2. Optimisasi Chance Constrained Pengelolaan Air Asin

34 dalam dua dimensi yang dianggap valid untuk zona air tawar dan air asin. Potensial Φ mengikuti definisi berikut: Untuk confined aquifer: Φ = Bh j + s − 1B 2 2 − sBd air tawar Φ = 1 2 s − 1 [h 1 + s − 1B − sd] 2 air asin untuk unconfined aquifer: Φ = 1 2 [h 2 j − sd 2 ] air tawar Φ = s 2 s − 1 h j − d 2 air asin. h j adalah piezometrik head air tawar, d ketinggian permukaan laut terhadap dataran, B batas ketebalan akuifer, s adalah rasio kepekatan air asin dengan air tawar. Persoalan diselesaikan sebagai masalah satu zona dengan kondisi batas yang tepat. Persoalan dapat diselesaikan dengan cara analitik atau numerik, lokasi ruang terjepit x i dihitung seperti: ξ = r 2 φ s − 1 + d − B untuk confined aquifer ξ = r 2 φ s s − 1 untuk unconfined aquifer Kaki pinggir air asin ditempatkan pada ξ = d, sehingga persamaan menunjukkan kaki pinggir air asin ditempatkan dengan Φ bernilai Φ = s − 1 2 B 2 untuk confined aquifer Φ = s s − 1 2 d 2 untuk unconfined aquifer 35 Untuk kedua akuifer, suatu pemecahan ditemukan, lokasi kaki air asin dapat diturunkan dari persamaan tersebut di atas, sehingga lokasi kaki air asin, x toe dapat dipecahkan dari: Φ toe = q K x toe + n ∑ w =1 Q w 4 π K ln x toe − x w 2 + y toe − y w 2 x toe + x w 2 + y toe − y w 2 dimana x w , y w adalah koordinat yang tepat, Q w besar pemompaan untuk lokasi w sejauh x w dari pantai, K adalah konduktivitas hidrolik dan q besar kelajuan aliran air tawar Model pengelolaan akuifer pesisir dikembangkan untuk penarikan air yang ber- kelanjutan dari akuifer untuk keperluan yang bermanfaat. Karena strategi penggu- naan memompa terdistribusi spasial, intrusi air laut terjadi dan salinitas air dipompa bervariasi dengan besarnya dan lokasi memompa dalam domain ruang dua dimensi dari akuifer. Model manajemen dikembangkan mempertimbangkan fungsi tujuan yang masuk akal dengan memperhitungkan nilai ekonomi. Pertimbangan eksplisit nilai ekonomi memerlukan definisi fungsi biaya dan manfaat yang akan termasuk dalam model. Biaya memompa diasumsikan berbanding lurus dengan produk dari tingkat pe- mompaan dan daya angkat lift total pada setiap sumur. Perumusan matematika dari persoalan optimisasi dapat ditulis sebagai: Maks Z = n ∑ i =1 B p Q i −C p Q i L i − h i dimana Z adalah fungsi tujuan, dengan kendala berikut: 1 Kendala lokasi kaki pantai: X toe X i , i = 1, n 2 Batas-batas kapasitas praktis memompa tidak boleh melebihi: Q min i ≤ Q i ≤ Q maks i , i = 1, n 36 Q i adalah laju pembuangan air sumur i, X i w adalah jarak sumur ke i dari pantai, X i toe adalah lokasi kaki dari pantai di depan sumur i, Q min i dan Q maks i masing-masing adalah debit minimum dan maksimum dari sebuah sumur dibatasi oleh kapasitas peralatan, h i adalah kepala hidrolik pada sumur titik i, L i awal lift pada sumur i, B p adalah keun- tungan per unit suplai air di sumur titik i, C p adalah biaya memompa satuan volume per unit pada titik sumur i, dan n adalah jumlah sumur. Untuk sumur yang ada di lokasi tetap, peubah desain adalah tarif memompa Q i . Untuk sumur baru yang akan dipasang, peubah desain dapat mencakup sejumlah sumur, pembuangan, dan lokasi sumur dalam koordinat x dan y. Kendala utama dari masalah adalah tidak ada kriteria invasi sumur. Kendala lain mungkin termasuk maksimum dan minimum tarif mem- ompa dari setiap sumur yang harus dipenuhi. Untuk memungkinkan algoritma genetika digunakan, kendala dalam persoalan maks Z = n ∑ i =1 B p Q i − C p Q i L i − h i pertama di- transformasikan menjadi sesuatu yang tanpa kendala. Hal ini dicapai dengan memak- sakan kendala dalam fungsi tujuan. Misalnya, untuk memastikan tidak ada gangguan air asin, fungsi keuntungan dapat didefinisikan sebagai: F = n ∑ i =1 B p Q i −C p Q i −C p Q i L i − h i − r m ∑ j =1 1 − X toe j X w i 2 dimana r adalah faktor paksaan dan m banyak kendala pengganggu. Jika kendala di- langgar, kita asumsikan bahwa fungsi manfaat didefinisikan sebagai: F = n ∑ i =1 B p Q i −C p Q i −C p Q i L i − h i − r n ∑ i =1 B p Q maks i −C p Q maks i L i − h i Dalam hal ini maksimasi tanpa kendala unconstrained terselesaikan Suatu model optimasi chance constrained pengelolaan air asin dirumuskan untuk menjelaskan ketidakpastian dalam koefisien model. Chance constrained programming 37 digunakan untuk mengubah model kendala probabilistik dengan yang deterministik, karena memecahkan masalah setara deterministik jauh lebih mudah daripada persoalan probabilistik. Dengan menganggap X peubah tak bebas kaki yang dijelaskan oleh se- baran probabilitas di setiap lokasi i. Probabilitas harus lebih besar daripada beberapa reliabilitas r toe i Pr {X toe X i } ≥ r toe i Akibatnya, kendala sisi kiri lokasi kaki adalah acak karena berisi peubah acak tarif aliran air tawar dan debit memompa pengeluaran air sumur. Pertidaksamaan terakhir tidak operasional matematis dan modifikasi lebih lanjut atau memerlukan transformasi. Untuk membuat operasional matematis, perlu akses secara statistik persamaan chance constrained. Chance constrained untuk lokasi kaki adalah: E [X toe ] + N −1 r toe i σ [X toe i ] ≤ X i E [X toe ] adalah nilai ekspektasi lokasi kaki menyataan rataan lokasi kaki, N −1 r toe i σ [X toe i ] adalah komponen statistik di mana N −1 adalah sebaran standar nor- mal kumulatf dari level spesifik r toe i , dan σ [X toe i adalah simpangan baku lokasi kaki. Rataan dan varians dari lokasi kaki diberikan sebagai berikut: ¯ X toe = X toe + 1 2 h ∂ 2 X toe ∂ q 2 σ 2 q + ∂ 2 X toe ∂ Q 2 i σ 2 Q i + 2 ∂ 2 X toe ∂ q ∂ Q σ qQ σ 2 X toe = h ∂ X toe ∂ q i 2 σ 2 q + h ∂ X toe ∂ Q i i 2 σ 2 Q + 2 ∂ Xtoe ∂ q ∂ X toe ∂ Q σ qQ Kovarian σ qQ dapat diatur nol didasarkan pertimbangan fisik, dan akibatnya dapat disederhanakan. Selanjutnya dalam persamaan terdahulu X toe diselesaikan dengan pompa tarik air 38 sumur: Φ toe = q K x toe + n ∑ j =1 Q w 4 π K ln x toe − x w j 2 + y toe − y w j 2 x toe + x w j 2 + y toe − y w j 2 Turunan-turunan pertama dapat diperoleh dari ∂ x k toe ∂ q = −x k toe k q k + 1 2 Π k n ∑ j =1 Q j x 2 toe −x w j x toe +x w j 2 + y toe −y w j 2 − x k toe +x w j ∗ x toe −x w j 2 + y toe −y w j 2 x toe +x w j 2 + y toe −y w j 2 ∗ x toe −x w j 2 + y toe −y w j 2 ∂ x k toe ∂ Q i = − 1 4 Π k + ln x toe −x w j 2 + y toe −y w j 2 x toe +x w j 2 + y toe −y w j 2 q k + n ∑ j =1 Q j 2 Π k x 2 toe −x w j x toe +x w j 2 + y toe −y w j 2 − x k toe +x w j ∗ x toe −x w j 2 + y toe −y w j 2 x toe +x w j 2 + y toe −y w j 2 ∗ x toe −x w j 2 + y toe −y w j 2 3. 3. Event-Driven Probabilistic Constrained Programming EDP-CP Tarim, dkk. 2009 mengajukan pemecahan event-driven probabilistic con- straint programming EDP-CP dengan kerangka model yang lebih realistik. Mereka menggambarkan teknik untuk persoalan model keputusan dibawah ketidakpastian se- bagai berikut. Pandang S,C,D berturut menyatakan Supplier Pemasok, CustomerKonsumen atau pelanggan dan Demand Permintaan. Beberapa model yang diutarakan seba- gai berikut: 1. Model Naive Ditentukan variabel keputusan x s ,c dengan s , c ∈ {1,2,3,...,n} melambangkan ren- cana pasokan dari pemasok s ke pelanggan c, ξ adalah peubah acak menyatakan ketersedian tak pasti untuk pemasok i, sedangkan konstanta ζ c melambangkan per- mintaan deterministik pelanggan c maka kendala yang dipenuhi: 39 Gambar 3.1: Teknik untuk persoalan model keputusan di bawah ketidakpastian Tarim, dkk. 2009 ∑ c ∈S c = ζ c dan kendala probabilistik antara keputusan dan peubah acak ∑ c ∈C c ≤ ξ c Kendala probabilistik adalah lunak soft sehingga dapat diabaikan dalam beberapa permasalan, karena itu tidak ditambahkan dalam model tetapi digunakan menentukan fungsi tujuan: maks ∑ s E n ∑ c ∈C c x s ,c ≤ ξ c o dimana E {C} adalah operator ekspektasi melambangkan jumlah peluang skenario yang memenuhi kendala.