58
maks
x
g x
kendala P
n
∑
j =1
a
j
x
j
≤ eb ≥
α 4.21
x ≥ 0
atau maks
f c, X
kendala P AX ≤ b ≥
α X
≥ 0 dimana g
x atau f c, X adalah fungsi tujuan, X adalah vektor peubah keputusan, A
adalah matriks teknis koefisien, koefisien a
j
dipandang dalam dua hal deterministik atau peubah acak, b sebagai peubah acak diskrit atau deterministik. Sedangkan 0
≤ α
≤ 1 adalah tingkat peluang yang ditentukan yang membatasi seluruh kendala linier. Namun bahasan ini dimulai dari bentuk sederhana dengan dua peubah dan selanjutnya
akan digeneralisasi ke bentuk yang lebih luas.
4. 2.1. Sumber Stokastik dengan Dua Peubah Keputusan
Pembahasan dimulai dalam dua peubah acak diskrit x
1
dan x
2
, fungsi tujuan deter- ministik dan kendala linier dalam bentuk
maks
x
g x
1
, x
2
kendala a
1
x
1
+ a
2
x
2
≤ eb x
1
, x
2
≥ 0
yang mudah dipahami karena dapat diilustrasikan secara grafik.
59 Untuk peubah acak diskrit e
b, diketahui P e
b = b
s
= p
s
untuk s = 1, 2, . . . , S dan
∑
S s
=1
p
s
= 1, a
1
0, a
2
0, b
1
b
2
. . . b
s
. . . b
S
. Ilustrasi beberapa H
s
=
{x∈
ℜ
2
|a
T
x
≤ b
s
,x ≥0} dengan P[H
s
] = p
s
untuk s ∈ {1,2,...,S}, misalnya:
H
1
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
≤ b
1
, x
1
, x
2
≥ 0 dengan P[H
1
] = p
1
H
2
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
≤ b
2
, x
1
, x
2
≥ 0 dengan P[H
2
] = p
2
H
3
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
≤ b
3
, x
1
, x
2
≥ 0 dengan P[H
3
] = p
3
.. .
H
S
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
≤ b
S
, x
1
, x
2
≥ 0 dengan P[H
S
] = p
S
, dan b
1
b
2
b
3
. . . b
S
disajikan dalam Gambar 4.1
Gambar 4.1: Kendala Deterministik untuk e
b yang berbeda
60 Grafik ini memperlihatkan daerah layak deterministik H
S
⊂ ... ⊂ H
3
⊂ H
2
⊂ H
1
yang tergantung dari peubah acak e
b Selanjutnya dapat diperhatikan metode chance constrained digunakan untuk
menghubungkan kendala acak dengan deterministik yang ekivalen dengan peluang minimum
α .
P ∑
n j
=1
a
j
x
j
≤ eb ≥
α .
Himpunan deterministik layak sebagai fungsi α
dapat disimbolkan dengan C α
di- mana
α ∈ 0,1] = {0
α = 1}, terbentuk sub interval deterministik layak dengan nilai
optimal dalam nilai α
yang berbeda-beda seperti disajikan dalam Tabel 4.1.
Tabel 4.1: Himpunan layak deterministik untuk e
b Sub interval
α C
α 1
α ≤ p
1
H
1
2 p
1
α ≤ p
1
+ p
2
H
2
3 p
1
+ p
2
α ≤ p
1
+ p
2
+ p
3
H
3
. . . . . .
. . . i
∑
i −1
j =1
p
j
α ≤
∑
i j
=1
p
j
H
i
. . . . . .
. . . s
∑
s −1
j =1
p
j
α ≤
∑
s j
=1
p
j
H
s
. . . . . .
. . . S
∑
S −1
j =1
p
j
α ≤
∑
S j
=1
p
j
= 1 H
S
Sub-interval pertama: α
∈ 0, p
1
] dengan C α
= H
1
, sub interval kedua: α
∈ p
1
, p
1
+ p
2
] dengan C α
= H
2
, sub-interval ketiga: α
∈ p
1
+ p
2
, p
1
+ p
2
+ p
3
] dengan C
α = H
3
, . . . , sub-interval ke-i: α
∈ p
1
+ p
2
+ . . . + p
i −1
, p
1
+ p
2
+ p
3
+
61 . . . + p
i
] dengan C α
= H
i
, sub-interval ke-s i:
α ∈ p
1
+ p
2
+ p
3
+ . . . + p
i
+ . . . + p
s −1
, p
1
+ p
2
+ p
3
+ . . . + p
i
+ . . . + p
s
] dengan C α
= H
s
,. . . , dengan cara yang serupa sub-interval terakhir atau ke-S:
α ∈ p
1
+ p
2
+ p
3
+ . . . + p
i
+ . . . + p
S −1
, p
1
+ p
2
+ p
3
+ . . . + p
i
+ . . . + p
S
] dengan C α
= H
S
. Solusi sebagai nilai optimisasi tu- juan g
x
1
, x
2
akan ditentukan oleh titik persekutuan gx
1
, x
2
dengan kendala yang bersesuaian seperti yang disajikan pada grafik Gambar 4.2
Gambar 4.2: Ilustrasi solusi sesuai dengan sub-program
Pandang fungsi tujuan g x, maka dalam gambar solusi dinyatakan oleh g ∗ x.
62
4. 2.2. Generalisasi Sumber Stokastik Dengan n Peubah
Model persoalan program stokastik dengan peubah acak diskrit, fungsi tujuan deter- ministik dan hanya satu kendala linear dengan n peubah keputusan, koefisien a
j
deter- ministik dan sumber kendala ˜b adalah peubah acak diskrit diberikan sebagai berikut,
maks
x
g x
kendala
n
∑
j =1
a
j
x
j
≤ eb
x ≥ 0
dengan x = x
1
, x
2
, . . . , x
n T
, sedangkan peubah acak diskrit ˜b dengan peluang di- nyatakan sebagai p
b
i
= p
i
atau P b = b
s
= p
s
dan ∑
S s
=1
p
s
= 1 dengan asumsi a
j
0, j ∈ {1,2,...,n} dan b
1
b
2
··· b
S
0. Sedangkan dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai
maks
x
g
x kendala a
T
x
≤ eb
x ≥ 0
dimana a =
a
1
, a
2
, . . . , a
n T
yang dapat memberi kemungkinkan mengkonstruksi kendala deterministik yang layak pada berbagai nilai peubah diskrit ˜b
Untuk s = 1, 2, ..., S, ditentukan
H
s
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
s
x
s
≤ ˜b
x ≥ 0
dengan P [H
s
] = p
s
, s ∈ {1,2, ..., S}, yaitu H
s
= {x ∈
ℜ
n
: a
T
x
≤ b
s
, x ≥ 0}.
63
4. 2.3. Koefisien Stokastik Dengan Dua Peubah Keputusan
Untuk memudahkan pemahaman pembahasan ini dimulai dari dua peubah ke- putusan x
1
dan x
2
, fungsi tujuan deterministik, dan satu kendala linear dan pada akhirnya digeneralisasi. Dalam ilustrasi ini dipilih peubah acak koefisien a
2
seperti diperlihatkan pada Gambar 4.3.
Gambar 4.3: Himpunan kendala deterministik untuk
e a
2
yang berbeda Dengan demikian modelnya menjadi
