∫ ∫
∞ −
∞ −
− −
= =
≤ =
x x
x x
x x
N x
x N
dt e
dt t
f x
X P
x F
x x
2 2
2
2 1
, ;
, ;
σ µ
π σ
σ µ
σ µ
Gambar 3.9. Grafik Distribusi Normal
3.4.4. Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk α = 1 dan β = 1
λ. Distribusi ini banyak digunakan sebagai model di bidang teknik dan sains.
Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi eksponensial dengan parameter λ
dimana λ 0, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X ditunjukkan pada
Gambar 3.10 adalah:
{
lain yang
x e
x f
x E
; ≥
=
−
λ
λ λ
Sedangkan fungsi distribusi kumulatif eksponensial adalah:
Universitas Sumatera Utara
x x
t E
e dt
e x
X P
x F
λ λ
λ λ
− −
− =
= ≤
=
∫
1 ;
Gambar 3.10. Grafik Distribusi Eksponensial
3.4.5. Distribusi Lognormal
Distribusi lognormal merupakan distribusi teorits yang banyak digunakan di bidang teknik, khusunya sebagai model untuk berbagai jenis material.
Sebuah variabel acak kontinu non-negatif X dikatakan memiliki distribusi lognormal jika lnX memiliki sebuah distribusi normal. Fungsi kepadatan
probabilitas dari sebuah variabel acak yang memenuhi distribusi lognormal jika lnX erdistribusi normal dengan parameter
µ dan σ adalah:
lain yang
x e
t x
f
x
2 1
, ;
2 ]
[ln ln
2
≥
=
− −
σ µ
σ π
α µ
Sedangkan fungsi distribusi kumulatif lognormalnya adalah: dt
e t
x X
P x
F
x x
2 ]
[ln ln
2
2 1
, ;
σ µ
σ π
α µ
− −
∫
= ≤
=
Universitas Sumatera Utara
µ dan σ adalah mean dan satndar deviasi dari lnX dan bukan dari X. Karena lnX memiliki sebuah distribusi normal, maka fungsi distribus kumulatif
dari X dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif normal standar Fz, dengan transformasi sebagai berikut:
− =
− ≤
= ≤
= ≤
= σ
μ x
Φ σ
μ x
Z P
x] X
P[ x
PX x;
μx;μ F
ln ln
ln ln
ln
3.4.6. Distribusi Erlang
Distribusi erlang adalah bentuk distribusi dari Gamma dengan nilai-nilai parameter dalam bentuk bilangan bulat positif. Distribusi ini biasa digunakan pada
teori antrian dan reliability. Parameter distribusi Erlang dapat dinyatakan sebagai fungsi densitas
sebagai berikut.
1,2,3,... k
dan 1
untuk t. 1
.
. .
1
= −
=
− −
µ µ
µ
k e
t k
t f
t k
k k
Rata –rata
. 1
µ
= T
E
dan varian
. 1
2
µ
k T
Var =
Pada distribusi ini rata-rata untuk setiap k adalah sama. Demikian juga untuk varian yang dapat dinyatakan bahwa nilai k meningkat maka varian akan
semakin berkurang. Hal ini akan mempengaruhi untuk
. ∞
= k
maka varian akan sama dengan nol yang berarti berdistribusi seragam.
3.4.7. Distribusi Triangular
