Andy Rudhito yakni fx = 0.8.
M Andy Sistem Linear Max
M-164
R
,
, disebut aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan R
max
. Relasi “
m
”pada R
max
didefinisikan dengan x
m
y x y = y.
Operasi
dan pada R
max
dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam
n m
max
R : =
{A = A
ij
A
ij
R
max
, untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}. Untuk
R
max
, dan A, B
n m
max
R
didefinisikan A, dengan A
ij
= A
ij
dan A B, dengan A B
ij
= A
ij
B
ij
untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Untuk A
p m
max
R , B
n p
max
R didefinisikan A
B, dengan A B
ij
=
kj ik
p k
B A
1
. Didefinisikan matriks E
n n
max
R , E
ij
: =
j
i ε
j i
jika ,
jika ,
dan matriks
n m
max
R ,
ij
:= untuk setiap i dan j. Relasi “
m
”pada
n m
max
R didefinisikan dengan A
m
B A B =
B. Didefinisikan
n max
R := {x = [ x
1
, x
2
, ... , x
n
]
T
| x
i
R
max
, i = 1, 2, ... , n}. Unsur-unsur dalam
n max
R disebur vektor atas R
max
. Diberikan A
n n
max
R
. Skalar
R
max
disebut nilai eigen max-plus matriks A jika terdapat
suatu vektor v
n max
R
dengan v
n 1
sehingga A
v = v. Vektor v tersebut disebut vektor
eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan . Diberikan A
n n
max
R
. Dapat ditunjukkan bahwa skalar
max
A =
n
k 1
k 1
ii k
n
A
1 i
, merupakan suatu nilai eigen max-plus matriks A. Lebih lanjut untuk B =
max
A A, jika
ii
B = 0, maka kolom ke-i matriks
B
merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
max
A. Kolom-kolom ke-i matriks
B
di atas, yang merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
max
A, disebut vektor-vektor eigen fundamental yang bersesuaian dengan nilai eigen
max
A. Dapat ditunjukkan bahwa kombinasi linear max-plus vektor-vektor eigen fundamental matriks A juga merupakan vektor eigen yang
berseuaian dengan
max
A. Suatu matriks A
n n
max
R irredusibel jika dan hanya jika A
2
A ...
1
n
A
ij
, untuk setiap i, j dengan i j. Dapat ditunjukkan bahwa jika matriks irredusibel A
n n
max
R
mempunyai nilai eigen max-plus tunggal, yaitu
max
A, dengan x sebagai vektor eigen
max-plus yang bersesuaian dengan , maka x
i
untuk setiap i {1, 2, ..., n}. Dapat ditunjukkan
bahwa jika matriks A
n n
max
R
irredusibel, maka A mempunyai nilai eigen max-plus tunggal, yaitu
max
A. ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
Bagian ini membahas konsep dasar aljabar max-plus interval dan teknik pengoperasian matriks atas aljabar max-plus interval. Pembahasan lebih lengkap dapat dilihat pada Rudhito, dkk
2011a.
Interval tertutup x dalam R
max
adalah suatu himpunan bagian dari R
max
yang berbentuk
x = [
x
,
x
] = {x
R
max
x
m
x
m
x
}. Interval x dalam R
max
di atas disebut interval max-plus, yang selanjutnya akan cukup disebut interval. Suatu bilangan x
R
max
dapat dinyatakan sebagai
interval [x, x]. Didefinisikan IR
:= { x = [
x
,
x
]
x
,
x
R,
m
x
m
x
} {}, dengan
:= [ , ]. Pada IR
didefinisikan operasi
dan
dengan: x
y = [
x
y ,
x
y
] dan x
y = [
x
y ,
x
y
] ,
x, y IR
. Kemudian IR
,
,
disebut dengan aljabar max-
plus interval yang dilambangkan dengan IR
max
. Didefinisikan IR
n m
max
:= {A = A
ij
A
ij
IR
max
, untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}.
Matriks anggota IR
n m
max
disebut matriks interval max-plus. Selanjutnya matriks interval max-plus cukup disebut dengan matriks interval. Untuk
IR
max
, A, B IR
n m
max
, didefinisikan
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012
M-165
A, dengan
A
ij
=
A
ij
dan A
B, dengan A
B
ij
= A
ij
B
ij
untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n . Untuk A
IR
p m
max
, B IR
n p
max
, didefinisikan A
B dengan A
B
ij
=
kj ik
p k
B A
1
untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Operasi
konsisten terhadap urutan
Im
, yaitu jika A
Im
B, maka A
C
Im
B
C. Operasi
juga konsisten terhadap urutan
Im
, yaitu jika A
Im
B, maka A
C
Im
B
C. Untuk A
IR
n m
max
didefinisikan matriks
A
=
A
ij
n m
max
R dan
A
=
A
ij
n m
max
R
yang berturut-turut disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A. Didefinisikan interval matriks dari A, yaitu [ A ,
A
] = {A
n m
max
R A
m
A
m
A
}. Dapat ditunjukkan untuk setiap matriks interval A selalu dapat ditentukan interval matriks [
A
,
A
] dan sebaliknya. Matriks interval A
IR
n m
max
dapat dipandang sebagai interval matriks [
A
,
A
]. Interval matriks [
A
,
A
]disebut interval matriks yang bersesuaian dengan matriks interval A dan dilambangkan dengan A
[
A
,
A
]. Didefinisikan IR
n max
:= {x = [x
1
, ... , x
n
]
T
| x
i
IR
max
, i = 1,
... , n }. Unsur-unsur dalam IR
n max
disebut vektor interval atas IR
max
. Diberikan A
IR
n m
max
dan b IR
m max
. Berikut diberikan definisi dan eksistensi nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval.
Pembahasan lebih lengkap diberikan dalam Rudhito 2011c. Diberikan A
IR
n n
max
. Skalar interval
IR
max
disebut nilai eigen max-plus interval matriks interval A jika terdapat suatu
vektor interval v IR
n max
dengan v
n 1
sehingga A
v =