sumbu-y terhadap sumbu-z Fase implementasi implementation

Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012 M-67 menunjukkan kemungkinan terjadi bifurkasi jenis pitchfork. Untuk itu, sistem ini kemudian akan di analisis menggunakan teori manifold center untuk mengubah sistem ini ke dalam bentuk normal dari bifurkasi tersebut. Sehingga didapatkan bukti secara analitis bahwa sistem Lorenz pada titik ekuilibrium 0, 0, 0 t e r j a d i b i f u r k a s i p i t c h f o r k saat parameter = 1 . MATRIKS JACOBIAN DAN NILAI EIGEN PERSAMAAN LORENZ Cara paling sederhana untuk menganalisis persamaan Lorenz merupakan sistem persamaan non-linear adalah dengan linearisasi dan kemudian ditentukan nilai eigen matriks Jacobiannya. Matriks Jacobian dari sistem 2 adalah J =                  3 8 1 10 10 x y x z  , 3 Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks J digunakan persamaan λI – Jx = 0. Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang non-trivial dari persamaan λI – Jx = 0 sehingga det     J I  . det   J I   = det                     3 8 1 10 10     x y x z = 0 4 + [ + 10 + 1 + 10 − + ] − + 10 + 10 = 0 5 Persamaan 5 merupakan persamaan karakteristik dari sistem Lorenz. 1. Untuk nilai 1 dipilih = 0.5 dengan titik ekulibriunnya di titik 0, 0, 0. + [ + 10 + 1 + 10 − 0.5 ] = 0 6 + [ + 10 + 1 − 5] = 0 7 + [ + 11 + 5] = 0 8 Dari persamaan 8 didapat nilai eigennya adalah = − , = √ dan = √ . Ketiga nilai eigen yang didapat merupakan nilai eigen negatif , hal ini menunjukan bahwa sistem tersebut stabil saat 1. 2. Untuk nilai = 1 dengan titik ekulibriunnya di titik 0, 0, 0. + [ + 10 + 1 − 10] = 0 9 + + 11 = 0 10 Dari persamaan 10 didapat nilai eigennya adalah = − , = − 11 dan = 0 . Terdapat nilai eigen nol = 0 , sehingga kestabilannya tidak dapat ditentukan melalui nilai eigen dari matriks Jacobiannya. 3. Untuk nilai 1 dengan titik ekulibriunnya di titik 0, 0, 0 + [ + 10 + 1 − 20] = 0 11 + [ + 11 − 10] = 0 12 Dari persamaan 12 didapat nilai eigennya adalah = − , = √ dan = √ . Terdapat nilai eigen positif , hal menunjukan bahwa sistem tersebut tidak stabil saat 1. Berdasarkan tiga kemungkinan nilai eigen ini dapat disimpulkan sistem Lorenz mengalami bifurkasi saat = 1. M-68 TRANSFORMASI SISTEM LORENZ MENGGUNAKAN TEORI MANIFOLD CENTER Selanjutnya persamaan 2 akan ditranslasikan kedalam persamaan ̇ = , ̅ dengan ̅ = − 1 dan nilai dari konstanta σ = 10 dan  = 83. Sehingga didapat persamaan berikut: = − 10 + 10 = ̅ + − − = − 1 3 dengan x,y,z=0,0,0 adalah titik ekuilibrium dari persamaan 13. Persamaan 13 dapat ditulis dalam bentuk matriks menjadi ̇ ̇ ̇ = 10 − + ̅ + − − − 14 Dari hasil pelinearan pada matrik jacobi J J =                    3 8 1 10 10 x y x z  , 15 dengan nilai eigen 0, − 11, − 16 didapat vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen dari matrik J adalah: 1 1 , 10 − 1 , 1 , 17 Untuk menentukan jenissifat stabilitas dari x,y,z=0,0,0 untuk ̅ mendekati nol. Persamaan 15 diubah ke dalam bentuk standar. Menggunakan basis eigen 17, diperoleh transformasi = 1 10 1 − 1 1 , 18 dengan invers = − 1 19 Substitusi 19 ke 16 menghasilkan ̇ ̇ ̇ = − 110 ̅ + 10 + 11 − + 10 − + 10 − 20 Persamaan 19 dapat dibentuk menjadi ̇ ̇ ̇ = − 1 ̇ ̇ ̇ 21 Substitusi 20 ke 21 menghasilkan ̇ ̇ ̇ = − 1 − 110 ̅ + 10 + 11 − + 10 − + 10 − Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012 M-69 ̇ ̇ ̇ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ̅ + 10 − ̅ + 10 − 11 − ̅ + 10 + ̅ + 10 − + + 10 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 22 Persamaan 22 dapat dituliskan menjadi ̇ ̇ ̇ = + , ̅ ̇ ̇ ̇ = − 11 − 8 3 + ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ − ̅ + 10 − + 10 ̅ + 10 + + 10 + 10 − ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ , 23 Misalkan ℎ = + ̅ + ̅ + ⋯, ℎ = + ̅ + ̅ + ⋯ 24 Manifold Center untuk persamaan 23 harus memenuhi: ℎ , = ℎ , [ + , ℎ , , ] − ℎ , − , ℎ , , = 0 25 Sehingga didapat: = , ≡ , , ≡ ̅ , ℎ ℎ , ℎ , = 0 = − 11 − , , , = ̅ + 10 − + 10 , , = − ̅ + 10 + + 10 + 10 − 26 Substitusi persamaan 24 ke persamaan 25 dengan menggunakan persamaan 26 untuk mendapatkan 2 komponen dari persamaan manifold center, yaitu 11 + 11 + ̅ + 11 ̅ + − + ̅ + − ̅ + [ 2 − + − − − − ] ̅ … . = 27 − 1 + + ̅ + ̅ + − 9 + ̅ + − 9 + ̅ + 20 + 10 + 2 − + − ̅ … . = 28 Agar persamaan 27 dan persamaan 28 memiliki nilai 0 maka haruslah seluruh koefisiennya bernilai 0, sehingga didapatkan 11 = 0 dan 11 + ̅ = 0 , serta − 1 + = 0 dan ̅ = 0 sehingga didapatkan = 0 , = − , = dan = 0 Substitusi nilai dari , , , ke persamaan 24 ℎ = − ̅ + ⋯ ℎ = + ⋯ 29 M-70 Substitusi prsamaan 29 ke persamaan 23 sehingga diperoleh persamaan manifold centernya adalah ̇ = ̅ − ̅ − − ̅ … , ̅̇ = 0 30 Potret fase dari persamaan 30 ̅ Gambar 3 . Potret fase persamaan 30 Pada Gambar 3 terlihat bahwa titik ekuilibrium 0, 0, 0 mengalami perubahan, dari stabil saat ̅ ≤ menjadi tidak stabil saat ̅ . Selain itu saat ̅ terjadi penambahan dua titik ekuilibrium yang stabil. Kejadian seperti ini merupakan ciri-ciri dari bifurkasi pitchfork.

5. Kesimpulan

Dari hasil analisis sistem Lorenz ini berdasarkan kestabilan titik ekuilibrium 0, 0, 0 dan pengaruh nilai terhadap nilai eigen dan kestabilan sistem saat = 1 sistem mengalami bifurkasi pitchfork.

6. Daftar Pustaka

Anton, Howard. 1998. Aljabar Linier Elementer. Alih bahasa: Pantur Silaban. Drexel University. Erlangga: Jakarta. E. Boyle, William C. Diprima, Richard. 1997. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley Sons, Inc : New York. Foelyanti, Rika, M. Ary Murti, dan Asep Mulyana. 2007. Analisis Perbandingan Unjuk Kerja Algoritma Lorentz, Julia Set dan Tent Function Sebagai Algoritma Chaotic. Bandung Kuznetsov, Y. 1998. Elements of Applied Bifurcations Theory. Springer-Verlag: New York. Perko, Lawrence. 1993. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag: New York. Wiggins, S. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dyn. Systems and Chaos. Springer-Verlag: New York. Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012 M-71 PENGGUNAAN MODEL NEURO FUZZY UNTUK PERAMALAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP YEN JEPANG Dian Tri Handayani 1 , Agus Maman Abadi 2 1 Mahasiswa Program Studi Matematika, FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta 2 Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta Email : dhyan_3hyahoo.co.id Abstrak Penulisan skripsi ini bertujuan untuk memprediksi nilai tukar rupiah terhadap yen Jepang dengan menggunakan model neuro fuzzy Sugeno orde nol. Pada penelitian ini, prediksi nilai tukar rupiah didasarkan pada data nilai tukar rupiah terhadap yen sebelumnya dan faktor-faktor yang mempengaruhi nilai tukar, yaitu jumlah uang yang beredar, inflasi, dan tingkat suku bunga BI rate. L angkah pertama pemodelan ini adalah pemilihan variabel input-output menggunakan jaringan backpropagation dengan fungsi biaya Sum Squared Error SSE, kemudian data dibagi menjadi data pelatihan dan data pengujian. Selanjutnya data pelatihan dan pengujian dikelompokkan ke dalam beberapa kelas, kemudian pembelajaran jaringan syaraf yang berhubungan dengan bagian antesenden untuk mendapatkan nilai keanggotaan. Langkah selanjutnya pembelajaran jaringan syaraf yang berhubungan dengan bagian konsekuen untuk mendapatkan output konsekuen. Setelah penentuan output akhir, dihitung nilai MAPE dan MSE untuk melihat tingkat keakuratan pemodelan neuro fuzzy. Model terbaik untuk prediksi nilai tukar rupiah terhadap yen Jepang adalah model neuro fuzzy dengan input nilai tukar 1 sampai 5 bulan sebelumnya. Nilai MAPE data pelatihan dan data pengujian berturut-turut sebesar 4.58 dan 5.79, dan nilai MSE data pelatihan dan data pengujian berturut-turut sebesar 26.20702 dan 88.33685. Kata kunci : neuro fuzzy, prediksi, nilai tukar,backpropagation PENDAHULUAN Nilai tukar mata uang exchange ratekurs merupakan peran sentral dalam hubungan perdagangan internasional, karena exchange rate memungkinkan dapat membandingkan harga-harga barang dan jasa yang dihasilkan oleh suatu negara. Menurut Salvatore 1997 : 9, nilai tukar adalah harga suatu mata uang terhadap mata uang lainnya atau nilai dari suatu mata uang terhadap nilai mata uang lainnya. Perekonomian Indonesia tidak lepas dari pengaruh Jepang yang merupakan negara industri maju dan memiliki tingkat perekonomian tinggi, kuat serta didukung oleh teknologi dan sumber daya manusia yang produktif, oleh karena itu jika terjadi gejolak dalam perekonomian negara yang besar dan kuat, negara dengan perekonomian terbuka kecil seperti Indonesia akan terpengaruh. Salah satu dampak yang dirasakan Indonesia ketika terjadi depresiasi atau penurunan nilai rupiah terhadap yen Jepang secara langsung mempengaruhi jumlah hutang luar negeri yang harus dibayar, baik oleh pemerintah Indonesia maupun sektor swasta, maka prediksi nilai tukar mata uang yang akan datang sangat diperlukan untuk menentukan kebijakan ekonomi mendatang. Nilai tukar tidak ditetapkan oleh bank sentral melainkan pasar yang menentukan, sehingga nilai tukar dapat berubah setiap saat sesuai mekanisme pasar dan tanpa adanya intervensi pemerintah pusat. Hal tersebut juga berlaku di Indonesia. Menurut Kebanksentralan Bank Indonesia terdapat tiga sistem nilai tukar yaitu sistem nilai tukar mengambang, sistem nilai tukar tetap , dan sistem nilai tukar mengambang terkendali. Melemahnya nilai tukar rupiah terhadap yen Jepang atau depresiasi akan mempengaruhi harga pokok produksi industri kendaraan karena kandungan impor bahan bakunya. Kenaikan biaya pokok produksi tentu mendorong industri menaikkan harga penjualan produk, sehingga harga barang-barang impor dari Jepang mahal. Hal tersebut mengakibatkan pemerintah harus mengeluarkan biaya yang besar untuk memenuhi kebutuhan negara, maka berdampak pula pada perekonomian Indonesia. Turunnya nilai tukar rupiah terhadap yen juga mempengaruhi jumlah hutang luar negeri yang harus dibayar, baik oleh pemerintah Indonesia maupun