Kompetensi Fisika Kelas XII Semester 2
158
Transforma- si Lorentz
Hal tersebut dapat dikatakan bahwa bulan bergerak mendekati pesawat dengan kecepatan 100 ms jika ditinjau dari titik acuan di
roket. Sebenarnya ini merupakan perluasan dari relativitas Newton yang mencakup seluruh jenis pengukuran fisis.
2. Kecepatan cahaya untuk semua pengamat adalah sama, tidak
tergantung pada keadaan gerak pengamat. Jika sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan cahaya c
mendekati pengamat yang diam di bumi maka bersamaan dengan itu ia akan melepaskan sinyal cahaya. Menurut postulat ini pengamat
di bumi akan melihat laju cahaya tersebut juga dalam kecepatan c pula. Hal ini berbeda dengan konsep relativitas Newton di mana laju
cahaya besarnya adalah 2c. Hal ini menuntut perlunya peninjauan kembali tentang berbagai konsep
fisika klasik tentang gerak, waktu, massa, dan besaran-besaran fisis lain.
E. Transformasi Lorentz
Postulat Einstein menyebabkan peninjauan kembali tentang banyak hal. Salah satu cara peninjauan tersebut adalah dengan transformasi
Lorentz. Perhatikan kembali gambar 9.2 pada halaman 153. Hubungan antara x dan x menurut
transformasi Lorentz adalah:
x = k x – vt . . . 9.15
Hubungan x dan x ini bersifat linear, artinya suatu kejadian dalam kerangka acuan S bersesuaian dengan kejadian dalam kerangka acuan
S. Berdasarkan postulat pertama Einstein, transformasi balik untuk x dinyatakan sebagai:
x = k x + vt . . . 9.16
Faktor k untuk kedua kerangka acuan haruslah sama. Demikian pula berlaku:
y = y . . . 9.17
z = z . . . 9.18
Dengan mensubstitusikan persamaan 9.15 ke persamaan 9.16 kita peroleh:
x = k
2
x – vt + k vt dan
t = kt +
§ ·
¨ ¸
© ¹
2
1 k kv
x . . . 9.19
Untuk menentukan harga k, kita mengacu pada postulat kedua. Kita asumsikan bahwa saat t = 0, kedua kerangka S dan S berada pada
tempat yang sama, sehingga t = 0. Pengamat pada masing-masing kerangka melakukan pengukuran kelajuan cahaya yang memancar dari
titik tersebut. Keduanya harus mendapatkan kelajuan yang sama yaitu c. Ini berarti pada kerangka S berlaku:
Kompetensi Fisika Kelas XII Semester 2
159
x = c . t . . . 9.20
Sedangkan pada kerangka S berlaku: x = c . t
. . . 9.21 Jika x dan t kita substitusikan pada persamaan 9.21 dengan bantuan
persamaan 9.15 dan 9.19 akan kita peroleh:
k x – vt = ckt +
§ ·
¨ ¸
© ¹
k kv
2
1 cx
Nilai x kita peroleh dari persamaan berikut.
x = §
· ¨
¸ ©
¹
ckt vkt
k k
c kv
2
1
= ct §
· ¨
¸ ¨
¸ §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹
kv k +
c k
k c
kv
2
1
= ct §
· ¨
¸ ¨
¸ §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹
v +
c c
v k
2
1 1
1 1
Persamaan ini akan sama dengan persamaan 9.20 jika faktor dalam kurung sama dengan 1. Dengan demikian
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
v +
c c
v k
2
1 1
1 1
= 1 dan kita
peroleh: k =
v c
2 2
1 1
. . . 9.22
Dengan mensubtitusikan persamaan 9.22 kita peroleh bentuk persamaan transformasi Lorentz secara lengkap, yaitu:
x = x vt
v c
2 2
1 . . . 9.23
y = y z = z
t =
vx t
c v
c
2 2
2
1
. . . 9.24
Kompetensi Fisika Kelas XII Semester 2
160
Sedangkan persamaan transformasi balik Lorentz adalah sebagai berikut. x =
x + vt v
c
2 2
1 . . . 9.25
y = y . . . 9.26
z = z . . . 9.27
t = vx
t + c
v c
2 2
2
1 . . . 9.28
F. Aturan Penjumlahan Kecepatan
Postulat kedua Einstein mengakibatkan peninjauan kembali pada aturan penjumlahan kecepatan pada transformasi fisika klasik. Dari
transformasi Lorentz kita dapat menghitung hubungan antara kecepatan menurut kerangka S dan S. Caranya adalah dengan mendiferensialkan
persamaan 9.23 dan 9.24 sehingga akan kita peroleh:
dx =
dx v dt
v c
2 2
1
. . . 9.29
dt =
v dx dt
c v
c
2 2
2
1
. . . 9.30
Dengan demikian: v
x
=
dx dt
= §
· ¨ ¸
© ¹
dx v dt
v dt
dx c
2
v
x
=
x x
v v
v v c
2
1
. . . 9.31
Kompetensi Fisika Kelas XII Semester 2
161
dengan cara yang sama kita dapatkan:
v
y
=
dy dt
=
v dy
c v
dt c
2 2
2 2
1
. . . 9.32
v
z
=
dz dt
=
v dz
c v
dt c
2 2
2 2
1
. . . 9.33
dan v
x
=
x x
v + v v v
+ c
2
1
. . . 9.34
Keterangan:
v
x
: kecepatan benda terhadap kerangka acuan S ms v
x
: kecepatan benda terhadap kerangka acuan S ms v : kecepatan S terhadap S ms
c : kecepatan cahaya 3 . 10
8
ms
Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal berikut ini
Contoh Soal
Sebuah pesawat antargalaksi bergerak dengan kecepatan 0,4 c terhadap pengamat di bumi. Pesawat tersebut melepaskan roket dengan kecepatan 0,5 c searah gerak
pesawat. Berapakah kecepatan roket terhadap pengamat di bumi?
Penyelesaian:
Diketahui: v = 0,4 c
v
x
= 0,5 c Ditanyakan: v
x
= . . . ? Jawab:
x x
x x
x
x x
v v
v v v
c c
c v
c c
c v
v c
2 2
2
+ =
1 + 0, 5
+ 0, 4
= 0, 2
1 + 0,9
= 1 + 0,2
= 0, 75
