Rosalia D, M Isa, Subchan Kendali Optimal temperatur
M-288
menggunakan metanol sebagai alkhohol dan NaOH sebagai katalis alkali. Sedangkan rasio molar antara metanol dan trigliserida yang digunakan dalam reaksi ini adalah 6:1.
PEMBAHASAN Model Matematika Kinetika Reaksi Transesterifikasi
Tahapan utama dalam proses produksi biodiesel adalah reaksi transesterifikasi yang mengkonversi senyawa trigliserida menjadi ester metilbiodiesel dan gliserol sebagai produk
sampingan. Reaksi ini dapat berlangsung dengan bantuan alkohol dan katalis alkali secara reversible melalui 3 tahapan, yaitu Noureddini, dkk, 1997, Benavides, dkk, 2011 :
Reaksi keseluruhan : 1
Berdasarkan prinsip konservasi massa, kinetika dari reaksi transesterifikasi pada persamaan 1 yang berlangsung di dalam batch reactor dapat diturunkan menjadi suatu model
matematika berupa persamaan diferensial biasa yang non-linear sebagai berikut Noureddini, dkk, 1997, Benavides, dkk, 2011 :
2 3
4 5
6
7
dengan : konsentrasi trigliserida molL
: konsentrasi digliserida molL : konsentrasi monogliserida molL
: konsentrasi ester metilbiodiesel molL : faktor frekuensi untuk tiap-tiap komponen i=1,2,…,6
: , dengan
adalah energi aktivasi untuk tiap-tiap komponen ,
i=1,2,…,6 dan R adalah konstanta gas
3 1
k ,
k 3
COOCH R
DG OH
CH TG
2 1
3 2
k ,
k 3
COOCH R
MG OH
CH DG
4 3
3 3
k ,
k 3
COOCH R
GL OH
CH MG
6 5
GL
3RCOOCH OH
CH 3
TG
3 3
2 1
1
2 1
t C
t C
e a
t C
t C
e a
dt dC
f
E DG
t T
b A
TG t
T b
TG
4 3
2 1
2
4 3
2 1
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
dt dC
f
E MG
t T
b A
DG t
T b
E DG
t T
b A
TG t
T b
DG
6 5
4 3
3
6 5
4 3
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
dt dC
f
E GL
t T
b A
MG t
T b
E MG
t T
b A
DG t
T b
MG
6 5
4 3
2 1
4
6 5
4 3
2 1
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
dt dC
f
E GL
t T
b A
MG t
T b
E MG
t T
b A
DG t
T b
E DG
t T
b A
TG t
T b
E
6 5
4 3
2 1
5
6 5
4 3
2 1
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
t C
t C
e a
dt dC
dt dC
f
E GL
t T
b A
MG t
T b
E MG
t T
b A
DG t
T b
E DG
t T
b A
TG t
T b
E A
6 5
6
6 5
t C
t C
e a
t C
t C
e a
dt dC
f
E GL
t T
b A
MG t
T b
GL
TG
C
DG
C
MG
C
E
C
i
a
i
b R
Ea
i i
Ea
1
kJmol
3
-1 -1
8.314 10 kJmol K
: konsentrasi metanol molL
: konsentrasi gliserida molL T
: temperatur reaksi K
A
C
GL
C
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-289
Persamaan 2 - 7 merupakan sistem dinamik dari masalah kendali optimal temperatur dalam proses produksi biodiesel. Adapun fungsi tujuannya adalah memaksimalkan konsentrasi
ester metilbiodiesel yang dihasilkan, yang dapat dinyatakan sebagai berikut : 8
dengan kondisi awal dan kondisi batas sebagai berikut :
Penyelesaian Masalah Kendali Optimal Temperatur
Pada umumnya, masalah kendali optimal sulit diselesaikan secara analitik sehingga diperlukan pendekatan numerik untuk mencari solusinya. Terdapat dua pendekatan numerik yang
dapat digunakan, antara lain Subchan, dkk, 2009 :
1. Metode Tidak Langsung Indirect Method
Dalam metode tidak langsung, masalah kendali optimal diselesaikan dengan menurunkan kondisi perlu berdasarkan Pontryagin Maximum Principle. Metode ini memiliki beberapa kesulitan
karena diperlukan turunan dari persamaan adjoin co-state, persamaan state, kondisi optimal, dan kondisi transversality yang tidak mudah diselesaikan.
Langkah pertama untuk menyelesaikan masalah kendali optimal temperatur pada proses produksi biodiesel adalah membentuk fungsi Hamiltonian, yaitu :
9 Berdasarkan Pontryagin Maximum Principle, kondisi perlu yang harus dipenuhi untuk
mendapatkan solusi optimal adalah: Kondisi Stasioner
Kondisi stasioner yang harus dipenuhi adalah turunan fungsi Hamiltonian terhadap variabel kendali, yaitu temperatur T harus sama dengan nol.
f E
t C
J
max min
, ,
, ,
, ,
,
GL GL
A A
E E
MG MG
DG DG
TG TG
f
C C
C C
C C
C C
C C
C C
T T
T t
t
, ,
, ,
, ,
, t
t u
t x
f t
t t
u t
x V
t t
t u
t x
H
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
E DG
T b
A TG
T b
i i
i
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
f H
6 5
4 3
2 1
6 5
4 3
4 3
2 1
2 1
6 5
4 3
2 1
4 6
5 4
3 3
4 3
2 1
2 2
1 1
6 1
E GL
T b
A MG
T b
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
6 5
6 5
4 3
2 1
6 5
6 6
5 4
3 2
1 5
T
H
Rosalia D, M Isa, Subchan Kendali Optimal temperatur
M-290
10 Misalkan
maka didapatkan 12
Persamaan State
Berdasarkan fungsi Hamiltonian pada persamaan 9, didapatkan persamaan state yang harus diselesaikan, yaitu :
dengan kondisi awal sebagai berikut
6 5
6 5
4 3
2 1
6 5
4 3
2 1
6 5
4 3
4 3
2 1
2 1
6 6
2 6
5 6
2 5
6 5
2 6
5 5
2 5
4 5
2 4
3 5
2 3
2 5
2 2
1 5
2 1
6 4
2 6
5 4
2 5
4 4
2 4
3 4
2 3
2 4
2 2
1 4
2 1
6 3
2 6
5 3
2 5
4 3
2 4
3 3
2 3
4 2
2 4
3 2
2 3
2 2
2 2
1 2
2 1
2 1
2 2
1 1
2 1
E GL
T b
A MG
T b
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
E DG
T b
A TG
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
C C
e a
T b
T H
E GL
E GL
E MG
A MG
A MG
A DG
E GL
E MG
E MG
A MG
A DG
A DG
E MG
E DG
E DG
A DG
A TG
A TG
E DG
E GL
E DG
A TG
A MG
A TG
C C
b a
X C
C b
a P
C C
b a
H C
C b
a W
C C
b a
O C
C b
a G
C C
b a
V C
C b
a N
C C
b a
F C
C b
a U
C C
b a
M C
C b
a E
C C
b a
T C
C b
a L
C C
b a
D C
C b
a S
C C
b a
K C
C b
a C
C C
b a
R C
C b
a J
C C
b a
B C
C b
a Q
C C
b a
I C
C b
a A
6 6
6 6
6 4
4 4
3 5
5 6
5 5
4 3
3 3
6 6
5 4
4 4
4 4
2 5
5 5
3 3
4 3
3 2
4 4
5 2
2 4
2 2
2 3
3 5
1 1
4 1
1 2
2 2
5 6
6 3
2 2
1 1
1 5
5 5
3 1
1 1
TUVWX KLLMNOPQRS
ABCDEFGHIJ b
b b
b b
b T
ln 4
6 5
4 3
2 1
i i
H t
x
E DG
T b
A TG
T b
TG
C C
e a
C C
e a
H t
C
2 1
2 1
1
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
DG
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
H t
C
4 3
2 1
4 3
2 1
2
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
MG
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
H t
C
6 5
4 3
6 5
4 3
3
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
E
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
H t
C
6 5
4 3
2 1
6 5
4 3
2 1
4
E GL
T b
A MG
T b
E MG
T b
A DG
T b
E DG
T b
A TG
T b
A
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
C C
e a
H t
C
6 5
4 3
2 1
6 5
4 3
2 1
5
E GL
T b
A MG
T b
GL
C C
e a
C C
e a
H t
C
6 5
6 5
6
, ,
, ,
,
GL GL
A A
E E
MG MG
DG DG
TG TG
C C
C C
C C
C C
C C
C C
11