j dari A. Ambil

96 D x, ξ : min µ , λ ∈ ℜ p +q + x T λ + ξ T µ kendala A T λ + µ ν Karena ξ berhingga, persoalan primal mempunyai penyelesaian optimal berhingga dan nilai optimal primalnya sama dengan persoalan dual. Ambil λ x, ξ nilai bayan- gan optimal dari kendala kepastian kalau primal P x, ξ Dengan memakai teori dualitas, dapat diperlihatkan bahwa π x, ξ ≤ π x o , ξ + λ x o , ξ T x − x o 4.45 Jadi λ ., ξ subgradien dari π ., ξ . Karena π ., ξ konkaf untuk ξ tetap, ia difer- ensiabel kecuali pada himpunan A dengan ukuran Lebesque nol. Karena ξ peubah acak kontinu, A juga dapat dijabarkan terhadap ukuran peluang. Jadi, λ x, ξ tung- gal dan ∇ x Π x, ξ = λ x, ξ pada x tetap hampir pasti. Dengan mengambil ekspektasi dalam Persamaan 4.45 dihasilkan bahwa E [ λ ., ξ subgradien dari π .. Karena itu, E [ λ ., ξ tunggal untuk semua x ∈ ℜ q + sehingga π . difrensiabel dan ∇π . = E[ λ x, ξ ] = E[ ∇ x π ., ξ ] 4.46 Perhatikan bahwa Π ., ξ tidak harus difrensiabel di mana-mana, tetapi ekspektasi terhadap peubah acak kontinu ξ menghasilkan fungsi mulus π .. Persamaan 4.46 memberi pengertian bahwa operator ekspektasi dan diferensiasi dapat dipertukarkan. Analisis tadi memperlihatkan bahwa fungsi π . dan fungsi sampel Π ., ξ berstruktur mulus dan konkaf. Hal ini mengakibatkan persoalan newsvendor multi di- mensi dapat diselesaikan dengan metode SAA. Fungsi sample average approximation f n x = 1 n n ∑ k =1 Π x. ξ k − c T x 97 bagian per-bagian linier, tapi tidak mulus dimana-mana. Namun fungsi SAA dapat dimuluskan apabila ukuran sampel n bertambah. Jadi secara praktis pilih n cukup besar, kemudian pakai algoritma optimisasi fungsi konkaf mulus untuk menyelesaikan persoalan SAA dengan memakai estimator 1 n n ∑ k =1 λ x, ξ l − c. Jika fungsi sample av- erage tidak cukup mulus dan algoritma berbasis gradien tidak sesuai, metode subgra- dien untuk optimisasi konveks dapat dipakai pada − f n .. Birge dan Louveaux 1977 menggunakan algoritma program stokastik linier dua tahap untuk menyelesaikan per- soalan bersampel. Dapat diharapkan X ∗ n yang diperoleh dengan menyelesaikan persoalan SAA kon- vergen terhadap penyelesaian sebenarnya x ∗. Kondisi kritis untuk konvergensi adalah versi uniform hukum bilangan besar ULLN yang berbentuk: sup x ∈D | f n x − f x| = sup x ∈D | 1 n n ∑ k =1 f x, ξ k − E[ f x, ξ ]| → 0 Bila n → ∞ hampir pasti ULLN memastikan bahwa nilai objektif optimal dari per- soalan SAA konvergen terhadap persoalan sebenarnya. Dari contoh dapat diambil prinsip kunci penerapan metode SAA: 1. SAA sesuai hanya apabila fungsi pendekatan f n memiliki struktur yang memam- pukan penerapan algoritma optimisasi deterministik dan 2. Fungsi limit f yang sebenarnya ingin diminimumkan memiliki struktur sama, se- hingga sifat fungsi limit seperti lokasi minimum lokal sama dengan fungsi pen- dekatan.

4. 3.2. SAA sebagai pendekatan persoalan

chance constrained Aproksimasi rataan sampel sample average approximation = SAA merupakan pen- dekatan pada persoalan Chance constrained. Aproksimasi diperoleh dengan mengubah 98 sebaran chance constrained yang sebenarnya dengan suatu sebaran empiris sesuai de- ngan sampel acak. Pendekatan ini sangat berarti pada program stokastik dengan nilai ekspektasi nilai tujuan. Metode SAA digunakan untuk memperoleh batas atas seba- gai calon solusi persoalan chance constrained. Dalam rangka untuk menyederhanakan penyajian ini dipilih CCP 4.25 min x ∈X f x kendala P {Gx. ξ ≤ 0} ≥ 1 − α dan diberikan asumsi tanpa kehilangan bentuk atau makna umumnya, yaitu bahwa kendala fungsi G: R n × R d → R dalam 4.25 adalah skalar. Tentu saja, sejumlah kendala G i x, ξ ≤ 0, i = 1, ..., m, dapat digantikan oleh satu kendala yang ekivalen G x, ξ = max 1 im aG i x, ξ ≤ 0. Chance constrained stokastik dibatasi 4.25 dapat ditulis kembali sebagai min x ∈X f x kendala p x ≤ α 4.47 dimana p x = P{Gx, ξ 0} Sekarang misalkan ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ N menjadi sebaran iden- tik bebas independent identicaly distributed iid sampel N realisasi vektor acak ξ , dan P N = N −1 ∑ N j =1 △ ξ j berturut pengukuran empiris △ ξ menyatakan ukuran massa satu pada titik ξ , dan karena itu P N adalah ukuran diskrit dengan peluang 1N untuk tiap ξ j , j=1,...,N. SAA ˆ p N x dari fungsi px diperoleh dengan menggantikan sebaran P yang sebenarnya dengan ukuran empiris P N , yakni ˆ p N x = P N {Gx, ξ 0}. Misalkan 1 0, ∞ : ℜ → ℜ adalah fungsi indikator 0, ∞ . yang berarti 1 0, ∞ =        1 jika t jika t ≤ 0