matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitunganaritmetika biasa.
Reddy 1998 membuat model komputasi untuk memprediksi aliran dan transpor polutan di sungai, muara dan laut. Persamaan dibangun dari konservasi massa dan
momentum, persamaannya diselesaikan dengan teknik finite different. Solusi persamaan ini dapat memprediksi sebaran polutan pada setiap grid sebagai fungsi
ruang dan waktu. Tang et.al. 2006 membuat simulasi Computational Fluid Dynamic CFD pada penyebaran jangka-pendek, secara khusus aliran dan
penyebaran pada struktur yang kompleks. Pengembangan dalam simulasi komputer menggunakan performa FLUENT. Program ini merupakan solusi dari
persamaan konservasi massa, momentum dan energi. Pengembangan dari finit element adalah finit volum method FVM.
Nelwan 2005 telah mengembangkan FVM dalam penelitiannya untuk mendapatkan distribusi suhu dan kelembapan nisbi udara dalam alat pengering
berbantuan energi surya yang berbentuk silinder untuk pengeringan biji kakao. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan penggunaan FVM diperoleh
perbedaan suhu dan kelembapan nisbi udara pada beberapa posisi dalam pengering tersebut sesuai dengan hasil pengukuran langsung. Sementara itu
Papakostas et.al. 2005 membuat model numerik dengan scheme implisit untuk polusi atmosfer. Model konsentrasi polutan di atmosfer dihubungkan dengan
kecepatan angin, vektor difusivitas turbulen dan difusi massa polutan. Solusi numerik dengan asumsi S=0 tidak ada sumber didapatkan solusi analitik model
Gaussian sebagai fungsi jarak dan waktu.
2.7.3 Pengembangan Model
Model yang dibangun untuk memprediksi laju penyebaran pencemar udara, merupakan pengembangan dari persamaan kontinuitas dan persamaan
gerak. Model aliran yang dibangun dari kedua persamaan tersebut dapat diaplikasikan untuk penyebaran polutan. Untuk mengkaji model penyebaran
tersebut digunakan model Euler atau model Lagrang. Model Euler mengkaji model aliran dalam konsep medan, sedangkan model Lagrang mengkaji model
aliran dalam konsep partikel Cengel dan Cimbala, 2006
Persamaan kontinuitas dibentuk dari pola aliran dengan memperhatikan hukum kekekalan, jika
φ property fluida per unit volum biasa disebut konsentrasi dan net efek per unit volum pada seluruh proses non-konservatif
adalah
[ ]
Q φ diperhitungkan, maka persamaan umum kontinuitas menurut Vallis
2005 adalah:
[ ]
. D
V Q
Dt φ φ
φ + ∇ =
v v ……. 2.10
dengan D
u v
w Dt
t x
y z
∂ ∂
∂ ∂
= +
+ +
∂ ∂
∂ ∂
Jika efek pada proses non-konservatif tidak diperhitungkan, maka persamaan 2.10 berubah menjadi:
. V
t φ
φ ∂
+ ∇ =
∂ v
v ……. 2.11
Secara umum: .
V t
ρφ ρφ
∂ + ∇
= ∂
v v
……. 2.12 dengan
ρ adalah kerapatan udara. Pada persamaan gerak berlaku kesetimbangan momentum. Aliran
momentum, baik masuk maupun keluar, melalui dua mekanisme, yaitu konveksi dan transfer molekul Bird et al., 1960. Dalam setiap fluida yang mengalir
terdapat dua jenis perpindahan momentum: 1 perpindahan momentum secara molekular, yang ditimbulkan karena gaya tarik-menarik antar molekul, dan 2
perpindahan momentum secara konveksi, yang ditimbulkan karena adanya aliran massa. Secara umum persamaan gerak dirumuskan:
. D
V p
g Dt
ρ τ ρ
= −∇ + ∇ + v
v v v
…… 2.13 dengan
τv adalah tensor tegangan viskos, sebagai berikut:
2 2
2
xx xy
xz yx
yy yz
zx zy
zz
u u
v u
w x
y x
z x
v u
v v
w x
y y
z y
w u
w v
w x
z y
z z
μ μ
μ τ
τ τ
τ τ
τ τ
μ μ
μ τ
τ τ
μ μ
μ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
∂ ∂
∂ ∂
∂ ⎛
⎞ +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎜
⎟ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎜ ⎟ ⎜
⎟ =
= +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
∂ ∂
∂ ∂
∂ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ v
....... 2.14
jika tensor tegangan
τ
v pada persamaan 2.14 dimasukkan ke persamaan 2.13,
maka didapat persamaan Navier-Stokes Cengel dan Cimbala, 2006:
2
D V
p V
g Dt
ρ μ
ρ = −∇ + ∇ +
v v
……. 2.15 dengan
μ adalah viskositas dinamik, ρ adalah kerapatan udara, p adalah tekanan, V
v adalah vektor kecepatan dan g adalah percepatan gravitasi bumi.
Perpindahan massa berlangsung dengan dua cara yaitu: konveksi dan difusi. Perpindahan secara konveksi, karena adanya gaya dari luar sistem,
sedangkan perpindahan massa secara difusi, karena adanya gaya penggerak dalam sistem, yakni perbedaan konsentrasi. Alirannya berlangsung dari konsentrasi
tinggi ke konsentrasi rendah Bird et al., 1960. Penyebaran pencemar udara diperoleh dengan menggabungkan persamaan 2.10 dan 2.15 sebagai berikut:
2
. V
V p
V g
t
ρ ρ
μ ρ
∂ + ∇
= −∇ + ∇ + ∂
v v
v v
……. 2.16 Penyebaran pencemar udara, untuk keadaan steady, dalam hal ini bahwa
ρ adalah tetap, maka uraian persamaan 2.16, untuk komponen-x adalah :
2 2
2 2
2 2
x
u u
u u
p u
u u
u v
w g
t x
y z
x x
y z
ρ ρ
μ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ +
+ +
= − +
+ +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ……. 2.17.1
2 2
u u
t z
ρ μ
∂ ∂
= ∂
∂ …….
2.17.2
2 2
u u
t z
ν ∂
∂ =
∂ ∂
……. 2.17.3 dengan
μ ν
ρ = adalah viskositas kinematik.
Untuk keadaan steady u
u u
u v
w x
y z
⎛ ⎞
∂ ∂
∂ +
+ =
⎜ ⎟
∂ ∂
∂ ⎝
⎠ kemudian
p x
∂ =
∂ dan
x
g ρ =
karena tidak ada perubahan tekanan dan gaya gravitasi pada sumbu-x. Fluida mengalir pada sumbu-
x, maka syarat kontinuitas
2 2
u x
∂ =
∂ dan
2 2
u y
∂ =
∂ karena
tidak ada kecepatan terhadap sumbu y, maka fluida mengalir pada bidang x-z.
Persamaan 2.17.3 merupakan persamaan difusi untuk satu dimensi. Menurut Mikkelsen 2003 persamaan difusi timbul sebagai konsekuensi langsung dari
prinsip konservasi massa, dengan perubahan total massa pada sistem tertutup adalah nol.
2.7.4 Aplikasi Model untuk Menganalisis Konsentrasi Polutan
