Dengan mensubtitusikan persamaan 6, 7 dan 8 kedalam persamaan 2, maka akan diperoleh keuntungan maksimum dengan persamaan berikut:
Keuntungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi dari harga- harga output, harga-harga input variabel dan input tetap, yaitu dengan rumusan
sebagai berikut:
3.2. Penawaran Output dan Permintaan Input
Fungsi penawaran output dan permintaan input pada penelitian ini diturunkan langsung dari fungsi keuntungan. Dengan menggunakan prinsip
Hotteling Lemma, turunan parsial keuntungan maksimal terhadap perubahan harga output merupakan fungsi penawaran output dan turunan parsial keuntungan
maksimal terhadap perubahan harga input merupakan fungsi permintaan input. Menurut Lau dan Yotopoulus 1972 bahwa terdapat beberapa keunggulan
menggunakan pendekatan dual fungsi keuntungan, yaitu: 1 fungsi penawaran output dan permintaan input dapat diturunkan secara langsung dengan mudah, 2
penurunan fungsi penawaran output dan permintaan input dari fungsi keuntungan memberikan hasil yang sama jika fungsi tersebut diturunkan dari fungsi produksi,
dan 3 analisis dengan menggunakan fungsi keuntungan dapat menghindari masalah bias pada persamaan simultan. Hal ini disebabkan karena pada fungsi
keuntungan semua peubah eksogen terletak disebelah kanan dan peubah endogen terletak disebelah kiri persamaan. Berdasarkan uraian tersebut turunan parsial
persamaan 9 terhadap perubahan harga output dan harga input variabel adalah sebagai berikut:
3.3. Fungsi Keuntungan Trancendent Logaritma Kegiatan usahatani pada dasarnya merupakan kegiatan alokasi
sumberdaya, dimana keberhasilannya dapat diukur dengan berbagai cara penilaian. Penilaian tersebut antara lain dapat dilakukan dengan pendekatan fungsi
produksi Production Function Approach. Pendekatan dengan fungsi produksi memiliki kelemahan, yaitu menghasilkan parameter dugaan yang tidak konsisten
karena adanya simultaneous equation bias. Okuruwa, et.al. 2009 menyebutkan bahwa berdasarkan studi-studi sebelumnya dengan menggunakan fungsi produksi
dalam mengestimasi model ekonometrika menghadapi masalah simultaneous equation bias
karena input level dalam fungsi produksi diperoleh sebagai peubah endogen.
Menurut Zellner 1962 bahwa fenomena tersebut sebagai akibat dari adanya efek sinergi antar input-input produksi yang digunakan. Oleh karena itu,
untuk menghindari simultaneous equation bias pada bentuk model fungsi produksi, maka perlu dilakukan modifikasi terhadap model fungsi produksi yang
dibentuk. Modifikasi tersebut adalah berupa penggantian penggunaan ukuran input secara fisik sebagai peubah, yaitu dengan menggunakan ukuran satuan
harga input yang dinormalkan dengan harga output sebagai peubah model. Model ini dikenal dengan fungsi keuntungan Unit Output Price UOP, dimana harga
output berfungsi sebagai deflator terhadap peningkatan harga-harga input variabel dalam jangka pendek.
Dalam penelitian empiris terdapat 2 model ekonometrika yang sering digunakan yaitu: fungsi keuntungan Translog dan Cobb-Douglas. Fungsi
keuntungan Translog seperti telah digunakan antara lain oleh: Sidhu and Baanante 1981, Simatupang 1988, dan Adeleke, et.al. 2008. Seorang petani atau
produsen menentukan keputusannya berdasarkan harga-harga yang terjadi. Dengan kata lain bahwa dengan anggaran atau pendapatan yang terbatas maka
untuk pengambilan keputusan berproduksinya maka yang menjadi faktor penentunya adalah harga input dan harga output.
Menurut Lau and Yotopaulus 1972, bahwa model fungsi keuntungan memiliki beberapa asumsi diantaranya: 1 petani dianggap sebagai unit analisis
dan setiap petani individu mempunyai motif untuk memaksimumkan keuntungan, 2 petani dianggap sebagai price taker dan 3 fungsi produksi adalah concave
dalam input variable. Produsen akan selalu menambah jumlah penggunaan suatu input, sepanjang penambahan input tersebut akan memperoleh tambahan
keuntungan, atau penerimaan marjinal yang lebih besar daripada biaya marjinal. Dengan penambahan input tersebut berarti masih diperoleh tambahan keuntungan,
atau keuntungan marjinal lebih besar dan nol. Dengan memodifikasi fungsi produksi maka akan diperoleh fungsi
keuntungan. Jika sebuah perusahaan dianggap memiliki fungsi produksi: Y = fX
1
,X
2
Dimana: , … Xn; Zj …Zm atau Y = fX; Z…………….........13
Y= output; X
1..
Xn = input variabel; dan Zj = input tetap produksi
Keuntungan π didefinisikan yaitu: penerimaan total- biaya variabel total,
maka : π = Py.Y – P
xi
-X
i
Produsen akan memaksimumkan keuntungan bila nilai penerimaan marjinal NPM = Biaya Korbanan Marjinal BKMMarjinal Input Cost MIC, sehingga:
i =1,..….,m Px
Bila persamaan 2 dinormalkan dengan harga output, maka: = Harga input variabel yang dinormalkan dengan harga output.
π adalah fungsi keuntungan UOP Unit Output Price. Berdasarkan persamaan 4 maka akan diperoleh jumlah optimal
penggunaan input variabel yaitu sebagai fungsi yang dinormalisasikan terhadap harga input variabel dan jumlah input tetap. Dalam jangka pendek, input
optimum tercapai bila: X
= f
i
P
Xi
; Z
j
……………..………………………………….17 Sehingga dengan mensubtitusikan persamaan 5 ke 2 diperoleh:
Pada persamaan di atas, X
i
adalah fungsi dari Px
i
π = P dan Zj, maka
persamaan 17 dapat dituliskan sebagai berikut:
y
G P
X1
,P
X2
,…., P
Xm ;
Z
1,….
Z
m
………………….19
dengan keterangan, yaitu: π = keuntungan
P
y
= Harga outputunit Px
i =
Harga input variable ke –i unit Pada persamaan 7 jika dinormalkan dengan harga output, maka akan diperoleh:
Persamaan-persamaan di atas menggambarkan serangkaian hubungan transformasi dual yang menghubungkan fungsi produksi dan keuntungan.
Berdasarkan teorema Hoteling Lemma maka diperoleh fungsi permintaan input X
i
dan fungsi penawaran output V Fungsi permintaan inputnya adalah:
diperoleh dari fungsi keuntungan.
Adapun fungsi penawaran outputnya adalah:
Fungsi Keuntungan Translog
Berbagai studi telah banyak yang menggunakan model fungsi keuntungan translog seperti Sidhu and Baanante 1981, Simatupang 1988, Hartoyo 1994,
dan Adeleke, et.al. 2008. Penelitian ini menggunakan model fungsi keuntungan translog dengan restriksi pembatas seperti dilakukan oleh Sidhu and Baanante
1981. Adapun model fungsi keuntungan translog yang digunakan sebagai berikut:
dengan keterangan yaitu:
ih
=
ih
berderajat satu terhadap seluruh harga input dan output. untuk seluruh h dan i dan fungsi bersifat homogeny
π = keuntungan yang direstriksi total revenue – total variabel cost yang dinormalkan dengan harga output P
y
P
y
P = harga output
i
output, P = harga input variable Xi yang dinormalkan dengan harga
y
Z
k
i = h = 1,2,3,…..,n ; j=1,2,3,….,m = input tetap, ke-k
ln = natural logaritma α
αi
ih
δ
ik k
Φ
kj
Bila didefinisikan S = parameter dugaan
i
= P
i
X
i
π sebagai rasio antara pengeluaran input variabel dengan keuntungan yang direstriksi, dan S
v
= V π sebagai rasio
antara penawaran output dengan keuntungan yang direstriksi. Sv adalah ekuivalen dangan rasio nilai total dari output terhadap keuntungan yang
direstriksi. Penurunan fungsi keuntungan translog persamaan 23 terhadap ln P
i
dan ln P
y
memberikan fungsi pangsa biaya dan pangsa penerimaan. Karena S
i
=1 dan S
v
= 1, maka persamaan penawaran oputput dapat diabaikan dan yang dibutuhkan untuk persamaan ekonometrik hanya persamaan input variabel dan
persamaan keuntungan translog.
Dari persamaan 23, maka dapat diturunkan menjadi persamaan pangsa share adalah:
Penentuan fungsi keuntungan profit dan fungsi share dari input variabel fungsi pangsa biaya dilakukan secara simultan. Harga input variabel dan jumlah
quantity dari input variabel dinyatakan sebagai variabel eksogen. Berdasarkan persamaan 24 dapat diturunkan persamaan elastisitas permintaan input variabel.
3.4. Elastisitas Permintaan Input
