3.2. SAA sebagai pendekatan persoalan

98 sebaran chance constrained yang sebenarnya dengan suatu sebaran empiris sesuai de- ngan sampel acak. Pendekatan ini sangat berarti pada program stokastik dengan nilai ekspektasi nilai tujuan. Metode SAA digunakan untuk memperoleh batas atas seba- gai calon solusi persoalan chance constrained. Dalam rangka untuk menyederhanakan penyajian ini dipilih CCP 4.25 min x ∈X f x kendala P {Gx. ξ ≤ 0} ≥ 1 − α dan diberikan asumsi tanpa kehilangan bentuk atau makna umumnya, yaitu bahwa kendala fungsi G: R n × R d → R dalam 4.25 adalah skalar. Tentu saja, sejumlah kendala G i x, ξ ≤ 0, i = 1, ..., m, dapat digantikan oleh satu kendala yang ekivalen G x, ξ = max 1 im aG i x, ξ ≤ 0. Chance constrained stokastik dibatasi 4.25 dapat ditulis kembali sebagai min x ∈X f x kendala p x ≤ α 4.47 dimana p x = P{Gx, ξ 0} Sekarang misalkan ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ N menjadi sebaran iden- tik bebas independent identicaly distributed iid sampel N realisasi vektor acak ξ , dan P N = N −1 ∑ N j =1 △ ξ j berturut pengukuran empiris △ ξ menyatakan ukuran massa satu pada titik ξ , dan karena itu P N adalah ukuran diskrit dengan peluang 1N untuk tiap ξ j , j=1,...,N. SAA ˆ p N x dari fungsi px diperoleh dengan menggantikan sebaran P yang sebenarnya dengan ukuran empiris P N , yakni ˆ p N x = P N {Gx, ξ 0}. Misalkan 1 0, ∞ : ℜ → ℜ adalah fungsi indikator 0, ∞ . yang berarti 1 0, ∞ =        1 jika t jika t ≤ 0 99 maka dapat ditulis p x = E p [1 0, ∞ Gx, ξ ] dan dengan x yang diberikan ˆp N x = E p N [1 0, ∞ Gx, ξ ] = N −1 N ∑ j =1 1 , ∞ Gx, ξ j yang berarti ˆp N x adalah proporsi be- rapa kali G x, ξ j 0 dalam sampel. Dikaitkan dengan sampel yang dibangkitkan ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ N yang menjadi persoalan adalah min x ∈X f x kendala ˆ p N x ≤ γ . 4.48 Persoalan 4.25 dan 4.47 diacu sebagai masalah yang benar dan persolan SAA berturut-turut dalam tingkat resiko γ dan α . Persoalan SAA adalah persoalan chance constraint stokastik dengan sebaran diskrit yang berbeda dan tingkat risiko yang berbeda dari 4.48. Kecuali N penghalang besar, persoalan chance constrained SAA bebas dari kesulitan pertama komputasi ˆ p N x yang disebutkan terdahulu, namun mungkin masih sulit untuk dipecahkan. Dengan asumsi memiliki skema untuk menye- lesaikan SAA, apa yang bisa dikatakan tentang solusi optimal dan nilai optimal SAA dalam kaitannya dengan masalah yang benar 4.47?. Secara intuitif, dengan asumsi N cukup besar, dan jika γ ≤ α maka solusi yang layak SAA mungkin layak un- tuk masalah yang sebenarnya, dan α ≥ γ jika nilai optimal SAA mungkin kurang dari persoalan yang sebenarnya. Dengan demikian persoalan SAA dapat digunakan untuk mendapatkan kandidat solusi baik layak untuk masalah yang sebenarnya serta perkiraan kesenjangan optimalitas. Selanjutnya perlu didiskusikan konsep-konsep ini sedikit lebih ketat. Dengan berasumsi bahwa X kompak, f . kontinu, Gx, . dapat diukur untuk setiap x ∈ ℜ n , dan G ., ξ kontinu untuk hampir setiap ”.”. Kemudian p x adalah fungsi dari x dan ˆp N x semikontinu lebih rendah, dan persoalan yang be- narnya 4.47 dan persoalan SAA 4.48 dijamin untuk memiliki solusi optimal jika hal tersebut layak. Misalkan X α dan ˆ X N x menyatakan himpunan solusi optimal 100 dari persoalan sebenarnya dan SAA berturut-turut, v α dan ˆv N γ . Untuk lebih memperkuat pendekatan-pendekatan tersebut, misalkan barisan f k x suatu fungsi bernilai riel, dikatakan konvergen epiconverge kepada suatu fungsi f x dituliskan f k e − → f , jika untuk setiap titik menuruti dua kondisi berikut Pagnoncelli, Ahmed dan hapiro 2009 a. untuk setiap barisan x k konvergen ke x, jika memiliki satu lim k → ∞ sup f k x k ≥ f x 4.49 b. ada suatu barisan x k konvergen ke x sehingga lim k → ∞ sup f k x k ≤ f x dengan hukum bilangan besar diperoleh bahwa untuk sembarang x , ˆp N xkonvergen ke p x. Selanjutnya berdasarkan definisi itu dapat diperoleh dua teorema berikut. Teorema 1 Misalkan G x, ξ suatu fungsi Caratheodory. Maka fungsi px dan ˆp N x adalah semikontinu terendah, dan ˆ p N x e − → p dengan peluang satu d.p.1. Lebih lanjut anggap untuk setiap ¯ x ∈ X, himpunan { ξ ∈ Ξ : G ¯x, ξ = 0} memiliki P ukuran nol, yakni G ¯x, ξ 6= 0. Maka fungsi px kontinu untuk setiap x ∈ X dan ˆp N x konvergen ke p x d.p.1 seragam pada sembarang himpunan kompak C ⊂ X yakni: sup x ∈ X| ˆp N x − px| → 0,d.p.1untuk N → ∞ Dengan anggapan, ada suatu solusi ˆ x dari sesungguhnya 4.48 sehingga untuk sem- barang ε 0, ada x ∈ X dengan x − ˆx ≤ ε dan p x α 4.50 101 Bukti : Lihat Pagnoncelli, Ahmed, dan Shapiro 2008. Teorema 2 Anggaplah taraf signifikansi problema sebenarnya dan SAA adalah sama yakni γ = α , himpunan X kompak, fungsi f x kontinu, Gx, ξ adalah fungsi caratheodory, dan menuruti kondisi 4.50. Maka ˆ υ N → υ ∗ dan DˆS ′ N S → d.p.1untuk N → ∞ Bukti : Lihat Pagnoncelli, Ahmed, dan Shapiro 2008. 4. 4. Pemecahan Sampel Aproksimasi Dapat diperhatikan bahwa dengan cara ini dapat menghasilkan serta memvalidasi kandidat solusi untuk persoalan chance constrained 4.48 dengan memecahkan bebe- rapa perkiraan sampel 4.49. Pada bagian ini kita mengeksplorasi pendekatan untuk memecahkan masalah ini. Jika γ = 0 maka masalah SAA direduksi menjadi min x ∈X f x kendala G x, ξ j ≤ 0, j = 1,...,N 4.51 Ketika fungsi f . dan G., ξ j untuk j = 1, . . . , N adalah konveks linear dan X him- punan konveks polyhedral maka 4.51 adalah konveks linier program, dan biasanya dapat diselesaikan secara efisien menggunakan off-the-shelf software. Kemudian dapat ditingkatkan risiko γ dalam masalah SAA. Namun dengan γ 0 masalah, SAA adalah masalah optimasi chance constrained dengan distribusi yang terbatas dan NP-keras bahkan dalam pengaturan yang sangat sederhana. Berbagai macam pendekatan telah diusulkan untuk memecahkan kelas yang berbeda dari masalah optimisasi chance con- strained di bawah sebaran terbatas. Dalam bahasan ini yang dipertimbangkan adalah 102 pendekatan berbasis program integer. Masalah SAA 4.48 dapat dirumuskan sebagai masalah campuran-integer berikut mix integer programMIP min f x kendala : G x, ξ j ≤ M j z j j = 1, ..., N N ∑ j =1 z j ≤ γ N z j ∈ {0,1} x ∈ X 4.52 dimana z j adalah peubah biner dan M j adalah bilangan positif yang besar sehingga M j ≥ maks x ∈X G x, ξ j untuk semua j = 1 ..., N. Perhatikan bahwa jika z adalah 0 maka kendala G x, ξ j ≤ 0 sesuai dengan realisasi j dalam sampel yang diberlakukan. Di sisi lain z j = 1 tidak menimbulkan pembatasan pada Gx, ξ j . Kendala kardinalitas N ∑ j =1 z j ≤ γ N mensyaratkan bahwa setidaknya N dari kendala G x, ξ j ≤ 0, j = 1,...,N diberlakukan. Bahkan dalam pengaturan linier yaitu, fungsi f dan G linear dalam x dan himpunan X adalah polyhedral. Kesulitan adalah karena fakta bahwa relaksasi terus menerus 4.52 diperoleh dengan persyaratan bilangan bulat pada variabel z menye- diakan relaksasi yang lemah, dan karenanya memperlambat algoritma cabang-dan- batas pada pemecahan karya-kuda work-horse MIP. Kesulitan ini dapat diatasi dengan memperkuat formulasi 4.52 dengan penambahan ketidaksetaraan yang valid atau re- formulasi. Formulasi ditingkatkan seperti memiliki kesenjangan relaksasi ketat terus menerus dan dapat berfungsi secara signifikan mengurangi ”kali” pemecahan. Berbagai pendekatan untuk memperkuat kelas khusus dari MIP 4.52 telah diusulkan. Tulisan ini membahas pendekatan untuk kasus kendala probabilistik bersama di mana param- eter yang tidak pasti hanya muncul di sisi kanan, yaitu G x, ξ = maks i =1,...,m { ξ i − G i x}. Perhatikan bahwa ukuran fasilitas pada 4.42 adalah dalam bentuk tersebut. Dengan