sumbu-y terhadap sumbu-z Fase implementasi implementation
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-67
menunjukkan kemungkinan terjadi bifurkasi jenis pitchfork. Untuk itu, sistem ini kemudian akan di analisis menggunakan teori manifold center untuk mengubah sistem ini ke dalam bentuk normal dari
bifurkasi tersebut. Sehingga didapatkan bukti secara analitis bahwa sistem Lorenz pada titik ekuilibrium 0, 0, 0 t e r j a d i b i f u r k a s i p i t c h f o r k saat parameter
= 1
. MATRIKS JACOBIAN DAN NILAI EIGEN PERSAMAAN LORENZ
Cara paling sederhana untuk menganalisis persamaan Lorenz merupakan sistem persamaan non-linear adalah dengan linearisasi dan kemudian ditentukan nilai eigen matriks Jacobiannya.
Matriks Jacobian dari sistem 2 adalah
J =
3 8
1 10
10 x
y x
z
, 3
Untuk mendapatkan nilai eigen dari matriks J digunakan persamaan λI – Jx = 0.
Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang non-trivial dari persamaan
λI – Jx = 0 sehingga det
J
I
.
det
J I
= det
3 8
1 10
10
x y
x z
= 0 4
+ [ + 10 + 1 + 10
−
+ ]
−
+ 10 + 10 = 0
5 Persamaan 5 merupakan persamaan karakteristik dari sistem Lorenz.
1. Untuk nilai 1 dipilih = 0.5 dengan titik ekulibriunnya di titik 0, 0, 0.
+ [ + 10 + 1 + 10
−
0.5 ] = 0
6
+ [ + 10 + 1
−
5] = 0
7
+ [
+ 11 + 5] = 0
8 Dari persamaan 8 didapat nilai eigennya adalah
=
− ,
=
√
dan
=
√
. Ketiga nilai eigen yang didapat merupakan nilai eigen negatif
, hal ini menunjukan bahwa sistem tersebut stabil saat 1.
2. Untuk nilai = 1 dengan titik ekulibriunnya di titik 0, 0, 0.
+ [ + 10 + 1
−
10] = 0
9
+ + 11
= 0
10 Dari persamaan 10 didapat nilai eigennya adalah
=
− ,
=
−
11
dan
= 0
. Terdapat nilai eigen nol
= 0
, sehingga kestabilannya tidak dapat ditentukan melalui nilai eigen dari matriks Jacobiannya.
3. Untuk nilai 1 dengan titik ekulibriunnya di titik 0, 0, 0
+ [ + 10 + 1
−
20] = 0
11
+ [
+ 11
−
10] = 0
12 Dari persamaan 12 didapat nilai eigennya adalah
=
− ,
=
√
dan
=
√
. Terdapat nilai eigen positif
, hal menunjukan bahwa sistem tersebut tidak stabil saat 1. Berdasarkan tiga kemungkinan nilai eigen ini dapat disimpulkan sistem Lorenz mengalami
bifurkasi saat = 1.
M-68
TRANSFORMASI SISTEM LORENZ MENGGUNAKAN TEORI MANIFOLD CENTER
Selanjutnya persamaan 2 akan ditranslasikan kedalam persamaan ̇
= ,
̅ dengan
̅
=
−
1
dan nilai dari konstanta σ = 10 dan
= 83. Sehingga didapat persamaan berikut:
=
−
10 + 10 =
̅
+
− −
=
− 1 3
dengan x,y,z=0,0,0 adalah titik ekuilibrium dari persamaan 13. Persamaan 13 dapat ditulis dalam bentuk matriks menjadi
̇ ̇
̇
= 10
−
+
̅
+
− − −
14 Dari hasil pelinearan pada matrik jacobi J
J =
3 8
1 10
10 x
y x
z
, 15
dengan nilai eigen
0,
−
11,
− 16
didapat vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen dari matrik J adalah:
1 1
, 10
−
1 ,
1
, 17
Untuk menentukan jenissifat stabilitas dari x,y,z=0,0,0 untuk ̅ mendekati nol. Persamaan 15
diubah ke dalam bentuk standar. Menggunakan basis eigen 17, diperoleh transformasi
= 1
10 1
−
1 1
, 18
dengan invers
=
−
1
19 Substitusi 19 ke 16 menghasilkan
̇ ̇
̇
=
−
110
̅
+ 10 + 11
−
+ 10
−
+ 10
− 20
Persamaan 19 dapat dibentuk menjadi ̇
̇ ̇
=
−
1
̇ ̇
̇ 21
Substitusi 20 ke 21 menghasilkan ̇
̇ ̇
=
−
1
−
110
̅
+ 10 + 11
−
+ 10
−
+ 10
−
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-69
̇ ̇
̇
=
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎡ ̅
+ 10
− ̅
+ 10
−
11
− ̅
+ 10 +
̅
+ 10
−
+ + 10
− ⎦
⎥ ⎥
⎥ ⎤
22 Persamaan 22 dapat dituliskan menjadi
̇ ̇
̇
= +
,
̅ ̇
̇ ̇
=
−
11
−
8 3
+
⎣ ⎢
⎢ ⎡
− ̅
+ 10
−
+ 10
̅
+ 10 + + 10
+ 10
− ⎦
⎥ ⎥
⎤ ,
23 Misalkan
ℎ
= +
̅
+
̅
+
⋯, ℎ
= +
̅
+
̅
+
⋯ 24
Manifold Center untuk persamaan 23 harus memenuhi:
ℎ
,
= ℎ
, [ +
,
ℎ
, , ]
− ℎ
,
−
,
ℎ
, ,
= 0 25
Sehingga didapat:
= ,
≡
, ,
≡ ̅
,
ℎ ℎ
,
ℎ ,
= 0 =
−
11
− ,
, , =
̅
+ 10
−
+ 10 , , =
− ̅
+ 10 + + 10
+ 10
− 26
Substitusi persamaan 24 ke persamaan 25 dengan menggunakan persamaan 26 untuk mendapatkan 2 komponen dari persamaan manifold center, yaitu
11 +
11 +
̅
+ 11
̅
+
−
+
̅
+
− ̅
+ [ 2
−
+
− −
− −
]
̅
…
.
=
27 −
1 + +
̅
+
̅
+
−
9 +
̅
+
−
9 +
̅
+ 20 + 10
+ 2
−
+
− ̅
…
.
=
28
Agar persamaan 27 dan persamaan 28 memiliki nilai 0 maka haruslah seluruh koefisiennya bernilai 0, sehingga didapatkan
11 = 0
dan
11 +
̅
= 0
, serta −
1 + = 0
dan ̅
= 0
sehingga didapatkan
= 0
,
=
− ,
=
dan
= 0
Substitusi nilai dari
, ,
,
ke persamaan 24 ℎ = −
̅
+
⋯ ℎ =
+
⋯ 29
M-70
Substitusi prsamaan 29 ke persamaan 23 sehingga diperoleh persamaan manifold centernya adalah ̇
=
̅ −
̅ − −
̅
…
, ̅̇
= 0
30 Potret fase dari persamaan 30
̅
Gambar 3 . Potret fase persamaan 30
Pada Gambar 3 terlihat bahwa titik ekuilibrium 0, 0, 0 mengalami perubahan, dari stabil saat
̅ ≤ menjadi tidak stabil saat
̅ . Selain itu saat
̅ terjadi penambahan dua titik
ekuilibrium yang stabil. Kejadian seperti ini merupakan ciri-ciri dari bifurkasi pitchfork.