63
4. 2.3. Koefisien Stokastik Dengan Dua Peubah Keputusan
Untuk memudahkan pemahaman pembahasan ini dimulai dari dua peubah ke- putusan x
1
dan x
2
, fungsi tujuan deterministik, dan satu kendala linear dan pada akhirnya digeneralisasi. Dalam ilustrasi ini dipilih peubah acak koefisien a
2
seperti diperlihatkan pada Gambar 4.3.
Gambar 4.3: Himpunan kendala deterministik untuk
e a
2
yang berbeda Dengan demikian modelnya menjadi
64 maks
x
g
x
kendala a
1
x
1
+ e a
2
x
2
≤ b
x ≥ 0
dimana x = x
1
, x
2 T
, b deterministik dan e a
2
adalah peubah acak diskrit dengan P
a
21
= p
21
, Pa
22
= p
22
, . . . , P a
2r
2
= p
2r
2
. . . P a
2R
2
= p
2R
2
atau P [e
a
2
= a
2r
2
] = p
2r
2
untuk r
2
= 1, 2, . . . , R
2
dengan ∑
R
2
r
2
=1
p
2r
2
= 1 , a
2
0, b 0 dan 0 a
21
a
22
. . . a
2R
2
. Peubah acak
e a
2
untuk nilai a
2r
2
dengan peluang p
2r
2
mempunyai himpunan layak H
r
2
: a
1
x
1
+ e a
2
x
2
≤ b, x
1
, x
2
≥ 0, dengan P[H
r
2
] = p
r
2
untuk r
2
∈ {1,2,...,R
2
} Dalam Tabel 4.2 dapat dilihat himpunan layak deterministik C
α yang sesuai untuk
nilai parameter α
∈ 0,1] yang berbeda.
Tabel 4.2: Himpunan layak deterministik
e a
2
Sub interval α
C α
1 α
≤ p
1
H
1
2 p
1
α ≤ p
1
+ p
2
H
2
3 p
1
+ p
2
α ≤ p
1
+ p
2
+ p
3
H
3
··· ···
··· i
∑
i −1
j =1
p
j
α ≤
∑
i j
=1
p
j
H
i
··· ···
··· r
2
∑
r
2
−1 k
=1
p
k
α ≤
∑
r
2
k =1
p
k
H
r
2
··· ···
··· R
2
∑
R
2
−1 k
=1
p
k
α ≤
∑
R
2
k =1
p
k
H
R
2
65 Himpunan daerah layak deterministik yang berbeda mengikuti tata sarang seba-
gai berikut H
1
⊃ H
2
⊃ ... ⊃ H
r
2
. . . ⊃ H
R
2
. Sekarang himpunan stokastik layak dari persoalan ditentukan dengan transformasi ke bentuk deterministik yang setara dengan
menggunakan metode chance constraint dalam cara berikut P
[a
1
x
1
+ e a
2
x
2
≤ b] ≥ α
x
1
≥ 0,x
2
≥ 0
Illustrasi secara grafik dapat ditunjukkan Pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4: Ilustrasi solusi sesuai dengan sub-program untuk peubah koefisien
stokastik
66
4. 2.4. Generalisasi Koefisien Stokastik Dengan n Peubah Keputusan
Dimisalkan persoalan dengan salah satu koefisien a
i
dari x adalah peubah acak diskrit sehingga model dapat ditulis:
maks
x
g x
kendala e
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
≤ b
x ≥ 0
dimana x
= x
1
, x
2
, . . . , x
n T
, a
j
0 untuk j = 2, 3, . . . , n dan b deterministik dan e
a
1
adalah peubah acak diskrit dengan P a
11
= p
11
, Pa
12
= p
12
, . . . , P a
1r
1
= p
1r
1
, . . . , P a
1R
1
= p
1R
1
atau P [e
a
1
= a
1r
1
] = p
1r
1
untuk r
1
= 1, 2, . . . , R
1
dengan ∑
R
1
r
1
=1
p
1r
1
= 1 dan a
j
= 0, ∀ j ∈ 2,3, ...,n , b 0 dan 0 a
11
a
12
··· a
1R
1
Dengan notasi matriks, persoalan tersebut dapat ditulis maks
x
g
x
kendala
ea
T
x ≤ b
x ≥ 0
dimana
ea
T
= e a
1
, a
2
, . . . , a
n
. Untuk setiap nilai peubah acak
ea
1
, dapat diambil dan dapat ditulis himpunan layak sesuai dengan peluangnya. Yakni, himpunan layak menjadi
H
r
1
: a
1r
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
≤ b, x ≥ 0
jika untuk peubah acak e
a
1
, diambil a
1r
1
, terdapat P
[H
r
1
] = p
r
1
dengan r
1
∈ {1,2,...,R
1
} atau dalam notasi matriks H
r
1
= H = {x ∈
ℜ
n
:
ea
T
x ≤ b,x ≥ 0}
67
4. 2.5. Teorema
Dari kedua generalisasi tersebut di atas dapat dituliskan definisi yang dimanfaatkan untuk menurunkan teorema seperti uraian di bawah ini.
Definisi 1 : Misalkan dalam P
˜b = b
s
= p
s
, untuk s = 1, 2, . . . , S dan
S
∑
s =1
p
s
= 1, anggap a
j
≥ 0,∀ j ∈ {1,2,...,n} dan b
1
b
2
. . . b
s
0, maka H
s
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b
s
dan x ≥ 0 atau
H
s
= {x ∈
ℜ
n
: a
T
x
≤ b
s
, x ≥ 0}
Dengan dasar Definisi 1 dapat diturunkan teorema Tena dan Lorente, 2004
Teorema 1
Jika s ,t ∈ {1,2,...,S} dan s t, maka H
t
⊂ H
s
Bukti : Menurut definisi
H
t
= {x ∈
ℜ
n
: a
T
x
≤ b
t
, x ≥ 0}
H
s
= {x ∈
ℜ
n
: a
T
x
≤ b
s
, x ≥ 0}
dan karena s t maka b
s
b
t
.
Jika x
∈ H
t
⇒ x ≥ 0 dan a
T
x
≤ b
t
b
s
⇒ x ≥ 0 dan a
T
x
≤ b
s
⇒ x ∈ H
s
yang berarti H
t
⊂ H
s
dengan cara yang sama ∀ j, H
j
⊃ H
j +1
atau H
1
⊃ H
2
⊃ H
3
⊃ ... ⊃ H
s
Teorema 2
Untuk α
yang bersangkutan kepada sub-interval s dari interval 0,1] diperoleh α
≤ p
1
, untuk s = 1, dan
s −1
∑
i =1
p
i
α ≤
s −1
∑
i =1
p
i
+ p
s
, untuk s = 2, 3, . . . , S, him-
punan deterministik ekivalen C α
sebagai fungsi parameter α
adalah himpunan H
s
Bukti
: Dengan Teorema 1 diketahui H
1
⊃ H
2
⊃ H
3
⊃ ... ⊃ H
s
, karena itu himpunan
Kategori