Ngarap I, Don T, Pretty C Pengujian Struktur Matematika
M-218
Tabel 3. Beberapa hasil Uji Asosiatif G,
000 = 00 = 0 Equal to
0 = 00 = 000 001 = 01 = 1
Equal to 1 = 01 = 001
100 = 10 = 1 Equal to
1 = 10 = 100 101 = 11 = 2
Equal to 2 = 11 = 101
200 = 20 = 2 Equal to
2 = 20 = 200 222 = 21 = 0
Equal to 0 = 12 = 222
Terbukti operasi pada sistem aljabar G, bersifat asosiatif. Demikian pula dilakukan pengujian sifat asosiatif untuk semua kemungkinan pasangan operasi
pada sistem aljabar H, sebagai berikut. Untuk memudahkan pembacaan pada tabel digunakan simbol pengganti bagi elemen-elemen, yaitu :
1 menjadi 1; 1 2 menjadi 12 ; 1 2 3 menjadi 123; 1 3 menjadi 13;2 3 menjadi 23 dan 1 3 2 menjadi 132;
Tabel 4.
Beberapa Hasil Uji Asosiatif H, 111
= 11 =
1 sama dengan 1 = 11
= 111 11123
= 1123 = 123
sama dengan 123 = 1123 = 11123
11132 = 1132
= 132 sama dengan 132 = 1132 = 11132
1112 = 112
= 12
sama dengan 12 = 112
= 1112 .............
232313 = 23123 =
13 sama dengan 13 = 113
= 232313 232323 = 231
= 23 sama dengan
23 = 123 = 232323
Terbukti operasi pada sistem aljabar H, bersifat asosiatif. Sehingga G, dan H, memenuhi sifat tertutup dan asosiatif. Maka G, dan H, memenuhi syarat semigrup.
3. Elemen identitas
Untuk sistem aljabar G, terdapat elemen identitas gabungan, e = 0. 00 = 0 ; 10 = 01 = 1; 20 = 02 = 2
Untuk sistem aljabar H, juga terdapat elemen identitas gabungan, e = 1 11 = 1 ; 1 2 31 = 11 2 3 = 1 2 3 ; 1 3 21 = 11 3 2 = 1 3 2
1 21 = 11 2 = 1 2; 1 31 = 11 3=1 3 dan 2 31=12 3 = 2 3 G, dan H, memenuhi sifat semigrup dan memiliki elemen identitas. Maka G, dan H,
memenuhi syarat monoid.
4. Invers
Setiap elemen dalam sistem aljabar G, memiliki invers. Invers 0 adalah 0 ; Invers 1 adalah 2 ; Invers 2 adalah 1
Setiap elemen dalam sistem aljabar H, juga memiliki invers. Invers 1 adalah 1 ; Invers 1 2 3 adalah 1 3 2; Invers 1 3 2 adalah 1 2 3
Invers 1 2 adalah 1 2 ; Invers 1 3 adalah 1 3 dan Invers 2 3 adalah 2 3 G, dan H, memenuhi sifat Monoid dan tiap elemennya memiliki invers.
Maka G, dan H, memenuhi syarat Grup.
5. Komutatif
Untuk sistem aljabar G, dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan pasangan operasi sebagai berikut.
Tabel 5. Hasil Uji Komutatif G,
00 =
0 sama dengan 0 = 00 01
= 1 sama dengan 1 = 10
02 =
2 sama dengan 2 = 20
10 =
1 sama dengan 1 = 01 20
= 2
sama dengan 2 = 02 21
= 0 sama dengan 0 = 12
22 =
1 sama dengan 1 = 22
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-219
Terbukti operasi pada G, memenuhi sifat komutatif. Demikian pula untuk sistem aljabar H, dilakukan pengujian terhadap semua kemungkinan
pasangan operasi, di mana terbukti operasi pada H, tidak memenuhi sifat komutatif. Grup Abelian Komutatif
Karena G, memenuhi sifat komutatif, maka G, merupakan grup abelian komutatif. Sebaliknya grup H, tidak memenuhi sifat komutatif maka grup H, bukan merupakan grup
abelian komutatif. Grup Siklik
Untuk sistem aljabar G, dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya sendiri sebagai berikut.
0 = 00 0 = 111
0 = 222 1 = 1111
1 = 22 2 = 11
2 = 2222 Ada elemen 1 dan 2 yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan seluruh elemen
dalam himpunan G, maka G, adalah grup siklik. Demikian pula untuk sistem aljabar H, dilakukan pengujian operasi tiap elemen dengan dirinya
sendiri sebagai berikut.
1 = 11 1 = 1 2 31 2 31 2 3
1 2 3 = 1 2 31 2 31 2 31 2 3 1 3 2 = 1 2 31 2 3
1 = 1 3 21 3 21 3 2 1 = 1 21 2
1 2 3 = 1 3 21 3 2 1 2 = 1 21 21 2
1 3 2 = 1 3 21 3 21 3 21 3 2 1 = 1 31 3
1 = 2 32 3 1 3 = 1 31 31 3
2 3 = 2 32 32 3 Tidak ada elemen pada grup H yang hasil operasi dengan dirinya sendiri dapat menghasilkan
seluruh elemen dalam himpunan H, maka H, bukan Grup Siklik.[7] Grup Aperiodik dan Periodik
Berikut adalah order unsurnya pada grup G,:
Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup G, adalah grup periodik. Dilakukan uji yang sama pada grup H,. Berikut adalah order unsurnya:
Karena order unsur-unsurnya berhingga maka grup H, adalah grup periodik. Subgrup Normal
H = {1, 1 2 3, 1 3 2, 1 2, 1 3, 2 3}bukan merupakan himpunan bagian dari G={0,1,2} maka H bukan merupakan subgrup dari G sehingga tidak dapat dibuktikan. Begitupula sebaliknya,
G={0,1,2} bukan merupakan himpunan bagian dari H = {1, 1 2 3, 1 3 2, 1 2, 1 3, 2 3 maka G bukan merupakan subgrup dari H sehingga tidak dapat dibuktikan.
3 2
3 1
1
unkes
2 23
2 13
2 12
3 132
3 123
1 1
unkes