j dari A. Ambil
96 D
x, ξ
: min
µ ,
λ ∈
ℜ
p +q
+
x
T
λ +
ξ
T
µ kendala A
T
λ + µ
ν Karena
ξ berhingga, persoalan primal mempunyai penyelesaian optimal berhingga
dan nilai optimal primalnya sama dengan persoalan dual. Ambil λ
x, ξ
nilai bayan- gan optimal dari kendala kepastian kalau primal P
x, ξ
Dengan memakai teori dualitas, dapat diperlihatkan bahwa
π x,
ξ ≤
π x
o
, ξ
+ λ
x
o
, ξ
T
x − x
o
4.45
Jadi λ
., ξ
subgradien dari π
., ξ
. Karena π
., ξ
konkaf untuk ξ
tetap, ia difer- ensiabel kecuali pada himpunan A dengan ukuran Lebesque nol. Karena
ξ peubah
acak kontinu, A juga dapat dijabarkan terhadap ukuran peluang. Jadi, λ
x, ξ
tung- gal dan
∇
x
Π x,
ξ =
λ x,
ξ pada x tetap hampir pasti. Dengan mengambil ekspektasi
dalam Persamaan 4.45 dihasilkan bahwa E [
λ .,
ξ subgradien dari
π .. Karena itu,
E [
λ .,
ξ tunggal untuk semua x ∈
ℜ
q +
sehingga π
. difrensiabel dan ∇π
. = E[ λ
x, ξ
] = E[ ∇
x
π .,
ξ ]
4.46
Perhatikan bahwa Π
., ξ
tidak harus difrensiabel di mana-mana, tetapi ekspektasi terhadap peubah acak kontinu
ξ menghasilkan fungsi mulus
π .. Persamaan 4.46
memberi pengertian bahwa operator ekspektasi dan diferensiasi dapat dipertukarkan. Analisis tadi memperlihatkan bahwa fungsi
π . dan fungsi sampel
Π .,
ξ berstruktur mulus dan konkaf. Hal ini mengakibatkan persoalan newsvendor multi di-
mensi dapat diselesaikan dengan metode SAA. Fungsi sample average approximation f
n
x =
1 n
n
∑
k =1
Π x.
ξ
k
− c
T
x
97 bagian per-bagian linier, tapi tidak mulus dimana-mana. Namun fungsi SAA dapat
dimuluskan apabila ukuran sampel n bertambah. Jadi secara praktis pilih n cukup besar, kemudian pakai algoritma optimisasi fungsi konkaf mulus untuk menyelesaikan
persoalan SAA dengan memakai estimator
1 n
n
∑
k =1
λ x,
ξ
l
− c. Jika fungsi sample av- erage tidak cukup mulus dan algoritma berbasis gradien tidak sesuai, metode subgra-
dien untuk optimisasi konveks dapat dipakai pada − f
n
.. Birge dan Louveaux 1977 menggunakan algoritma program stokastik linier dua tahap untuk menyelesaikan per-
soalan bersampel. Dapat diharapkan X
∗ n
yang diperoleh dengan menyelesaikan persoalan SAA kon- vergen terhadap penyelesaian sebenarnya x
∗. Kondisi kritis untuk konvergensi adalah versi uniform hukum bilangan besar ULLN yang berbentuk:
sup
x ∈D
| f
n
x − f x| = sup
x ∈D
|
1 n
n
∑
k =1
f x,
ξ
k
− E[ f x, ξ
]| → 0 Bila n
→ ∞
hampir pasti ULLN memastikan bahwa nilai objektif optimal dari per- soalan SAA konvergen terhadap persoalan sebenarnya.
Dari contoh dapat diambil prinsip kunci penerapan metode SAA: 1. SAA sesuai hanya apabila fungsi pendekatan f
n
memiliki struktur yang memam- pukan penerapan algoritma optimisasi deterministik dan
2. Fungsi limit f yang sebenarnya ingin diminimumkan memiliki struktur sama, se- hingga sifat fungsi limit seperti lokasi minimum lokal sama dengan fungsi pen-
dekatan.