4. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran konvensional siswa memiliki hasrat dan keinginan berhasil dalam belajar dengan
menyelesaikan semua permasalahan yang diberikan sampai tuntas. 5. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran konvensional
siswa dapat menyelesaikan permasalahan yang dibuat sendiri dengan memberikan beragam solusi yang bernilai benar terhadap masalah tersebut
Pertemuan Keempat 2 x 45 menit 1. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran
konvensional siswa mampu menganalisis sifat-sifat komposisi fungsi
2. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran
konvensional siswa mampu mengerjakan soal menggunakan sifat-sifat komposisi fungsi
3. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran
konvensional siswa memiliki hasrat dan keinginan berhasil dalam belajar dengan melengkapi analisis sifat-sifat komposisi hingga tuntas
4. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran
konvensional siswa dapat menyelesaikan permasalahan sifat-sifat komposisi fungsi dengan menggunakan cara yang berbeda dengan
siswa yang lain.
Pertemuan Kelima 3 x 45 menit 1. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran
konvensional siswa mampu menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui
2. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran
konvensional siswa mampu menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui dengan beberapa cara yang berbeda.
3. Setelah pembelajaran menggunakan model pembelajaran
konvensional siswa memiliki dorongan dan kebutuhan dalam belajar dengan membuat fungsi untuk dicari solusinya.
B. Materi Ajar Pertemuan Pertama
189
Fungsi injektif, surjektif dan bijektif
Pertemuan Kedua
Operasi aljabar pada fungsi dan domain fungsi
Pertemuan Ketiga
Komposisi fungsi
Pertemuan Keempat
Sifat-sifat komposisi fungsi
Pertemuan Kelima
Menentukan fungsi jika komposisi dan fungsi yang lainnya di ketahui
C. Model Pembelajaran
Konvensional
D. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan Pertama
Kegiatan Pembelajaran Alokasi
Waktu Kegiatan Pendahuluan 15 menit
a. Guru mengawali kegiatan belajar mengajar dengan memberi salam dan mengajak siswa berdoa
b. Guru mengkomunikasikan tujuan pembelajaran dan hasil belajar yang diharapkan akan dicapai oleh siswa yaitu siswa
dapat membedakan sifat fungsi injektif, surjektif dan bijektif. c. Guru memotivasi siswa untuk memperhatikan materi
pembelajaran agar dapat menjawab pertanyaan yang menantang. Siswa diminta menjawab pertanyaan bagaimana
memperkirakan laju pertumbuhan ekonomi? d. Guru memberi apersepsi dengan cara tanya jawab tentang
definisi suatu fungsi dan sifat sifat fungsi yang sudah diketahui pada jenjang SMP. Diberikan beberapa daerah asal
5’
5’
5’
190
dan daerah hasil fungsi dalam diagram panah, siswa dapat menunjukan fungsi tersebut memiliki sifat injektif, surjektif
atau bijektif.
Kegiatan Inti 105 menit EKSPLORASI
1. Guru memberikan penjelasan terhadap siswa tentang sifat fungsi injektif, surjektif dan bijektif.
Fungsi Surjektif
Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama
dengan himpunan B atau R
f
= B.
Fungsi Injektif
Fungsi f : a B disebut fungsi injektif fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk tiap a
1
, a
2
∈ A dan a
1
≠ a
2
berlaku f a
1
≠ f a
2
.
Fungsi Bijektif
Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.
2. Guru memberikan contoh soal tentang sifat fungsi injektif, surjektif dan bijektif.
Fungsi Surjektif
A : {1,2,3,4}, B : {a,b,c}. Fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {1,a, 2,c, 3,b, 4,c}.
Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah R
f
: {a,b,c} dan R
f
= B maka fungsi f adalah fungsi surjektif.
Fungsi Injektif
A : {1,2,3}, B : {a,b,c}. f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {1,a, 2,b, 3,c}.
Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.
Fungsi Bijektif
A : {1,2,3}, B : {a,b,c}. f : A B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {1,a, 2,c, 3,b}.
Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi 25’
191
injektif. fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu- satu.
ELABORASI
3. Guru memberikan beberapa latihan soal halaman 67 buku ESIS dan soal open-ended tentang sifat khusus fungsi untuk
dikerjakan siswa dibuku tulis masing-masing. 4. Siswa dengan teman sebangkunya mendiskusikan latihan
soal yang diberikan oleh guru. 5. Guru meminta perwakilan siswa untuk menulis hasil
kerjaannya di papan tulis. 6. Guru bersama-sama siswa mengoreksi hasil presentasi
perwakilan kelas.
KONFIRMASI
7. Siswa bersama guru menyimpulkan materi yang telah dipelajari. Kesimpulan:
Fungsi Surjektif
Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama
dengan himpunan B atau R
f
= B.
Fungsi Injektif
Fungsi f : a B disebut fungsi injektif fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk tiap a
1
, a
2
∈ A dan a
1
≠ a
2
berlaku f a
1
≠ f a
2
.
Fungsi Bijektif
Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif.
60’
20’
Kegiatan Penutup 15 menit
1. Guru memberikan kuis untuk mengecek pemahaman siswa. 2. Siswa diminta untuk mempelajari materi pada pertemuan
selanjutnya yaitu operasi-operasi aljabar yang diterapkan pada fungsi dan domain fungsi
10’
5’
192
3. Guru memberi salam.
Pertemuan Kedua Kegiatan Pembelajaran
Alokasi Waktu
Kegiatan Pendahuluan 15 menit
a. Guru mengawali kegiatan belajar mengajar dengan memberi salam dan mengajak siswa berdoa
b. Guru mengkomunikasikan tujuan pembelajaran dan hasil belajar yang diharapkan akan dicapai oleh siswa yaitu siswa
dapat melakukan operasi-operasi aljabar yang diterapkan pada fungsi dan menentukan domain suatu fungsi yang telah
dioperasikan c. Guru memotivasi siswa untuk memperhatikan materi
pembelajaran agar dapat menjawab pertanyaan yang menantang. Siswa diminta menjawab apakah ada fungsi yang
tidak bisa di operasikan. d. Guru memberi apersepsi dengan cara tanya jawab tentang
operasi aljabar 5’
5’
5’
Kegiatan Inti 60 menit EKSPLORASI
1. Guru memberikan penjelasan terhadap siswa tentang Operasi-operasi aljabar yang diterapkan pada fungsi.
Jenis operasi aljabar sering dijumpai dalam himpunan bilangan real, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
perpangkatan. Operasi aljabar pada bilangan real dapat diterapkan pada aljabar fungsi, yaitu jika diketahui fungsi f x dan g x, dan
n bilangan rasional. Operasi aljabar pada fungsi ditetapkan sebagai berikut :
• Jumlah fungsi f x dan g x ditulis
f + g x = f x + g x •
Selisih fungsi f x dan g x ditulis f – g x = f x – g x
15’
193
• Perkalian fungsi f x dan g x ditulis
f x g x = f x x g x •
Pembagian fungsi f x dan g x ditulis
g
f x =
x g
x f
• Perpangkatan fungsi f x dengan bilangan n ditulis
f
n
x = {f x}
n
D
f
adalah domain alami fungsi f, dan D
g
adalah domain alami fungsi g maka domain alami dari fungsi-fungsi f + g, f – g, f . g,
f g
adalah irisan dari D
f
dan D
g
ditulis D
f
∩ D
g
. 2. Guru memberikan contoh soal tentang operasi aljabar yang
diterapkan pada fungsi. Contoh:
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f x = 2x – 10 dan g x =
1 x
2 −
. Jawab :
Domain alami fungsi f adalah Df : {x | x ∈ R}
Domain alami fungsi g adalah Dg : {x | x ≥ ½ , x ∈ R}
a. f + g x = f x + g x = 2x – 10 +
1 x
2 −
D
f + g
= {x | x ≥ ½ , x ∈ R}
b. f – g x = f x – g x = 2x – 10 -
1 x
2 −
D
f – g
= {x | x ≥ ½ , x ∈ R}
c. f x g x = f x x g x = 2x – 10
1 x
2 −
= 2x
1 x
2 −
- 10
1 x
2 −
D
f x g
= {x | x ≥ ½ , x ∈ R}
d.
g
f x =
x g
x f
= 1
x 2
10 x
2 −
−
Karena bagian penyebut tidak boleh nol, maka
194
g f
D
= {x | x ½ , x ∈ R}
e. Perpangkatan fungsi f x f
3
x = {f x}
3
= 2x – 10
3
= 8x
3
– 160x
2
+ 800x – 1000 D
f
= {x | x ∈ R}
ELABORASI
3. Guru memberikan beberapa latihan soal halaman 69 buku ESIS dan soal open-ended tentang operasi aljabar yang
diterapkan pada fungsi untuk dikerjakan siswa dibuku tulis masing-masing.
4. Siswa dengan teman sebangkunya mendiskusikan latihan soal yang diberikan oleh guru.
5. Guru meminta perwakilan siswa untuk menulis hasil kerjaannya di papan tulis.
6. Guru bersama-sama siswa mengoreksi hasil presentasi perwakilan kelas.
KONFIRMASI
7. Siswa bersama guru menyimpulkan materi yang telah dipelajari. Kesimpulan:
Operasi aljabar pada fungsi ditetapkan sebagai berikut : a. Jumlah fungsi f x dan g x ditulis
f + g x = f x + g x b. Selisih fungsi f x dan g x ditulis
f – g x = f x – g x c. Perkalian fungsi f x dan g x ditulis
f x g x = f x x g x d. Pembagian fungsi f x dan g x ditulis
g f
x = x
g x
f
e. Perpangkatan fungsi f x dengan bilangan n ditulis f
n
x = {f x}
n
30’
15’
Kegiatan Penutup 15 menit
195
1. Siswa diberikan kuis untuk mengecek pemahaman siswa. 2. Siswa diminta untuk mempelajari materi pada pertemuan
selanjutnya yaitu komposisi dua fungsi atau lebih. 3. Guru memberi salam.
5’
10’
Pertemuan Ketiga Kegiatan Pembelajaran
Alokasi Waktu
Kegiatan Pendahuluan 15 menit
1. Guru mengawali kegiatan belajar mengajar dengan memberi salam dan mengajak siswa berdoa
2. Guru mengkomunikasikan tujuan pembelajaran dan hasil belajar yang diharapkan akan dicapai oleh siswa yaitu siswa
dapat menentukan komposisi dua fungsi atau lebih. 3. Guru memotivasi siswa untuk memperhatikan materi
pembelajaran agar dapat menjawab pertanyaan yang menantang. Siswa diminta menjawab berapa banyaknya
bahan baku mentah untuk membuat roti jika melalui mesin pertama, kedua, dan ketiga.
4. Guru memberi apersepsi dengan cara tanya jawab tentang domain fungsi.
5’
5’
5’
Kegiatan Inti 105 menit EKSPLORASI
1. Guru memberikan penjelasan terhadap siswa tentang komposisi dua fungsi atau lebih.
Dari dua buah fungsi f x dan g x dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi
dilambangkan dengan o dibaca : komposisi atau bundaran. Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu
adalah : a. f o g x dibaca : f komposisi gx atau fgx
b. g o f x dibaca : g komposisi fx atau gfx 1 Misal g : A B ditentukan dengan y = g x
f : B C ditentukan dengan y = f x
196
Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan : h x = f o g x = f gx
2 Misal f : A B ditentukan dengan y = f x g : B C ditentukan dengan y = g x
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan : h x = g o f x = g f x
Syarat fungsi komposisi f o g adalah : • Hasil irisan antara daerah hasil fungsi g dengan daerah asal
fungsi f bukan himpunan kosong. R
g
∩ D
f
≠ φ • Daerah asal fungsi komposisi f o g adalah himpunan bagian
dari daerah asal fungsi g. D
f o g
⊆ D
g
• Daerah hasil fungsi komposisi f o g adalah himpunan bagian dari daerah hasil fungsi f.
R
f o g
⊆ R
f
2. Guru memberikan contoh soal tentang operasi aljabar yang diterapkan pada fungsi.
Contoh: Diketahui fungsi f : R R dan g : R R ditentukan dengan rumus
: f x = 2x + 1 dan g x =
x
Tentukan : a.
f o g x b.
g o f x c.
Daerah asal f o g x dan daerah hasil f o g x d.
Daerah asal g o f x dan daerah hasil g o f x Jawab :
• f x = 2x + 1 Daerah asal D
f
: {x | x ∈ R}, daerah hasil R
f
: {y | y ∈ R}
25’
197
• g x =
x
Daerah asal D
g
: {x | x ≥ 0, x ∈ R}, daerah hasil R
g
: {y | y ≥ 0, y
∈ R} a. f o g x = f g x = f
x
= 2
x
+ 1 b. g o f x = g f x = g 2x + 1 =
1 x
2 +
c. Daerah asal f o g x = D
f o g
= {x | x ≥ 0, x ∈ R}
Daerah hasil f o g x = R
f o g
= {y | y ≥ 1, y ∈ R}
Tampak bahwa D
f o g
= D
g
dan R
f o g
⊂ R
f
d. Daerah asal g o f x = D
g o f
= {x | x ≥ ½ , x ∈ R}
Daerah hasil g o f x = R
g o f
= {y | y ≥ o, y ∈ R}
Tampak bahwa D
g of
⊂ D
f
dan R
g o f
= R
g
ELABORASI
3. Guru memberikan beberapa latihan soal halaman 71 buku ESIS dan soal open-ended tentang komposisi fungsi untuk
dikerjakan siswa dibuku tulis masing-masing. 4. Siswa dengan teman sebangkunya mendiskusikan latihan
soal yang diberikan oleh guru. 5. Guru meminta perwakilan siswa untuk menulis hasil
kerjaannya di papan tulis. 6. Guru bersama-sama siswa mengoreksi hasil presentasi
perwakilan kelas.
KONFIRMASI
7. Siswa bersama guru menyimpulkan materi yang telah dipelajari. Kesimpulan:
Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi adalah a. f o g x dibaca : f komposisi gx atau fgx
b. g o f x dibaca : g komposisi fx atau gfx 60’
20’
Kegiatan Penutup 15 menit
1. Siswa diberikan kuis untuk mengecek pemahaman siswa. 5’
198
2. Siswa diminta untuk mempelajari materi pada pertemuan selanjutnya yaitu sifat-sifat komposisi.
3. Guru memberi salam. 10’
Pertemuan Keempat Kegiatan Pembelajaran
Alokasi Waktu
Kegiatan Pendahuluan 15 menit
1. Guru mengawali kegiatan belajar mengajar dengan memberi salam dan mengajak siswa berdoa
2. Guru mengkomunikasikan tujuan pembelajaran dan hasil belajar yang diharapkan akan dicapai oleh siswa yaitu siswa
dapat menentukan komposisi dua fungsi atau lebih. 3. Guru memotivasi siswa untuk memperhatikan materi
pembelajaran agar dapat menjawab pertanyaan yang menantang.
4. Guru memberi apersepsi dengan cara tanya jawab tentang komposisi fungsi.
5’
5’
5’
Kegiatan Inti 60 menit EKSPLORASI
1. Guru memberikan penjelasan terhadap siswa tentang sifat- sifat komposisi fungsi.
Sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi. a. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak
komutatif f o g x ≠ g o f x
b. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif f o g o h x = f o g o h x
c. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi ada sebuah
199
unsur identitas yaitu fungsi identitas I x = x sehingga f o I x = I o f x = f x
2. Guru memberikan contoh soal tentang sifat-sifat komposisi fungsi
Contoh 1: Fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f x = 3x – 5 dan g x =
2x
2
– 1 Tentukan :
a. f o g x dan g o f x b. dari hasil di atas apakah f o g x = g o f x ?
Jawab : a. f o g x = 6x
2
-11 g o f x = 27x
2
- 90x + 74 b. f o g x ≠ g o f x
Kesimpulan : tidak KOMUTATIF Contoh 2
Fungsi f : R R dan g : R R, h : R R ditentukan dengan rumus :
f x = x + 1 , g x = 3x dan h x = x
2
Tentukan : a. fogohx dan fogohx
b. Dari hasil di atas apakah fogohx = fogohx? Jawab :
a. fogohx = 3x
2
+ 1 b. fogohx = 3x
2
+ 1 c. f o g oh x = f o g o h x
Kesimpulan : ASOSIATIF Contoh 3
Fungsi f : R R dan I : R R ditentukan dengan rumus f x = x
2
– 2x + 1 dan I x = x Tentukan :
a. f o I x dan I o f x 15’
200
b. dari hasil di atas apakah foIx = Iofx = fx? Jawab :
a. f o I x = x
2
– 2x + 1 I o f x = x
2
– 2x + 1 b. f o I x = I o f x = fx
Kesimpulan : IDENTITAS
ELABORASI
3. Guru memberikan beberapa latihan soal halaman 72 buku ESIS dan soal open-ended tentang sifat-sifat komposisi
fungsi untuk dikerjakan siswa dibuku tulis masing-masing. 4. Siswa dengan teman sebangkunya mendiskusikan latihan
soal yang diberikan oleh guru. 5. Guru meminta perwakilan siswa untuk menulis hasil
kerjaannya di papan tulis. 6. Guru bersama-sama siswa mengoreksi hasil presentasi
perwakilan kelas.
KONFIRMASI
7. Siswa bersama guru menyimpulkan materi yang telah dipelajari. Sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi.
a. Tidak komutatif f o g x ≠ g o f x b. Asosiatif f o g o h x = f o g o h x
c. Identitas Ix= x sehingga f o I x = I o f x = f x 30’
15’
Kegiatan Penutup 15 menit
1. Siswa diberikan kuis untuk mengecek pemahaman siswa. 2. Siswa diminta untuk mempelajari materi pada pertemuan
selanjutnya yaitu komposisi dua fungsi atau lebih. 3. Guru memberi salam.
5’
10’
Pertemuan Kelima Kegiatan Pembelajaran
Alokasi Waktu
201
Kegiatan Pendahuluan 15 menit
1. Guru mengawali kegiatan belajar mengajar dengan memberi salam dan mengajak siswa berdoa
2. Guru mengkomunikasikan tujuan pembelajaran dan hasil belajar yang diharapkan akan dicapai oleh siswa yaitu siswa
dapat menentukan fungsi jika komposisi fungsi dan fungsi yang lainnya diketahui.
3. Guru memotivasi siswa untuk memperhatikan materi pembelajaran agar dapat menjawab pertanyaan yang
menantang. Siswa diminta menjawab berapa banyaknya bahan baku mentah untuk membuat roti jika melalui
beberapa proses pembuatan. 4. Guru memberi apersepsi dengan cara tanya jawab tentang
sifat-sifat komposisi fungsi. 5’
5’
5’
Kegiatan Inti 105 menit EKSPLORASI
1. Guru memberikan penjelasan terhadap siswa tentang menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang
lain diketahui Misal fungsi f dan fungsi komposisi f o g atau g o f sudah
diketahui maka fungsi g dapat ditentukan, demikian juga fungsi g dan fungsi komposisi f o g atau g o f diketahui maka fungsi f
dapat ditentukan. 2. Guru memberikan contoh soal tentang menentukan fungsi
jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui. Contoh 1
Misal fungsi komposisi fogx = -2x+3 dan fx = 2x+1 Tentukan fungsi g x.
Jawab : f o g x = -2x + 3
f g x = -2x + 3 2 g x + 1
= -2x + 3 2 g x = -2x + 2
25’
202
g x = 2
2 x
2 +
−
g x = -x+1 Contoh 2
Diketahui fungsi komposisi f o g x = 4 – 2x dan fungsi g x = 2x + 2. Tentukan fungsi f x.
Jawab : f o g x = 4 - 2x
f g x = 4 – 2x f 2x + 2
= 4 – 2x f 2x + 2
= 4 – 2x + 2 –2 = 4 – 2x + 2 + 2
f 2x + 2 = 6 – 2x + 2
f x = 6 – x
ELABORASI
3. Guru memberikan beberapa latihan soal halaman 73 buku ESIS dan soal open-ended tentang menentukan fungsi jika
komposisi dan fungsi yang lain sudah diketahui untuk dikerjakan siswa dibuku tulis masing-masing.
4. Siswa dengan teman sebangkunya mendiskusikan latihan soal yang diberikan oleh guru.
5. Guru meminta perwakilan siswa untuk menulis hasil kerjaannya di papan tulis.
6. Guru bersama-sama siswa mengoreksi hasil presentasi perwakilan kelas.
KONFIRMASI
1. Siswa bersama guru menyimpulkan materi yang telah dipelajari tentang menentukan fungsi jika komposisi dan fungsi yang lain
sudah diketahui. 60’
20’
203
Kegiatan Penutup 15 menit
1. Siswa diberikan kuis untuk mengecek pemahaman siswa. 2. Siswa diminta untuk mempelajari materi pada pertemuan
selanjutnya yaitu komposisi dua fungsi atau lebih. 3. Guru memberi salam.
5’
10’
E. Sumber Belajar
