miskin GAKIN yang berobat pada tenaga kesehatan khususnya yankes di puskesmas
X7 : Persentase pertolongan persalinan dengan tenaga kesehatan dokter, bidan, atau paramedis lain
X8 : Persentase deteksi tumbuh kembang anak balita Y1 : Angka kematian bayi AKB per 1000 kelahiran hidup
Y2 : Morbiditas angka kesakitan yang positif terkena penyakit malaria Y3 : Status gizi bayi gizi buruk
Variabel Eksogen Independen yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
Variabel lingkungan, variabel perilaku, dan variabel pelayanan kesehatan
Variabel Endogen Dependen yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
Variabel Derajat Kesehatan Variabel laten yang diketahui dalam penelitian ini terdiri dari 4 variabel yaitu variabel
lingkungan, variabel perilaku, variabel pelayanan kesehatan, dan variabel derajat kesehatan. Sedangkan variabel-variabel indikator terhadap variabel derajat kesehatan dapat didefinisikan
sebagai variabel manifest variabel teramati adalah sebagai berikut berikut : a.
Indikator dari variabel lingkungan variabel eksogen independen 1.
Persentase rumah sehat 2.
Persentase keluarga yang memiliki akses air bersih 3.
Persentase keluarga yang memiliki pengelolaan limbah b.
Indikator dari variabel perilaku hidup sehat variabel eksogen independen 1.
Persentase peran aktif masyarakat dalam posyandu 2.
Persentase bayi yang mendapat ASI eksklusif 3.
Persentase keluarga miskin GAKIN yang berobat pada tenaga kesehatan c.
Indikator dari variabel pelayanan kesehatan variabel eksogen independen 1.
Persentase pertolongan persalinan dengan tenaga kesehatan dokter, bidan, atau paramedis lain
2. Persentase deteksi tumbuh kembang anak balita melalui pelayanan kesehatan
d. Indikator dari variabel derajat kesehatan variabel endogen dependen
1. Angka kematian bayi AKB per 1000 kelahiran hidup
2. Persentase morbiditas angka kesakitan yang positif terkena penyakit malaria
3. Persentase status gizi bayi gizi buruk
Metode Analisis Data
Analisis dilakukan berdasarkan tujuan penelitian, adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:
1.
Estimasi Parameter SEM - Partial Least Square PLS :
Estimasi parameter pemodelan SEM dengan pendekatan PLS diperoleh melalui proses iterasi tiga tahap dengan menggunakan Ordinary Last Square OLS yaitu sebagai berikut:
Tahap pertama menentukan estimasi bobot Weight Estimate untuk menetapkan skor atau menghitung data variabel laten.
Tahap kedua menentukan estimasi jalur estimasi untuk inner dan outer model yang menghubungkan antar variabel laten dan estimasi loading antara variabel laten dengan
indikatornya. Tahap ketiga menentukan estimasi rata-rata dan lokasi parameter untuk indikator dan variabel
laten.
2.
Langkah-langkah analisis model fit persamaan struktural dengan SEM- Partial Least Square PLS :
Dalam penelitian ini, analisis data pada SEM-PLS akan menggunakan bantuan software SmartPLS.
a. Mendapatkan model berbasis konsep dan teori untuk merancang model struktural
hubungan antar variabel laten dan model pengukurannya, yaitu hubungan antara indikator-indikator dengan variabel laten.
b. Membuat diagram jalur diagram path yang menjelaskan pola hubungan antara variabel
laten dengan indikatornya. c.
Konversi diagram jalur kedalam persamaan.
Nurmayanti H, Bambang W Pemodelan Structural Equation
M-232
d. Melakukan evaluasi goodness of fit yaitu dengan evaluasi model pengukuran outer
model dengan melihat validitas dan reabilitas. Jika model pengukuran valid dan reliabel maka dapat dilakukan tahap selanjutnya yaitu evaluasi model struktural. Jika tidak, maka
harus kembali mengkonstruksi diagram jalur. e.
Intepretasi model.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Estimasi Parameter SEM –
Partial Least Square PLS
Estimasi parameter pemodelan persamaan struktural dengan pendekatan partial least square diperoleh melalui proses iterasi tiga tahap dan di setiap tahap menghasilkan estimasi.
1.
Tahap pertama menghasilkan estimasi bobot weight estimate Estimasi bobot bobot
diperoleh melalui dua jalan, yaitu mode A dan mode B. Mode A dirancang untuk memperoleh estimasi bobot dengan tipe indikator refleksif, sedangkan mode B
dirancang untuk memperoleh estimasi bobot dengan tipe indikator formatif. Mode A
Pada mode A bobot adalah koefisien regresi dari
dalam regresi sederhana pada
estimasi inner model .
= +
Estimasi untuk mode A diperoleh melalui metode OLS dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat
, sebagai berikut :
e
h
= X
h
−
w
h
Z =
− Kemudian jumlah kuadrat
diturunkan terhadap sehingga diperoleh bobot untuk mode
A :
= ,
Mode B Pada mode B vektor
dari pembobot adalah vektor koefisien regresi berganda dari
pada pusat variabel manifest −
jh
yang dihubungkan ke sesama variabel laten :
= +
=
− Hitung
:
=
− −
=
−
2 +
Kemudian diturunkan terhadap
sehingga diperoleh bobot untuk mode B :
=
Dimana adalah matriks dengan kolom yang didefinisikan oleh vaariabel manifest −
jh
yang menghubungkan variabel laten ke-j. Vektor bobot inner model adalah
= ,
dengan adalah matriks kovarians dari dan
,
adalah vektor kolom dari kovarians antara variabel dan .
2.
Tahap kedua menghasilkan estimasi jalur yang diperoleh mealalui estimasi inner model dan outer model.
Estimasi Inner Model
Dengan mengikuti algoritma PLS dari Wold 1985 dan yang telah diperbaiki oleh Lohmoller’s 1989, maka estimasi inner model
dari standarized variabel laten −
didefinisikan dengan
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-233
∝
;
Dimana bobot inner model dapat dipilih melalui tiga skema yaitu :
1. Skema jalur path schema
Variabel laten dihubungkan pada yang dibagi kedalam dua grup yaitu : variabel-variabel laten yang menjelaskan
dan diikuti dengan variabel-variabel yang dijelaskan oleh .
Jika dijelaskan oleh maka adalah koefisien regresi berganda dari . Jika
dijelaskan oleh maka adalah korelasi antara dengan .
=
koe isien
regresi ber ganda
dar i , jika
dijelaskan oleh
, jika dijelaskan
oleh
2. Skema centroid centroid schema
Bobot inner model merupakan korelasi tanda sign correlation antara dari , dan
dapat ditulis sebagai berikut :
= [
]
3. Skema faktor factor schema
Bobot inner model merupakan korelasi antara dari , dan dapat ditulis sebagai
berikut :
=
Estimasi Outer Model
Estimasi outer model dari standarisasi variabel laten −
dengan rata-rata = 0 dan standart deviasi = 1, diperoleh melalui kombinasi linear dari pusat variabel manifest melalui
persamaan berikut : ∝
±
− Dimana simbol
∝ bermakna bahwa variabel sebelah kiri mewakili variabel sebelah kanan yang distandarisasi. Standarisasi variabel laten dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut :
= +
Dengan
= +
dan
=
− Sehingga
=
∑ −
Dimana koefisien dan
keduanya dinamakan sebagai pembobot outer model.
3.
Tahap ketiga menghasilkan estimasi rata-rata mean dan lokasi parameter konstanta. Pada tahap ini, estimasi didasarkan pada matriks data asli dan hasil estimasi bobot dan koefisien
jalur pada tahap kedua, tujuannya untuk menghitung rata-rata dan lokasi parameter. Estimasi Rata-rata
Mean
Estimasi rata-rata mean diperoleh melalui persamaan sebagai berikut :
= +
+
−
= +
Dengan
=
−
maka
ξ −
m = w X
−
X
Analogi : ξ
= w
h
X
h h
= Y + m
Sehingga: =
Nurmayanti H, Bambang W Pemodelan Structural Equation
M-234
Dimana didefinisikan sebagai pembobot dari outer model, dengan semua variabel manifest
yaitu pengamatan pada skala pengukuran yang sama. Menurut Fornell 1982, mengatakan bahwa jika estimasi variabel laten pada skala asli maka :
ξ
∗
=
∑
w
h
X
h h
∑
w
h h
Persamaan diatas dimungkinkan ketika semua pembobot dari outer model positif. Seringkali di dalam aplikasi nyata, estimasi variabel laten memerlukan skala 0 – 100 agar memiliki acuan
skala untuk di bandingkan dengan score individu. Sehingga untuk kasus pengamatan ke-i, lebih muda diperoleh melalui transformasi sebagai berikut :
ξ
= 100 x
ξ
∗
−
x x
−
x
Dimana dan
adalah nilai minimum dan maksimum dari skala pengukuran umum untuk semua variabel manifest.
Estimasi Lokasi Parameter Secara umum koefisien jalur
adalah koefisien regresi berganda dari variabel laten endogen yang distandarisasi pada variabel laten penjelas eksogen .
Y =
∑
b Y + e
Pada saat variabel laten memusat non centered adalah sama dengan
+
. persamaan regresi pada saat variabel laten tidak memusat adalah :
= +
+
=
−
+ =
−
2
−
2
∑
+ + 2
∑
+
∑
= =
− ∑ Dengan
b =
m
−
b m
Jadi lokasi parameternya adalah konstanta untuk variabel laten endogen dan rata-rata
untuk variabel laten eksogen.
Estimasi Model Fit SEM - PLS Analisis Model Persamaan Struktural dengan SEM -
Partial Least Square PLS 1.
Konstruksi Diagram Jalur
Gambar 3.1 Kerangka Konseptual Penelitian Berdasarkan Model Persamaan
Struktural
Sumber : Talangko 2009
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-235
Konversi Diagram Jalur ke Persamaan Outer Model
1. Untuk variabel laten eksogen 1 refleksif
= +
= +
= +
2. Untuk variabel laten eksogen 2 refleksif
= +
= +
= +
3. Untuk variabel laten eksogen 3 refleksif
= +
= +
4. Untuk variabel laten endogen refleksif
= +
= +
= +
Inner Model
= +
+ +
Derkes = Lingk. +
Perilaku + Yankes + zeta tingkat kesalahan struktural