commit to user 37
3, … dan seterusnya sampai 1 dianggap terpisah. Koefisien
autokorelasi berorde didefinisikan sebagai koefisien autoregresif
terakhir dari model AR 晦 .
10. Metode Box-Jenkins ARIMA
Terdapat alat peramalan baru yang dikenal dengan metode Box- Jenkins BJ atau lebih dikenal dengan metode ARIMA. Metode ini tidak
menekankan pada analisis probabilistik atau stokastik, tetapi lebih kepada kelengkapan data ekonomi deret berkala time series dengan filosofi “let
the data speak themselves”. Tidak seperti model regresi, dimana Y
t
dijelaskan oleh k regresi X
1
, X
2
, X
3
, …, X
k
, jenis model time series BJ mengijinkan Y
t
dijelaskan oleh masa lalu, atau lag, nilai dari Y itu sendiri dan stochastic error terms. Untuk alasan tersebut, model ARIMA
seringkali disebut model atheoretic karena model ini tidak berdasarkan dari berbagai teori ekonomi, dan teori ekonomi seringkali berbentuk model
persamaan simultan Gujarati, 2003: 837. Menurut Hyndman 2001: 1 ARIMA adalah suatu model
matematika yang digunakan untuk peramalan. ARIMA merupakan singkatan dari autoregressive, integrated, moving average. Setiap kata dari
singkatan tersebut menjelaskan suatu bentuk model matematika yang berbeda. ARIMA telah dipelajari secara ekstensif dan merupakan bagian
utama dari analisis time series. Model ini dipopulerkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins pada awal 1970-an dan sekarang dikenal dengan
commit to user 38
model Box-Jenkins. Pendekatan ARIMA yang digunakan untuk peramalan adalah berdasarkan pada hal-hal berikut:
a. peramalan berdasarkan pada fungsi linear dari sampel yang diobservasi b. tujuannya adalah untuk menemukan model yang paling sederhana
yang mampu memberikan diskripsi yang cukup dari data yang diobservasi, kadangkala ini disebut prinsip parsimony.
Setiap proses ARIMA terdiri dari tiga bagian, yaitu autoregressive AR, integrated I, dan moving average MA Hyndman, 2001: 1-2.
a. AR : bagian ini menjelaskan bagaimana setiap observasi adalah suatu fungsi dari p observasi sebelumnya. Sebagai contoh, jika p = 1, maka
setiap observasi adalah suatu fungsi hanya dari satu observasi sebelumnya.
俰
1
俰
1
dimana 俰 menunjukkan nilai observasi pada waktu t, 俰
1
menunjukkan nilai observasi sebelumnya pada waktu t – 1, menunjukkan beberapa random eror dan c dan
1
adalah konstanta. Nilai lain yang diamati dapat dimasukkan pada sisi kanan persamaan
jika p 1: 俰
1
俰
1 2
俰
2
俰 b. I : bagian ini menentukan apakah nilai observasi dibentuk secara
langsung, atau apakah ada perbedaan differences antara observasi yang berurutan dengan model. Jika d = 0, observasi dibentuk secara
commit to user 39
langsung. Jika d = 1, differences dilakukan sekali. Jika d = 2, differences dilakukan dua kali. Dalam prakteknya jarang sekali nilai d
lebih dari 2. c. MA : bagian ini menjelaskan bagaimana setiap observasi adalah suatu
fungsi dari q eror sebelumnya. Sebagai contoh, jika q = 1, maka setiap observasi adalah suatu fungsi hanya dari satu eror sebelumnya
俰
1 1
menunjukkan random eror pada waktu t dan
1
menunjukkan random eror sebelumnya pada waktu t – 1. Eror yang lain dapat
dimasukkan pada sisi kanan persamaan jika q 1. Menurut Sugiarto dan Harijono 2000 dalam Ratna 2004: 26-27
metode ARIMA berbeda dengan metode peramalan lain karena metode ini tidak mensyaratkan suatu pola data tertentu supaya model dapat bekerja
dengan baik. Secara teoritis, metode Box-Jenkins merupakan metode yang canggih terutama untuk melakukan peramalan jangka pendek. Akan tetapi
secara praktis terdapat beberapa kelemahan diantaranya: 1. jumlah data yang dibutuhkan relatif sangat besar. untuk data bulanan
yang bersifat musiman misalnya, paling tidak dibutuhkan 72 data. 2. apabila terdapat data baru yang tersedia, seringkali parameter dari
model ini harus diestimasi ulang. Hal tersebut mengindikasikan bahwa adanya revisi total terhadap model yang sudah dibuat.
3. waktu yang dibutuhkan cukup lama untuk mencari model yang tepat.
commit to user 40
Selanjutnya Hanke et al. 2001 dalam Ratna 2004: 27 juga menyatakan bahwa jumlah data yang dibutuhkan pada metode ini relatif
besar. Untuk data non musiman paling tidak dibutuhkan 40 data atau lebih untuk membangun sebuah model ARIMA, sedangkan untuk data musiman
paling tidak data sekitar 6-10 tahun tergantung pada masa periode musiman yang digunakan.
Menurut Gujarati 2003 : 840-848 metode Box-Jenkins terdiri dari empat tahap, yaitu identifikasi, penaksiran parameter, pemeriksaan
diagnostik, dan peramalan. a. Identifikasi
Aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berhubungan dengan deret berkala yang stasioner, sedangkan banyak
data deret berkala yang bersifat non-stasioner. Suatu data deret berkala dikatakan stasioner apabila data deret berkala tersebut diplot dan
kemudian tidak terbukti adanya perubahan nilai tengah dan varian yang jelas dari waktu ke waktu Makridakis et al., 1999: 332-333.
Makridakis et al. 1999: 351 menambahkan bentuk visual dari plot deret berkala dapat digunakan untuk menguji apakah suatu data
deret berkala telah stasioner atau tidak stasioner, demikian pula plot autokorelasi dapat dengan mudah memperlihatkan ketidakstasioneran.
Nilai-nilai autokorelasi dari data stasioner akan turun sampai nol sesudah time-lag kedua atau ketiga, sedangkan untuk data yang tidak
stasioner, nilai-nilai tersebut berbeda signifikan dari nol untuk
commit to user 41
beberapa periode waktu. Apabila disajikan secara grafik, autokorelasi data yang tidak stasioner memperlihatkan suatu trend searah diagonal
dari kanan ke kiri bersama dengan meningkatnya jumlah time-lag selisih waktu.
Alat utama pada tahap identifikasi adalah autocorrelation function ACF, partial autocorrelation function PACF, dan hasil
correlogram. Konsep dari autokorelasi parsial adalah analogi dari konsep koefisien regresi parsial. Pada model regresi berganda k
variabel, koefisien regresi mengukur tingkat perubahan nilai tengah
dari regresi untuk suatu unit perubahan pada tingkat regresi ke-k, dimana pengaruh seluruh regresor lainnya dianggap konstan. Pada
trend yang sama autokorelasi parsial mengukur korelasi antara
observasi time series pada periode k setelah dibandingkan dengan korelasi pada lag pertengahan misalnya pada periode lag kurang dari
k. Dengan kata lain, autokorelasi parsial adalah korelasi antara Y
t
dan 俰 setelah perubahan dampak pada nilai tengah Y
Gujarati, 2003: 841-842. Penetapan karakteristik data deret berkala seperti stasioner,
musiman, dan sebagainya, memerlukan suatu pendekatan yang sistematis. Hal ini akan membantu untuk mendapatkan gambaran
mengenai model-model yang akan dianalisis. Beberapa model yang sering digunakan adalah:
commit to user 42
1. Model MA 0,0,q
1 1
2 2
2. Model AR p,0,0
′
Φ
1 1
Φ
2 2
Φ 3. Model ARMA p,0,q
Φ
1 1
Φ
2 2
Φ
1 1
atau
1 Φ Φ
Φ _
1 θ θ
θ
4. Model ARIMA p,d,q P,D,Q
s
1 Φ
1
Φ
2 2
Φ 1
1 θ
1
θ
2 2
θ Keterangan:
=
variabel yang diamati = konstanta moving average
… =
parameter …
′
=
konstanta autoregressive Φ
1
…
Φ
=
parameter
1
… AR
= autoregressive MA
= moving average ARMA
= autoregressive moving average
commit to user 43
ARIMA = autoregressive integrated moving average p
= orde autoregressive tanpa musiman d
= orde differencing tanpa musiman q
= orde moving average tanpa musiman P
= orde autoregressive dengan musiman D
= orde differencing dengan musiman Q
= orde moving average dengan musiman s
= jumlah musim dalam satu periode Makridakis et al., 1999: 385-395.
b. Penaksiran parameter Setelah berhasil menetapkan identifikasi model sementara,
selanjutnya menetapkan parameter-parameter AR dan MA, musiman dan tidak musiman harus ditetapkan dengan cara yang terbaik.
Menurut Makridakis et al. 1999: 406-407 terdapat dua cara mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter tersebut, yaitu :
1. Dengan cara mencoba-coba trial and error, menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut atau
sekumpulan nilai, apabila terdapat lebih dari satu parameter yang akan ditaksir yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai sisa sum
of squared residuals. 2. Perbaikan secara iteratif, memilih taksiran awal dan kemudian
membiarkan program komputer memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif.
commit to user 44
c. Pemeriksaan diagnostik Makridakis et al. 1999: 411-414 mengatakan setelah berhasil
menaksir nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik untuk
membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai. Terdapat dua cara mendasar untuk melakukannya, yaitu:
1. Mempelajari nilai sisa residual untuk melihat apakah masih terdapat beberapa pola yang belum diperhitungkan.
Nilai sisa kesalahan yang tertinggal sesudah dilakukan proses pencocokan model ARIMA, diharapkan hanya merupakan
gangguan random. Oleh karena itu, apabila autokorelasi, parsial dan spektrum garis dari nilai sisa telah diperoleh, kita berharap
akan menemukan: i tidak ada autokorelasi yang signifikan, ii tidak ada parsial yang signifikan, dan iii adanya konsistensi dari
amplitudo yang tinggi melalui seluruh nilai frekuensi pada spektrum garis.
2. Mempelajari statistik sampling dari pemecahan optimum untuk melihat apakah model tersebut masih dapat disederhanakan.
Asumsi-asumsi statistik yang mendasari model umum ARIMA, memberikan beberapa angka statistik yang harus dihitung
setelah nilai-nilai koefisin optimum diukur. Sebagai contoh, untuk setiap koefisien akan terdapat kesalahan standart standard error
untuk masing-masing koefisien tersebut dan karena seluruh
commit to user 45
koefisien diukur bersama-sama maka akan terdapat distribusi sampling bersama-sama dari koefisien-koefisien tersebut. Hal ini
akan menghasilkan matriks interkorelasi yang memperlihatan bagaimana bermacam-macam koefisien saling berhubungan satu
dengan lainnya. d. Peramalan
Metode ARIMA adalah suatu metode yang populer untuk peramalan karena metode ini dapat mengembangkan struktur
matematika dengan baik dari berbagai hal yang mungkin untuk menghitung variasi model khusus seperti memprediksi interval. Ini
merupakan suatu hal yang sangat penting dalam peramalan untuk memastikan bahwa mereka mampu meramalkan hal yang tidak pasti
agar dapat dikuantitatifkan Hyndman, 2001: 2. Menurut Makridakis et al. 1999: 382, pendekatan Box-Jenkins
pada tahap pertama identifikasi adalah merumuskan sekelompok model-model yang umum kemudian dilanjutkan dengan penetapan
model untuk sementara. Tahap kedua meliputi penaksiran dan pengujian, yang dilakukan adalah penaksiran parameter pada model
sementara dan pemeriksaan diagnosa untuk menentukan apakah model memadai atau tidak. Jika model sudah memadai maka dilanjutkan pada
tahap ketiga penerapan yaitu menggunakan model untuk peramalan. Akan tetapi jika model belum memadai maka kembali pada tahap
commit to user 46
pertama demikian seterusnya sampai ditemukan model yang memadai yang dapat digunakan untuk peramalan.
11. Penelitian Terdahulu
