2.5. Teorema OPTIMISASI LINEAR CHANCE CONSTRAINED
68 H
1
akan layak hanya jika peubah acak ˜b bernilai kemungkinan paling tinggi: yang terjadi dengan peluang p
1
. Jika 0 α
≤ p
1
himpunan layak terbesar kompatibel de- ngan peluang bersyarat yang menetapkan metode chance constraint adalah H
1
, karena P
a
T
x
≤ ˜b = p
1
≥ α
0, pada waktu bernilai b
1
. Jika α
p
1
, maka H
1
tidak men- jamin kelayakan dengan peluang lebih atau sama dengan
α . Himpunan H
2
akan layak jika peubah acak ˜b mengambil nilai b
2
, tetapi juga jika mengambil nilai b
1
, karena H
2
⊂ H
1
, maka himpunan H
2
menjadi layak dengan peluang sama dengan p
1
+ p
2
. Karena itu, jika p
1
α ≤ p
1
+ p
2
. himpunan kompatibel paling layak dengan peluang yang ditentukan adalah H
2
sebab P a
T
x = p
1
+ p
2
≥ α
pada saat nilai ˜b adalah b
1
atau b
2
. Jika α
p
1
+ p
2
maka H
2
tidak layak dengan peluang lebih dari atau sama dengan α
Secara umum, untuk s ∈ {1,2,...,S},H
s
akan layak jika peubah acak ˜b berni- lai b
s
, tetapi juga jika mengambil manapun dari nilai-nilai b
s −1
, b
s −2
, . . . , b
1
, sebab H
s
⊂ H
s −1
⊂ H
s −2
⊂ ... ⊂ H
1
, dan karena itu H
s
akan menjadi layak dengan peluang p
1
+ p
2
+ . . . + p
s
. Maka: jika
s −1
∑
i =1
p
i
α ≤
s −1
∑
i =1
p
i
+ p
s
, himpunan paling besar layak kompatibel dengan peluang kendala yang diberikan adalah H
s
, sebab: P a
T
x
≤ ˜b =
s
∑
i =1
p
i
≥ α
0, apabila peubah acak ˜b bernilai b
1
, b
2
, . . . , atau b
s
. Jika α
s
∑
i =1
p
i
+ p
s
, maka H
s
tidak menjamin kelayakan dengan peluang lebih dari atau sama dengan α
. Akhirnya, himpunan H
s
akan menjadi pasti layak, apapun nilai peubah acak ˜b yang di- ambil, karena H
S
⊂ H
s
, ∀s ∈ {1,2,...,S},H
S
menjadi himpunan paling layak kompat- ibel dengan peluang bersyarat yang diberikan. Apabila
s −1
∑
i =1
p
i
α ≤ 1, yaitu, apabila
α sedemikian hingga H
s −1
akan menjadi tidak layak dengan peluang lebih atau sama dengan
α .
Karena α
∈ 0,1] himpunan layak C α
ditegaskan dalam teorema 2, dan dapat didefinisikan
69 G :
0, 1] → ℜ
α → G
α = maks{g
x : x ∈ C
α }
Himpunan C α
tertutup dan dibatasi, jika g kontinu, dapat dipastikan bahwa masalah
maksimasi mempunyai solusi optimal, dan fungsi G disebutkan terdefinisi dengan baik well defined
Teorema 3
Untuk α
1
, α
2
∈ 0,1], jika α
1
α
2
⇒ G α
1
≥ G α
2
karena itu monoton dan menurun
Bukti : Dua kemungkinan situasi:
• α
1
, α
2
berada pada interval yang sama s seperti yang ditemukan pada Teorema 2. Dalam hal tersebut C
α
1
= C α
2
sehingga G α
1
= maks{g x : x ∈ C
α
1
} = maks
{g x : x ∈ C
α
2
} = G α
2
• α
1
, α
2
berada pada sub interval berbeda. Misalkan α
1
berada dalam sub-interval s, dan
α
2
. berada pada sub-interval t, dengan s t diketahui H
t
⊂ H
s
dan dengan Teorema 1:
G α
1
= maks{g x : x ∈ C
α
1
= H
s
} G
α
2
= maks{g x : x ∈ C
α
2
= H
t
}
tetapi untuk setiap x
∈ H
1
sehingga x
∈ H
1
⇒ G α
1
≥ G α
2
Definisi 2:
maks
x
g x
kendala: ˜a
T
x ≤ b
x ≥ 0
70
dimana ˜a
T
= ˜a
1
, a
2
, . . . , a
n
. Dengan memandang ˜a
1
sebagai peubah acak dan dengan mengambil nilai a
1r
1
maka himpunan layak adalah H
r
1
: a
1r
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b
, x ≥ 0 jika peluang PH
r
1
= p
r
1
. Dalam bentuk matrix H
r
1
= H =
x
∈ ℜ
n
: ˜a
T
x
≤ b
, x ≥ 0
. Selanjutnya dapat diturunkan teorema berikut Tena dan Lorente, 2004
Teorema 4
Jika r
′
1
, r
” 1
∈ {1,2,...,R
1
}, dengan r
′
1
r
” 1
maka H
r
” 1
⊂ H
r
′ 1
Bukti : Dengan definisi diperoleh,
H
r
′ 1
=
x
∈ ℜ
n
: a
1r
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≥ b, x ≥ 0
H
r
” 1
= x
∈ ℜ
n
: a
1r
” 1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≥ b, x ≥ 0
Karena dengan ketentuan anggapan a
j
0, ∀ j ∈ 2,...,n, b 0, dan diketahui bahwa a
11
a
12
. . . a
1r
1
. . . a
1R
1
maka a
1r
′ 1
a
1r
” 1
, disebabkan r
′
1
r
” 1
.
Misalkan ambil x
∈ H
r
′ 1
⇒ x ≥ 0, a
r
′ 1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b. Sebagaimana a
1r
′ 1
≤ a
1r
” 1
dan x
1
≥ 0 diperoleh a
1r
′ 1
x
1
a
1r
” 1
x
1
. Lebih lanjut a
1r
′ 1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
a
1r
” 1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
⇒ x ≥ 0 se-
dangkan a
r
′ 1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b ⇒ x ∈ H
r
′ 1
, karena itu H
r
” 1
⊂ H
r
′ 1
atau H
R
1
⊂ H
R
1
−1
⊂ ... ⊂ H
2
⊂ H
1
Dalam persoalan program stokastik maks
x
g x
kendala ˜ a
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b
x ≥ 0
dipandang sebagai deterministik yang ekivalen dengan menggunakan metode chance −
constrained yang tergantung pada parameter α
∈ 0,1]:
71 maks
x
g
x
kendala P [ ˜a
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
] ≤ b
x ≥ 0
Karena itu untuk setiap α
dapat diperoleh himpunan deterministik layak terbe- sar.
Teorema 5
Untuk α
yang terkandung pada sub-interval r
1
dari 0,1] ditentukan 0 α
≤ p
1
, untuk r
1
= 1 dan
r
1
−1
∑
i =1
p
i
α ≤
r
1
−1
∑
i =1
p
i
+ p
r
1
untuk r
1
= 2, 3, . . . , R
1
, himpunan deterministik ekivalen C
α , sebagai fungsi parameter
α , adalah himpunan H
r
1
Bukti : Berdasar Teorema 4, H
r
” 1
⊂ H
r
′ 1
atau H
1
⊃ H
2
⊃ ... ⊃ H
r
1
⊃ ... ⊃ H
R
1
. Him- punan H
1
akan layak hanya apabila realisasi peubah acak a
11
terjadi dengan peluang p
1
. Jika 0
α ≤ p
1
, himpunan paling layak yang memenuhi peluang bersyarat yang dinyatakan metode chance constrain adalah H
1
, karena Pa
11
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b
= p
1
≥ α
0, pada waktu peubah acak ˜a
1
adalah a
11
. Jika α
p
1
, maka P H
1
= p
1
α , dan karena itu H
1
bukan himpunan layak Himpunan H
2
akan menjadi layak jika peubah acak ˜ a
1
mengambil nilai a
12
, tetapi juga jika mengambil nilai a
11
, sebab H
2
⊂ H
1
. Karena itu H
2
akan layak dengan peluang p
1
+ p
2
. Maka, jika p
1
α ≤ p
1
+ p
2
, himpunan paling layak kom- patibel dengan peluang bersyarat dari metode chance constraint adalah H
2
, sebab P
a
12
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b = p
1
+ p
2
≥ α
, ketika realisasi dari peubah acak ˜
a
1
adalah a
11
atau a
12
. Jika α
p
1
+ p
2
, maka H
2
tidak menjamin kelayakan dengan peluang lebih atau sama dengan
α
72 Secara umum, untuk r
1
∈ {1,2,...,R
1
},H
r
1
akan menjadi layak jika peubah acak ˜
a
1
bernilai a
1r
1
, tetapi juga jika mengambil nilai yang mana saja dari a
1 r
1
−1
, a
1 r
1
−2
, . . . a
11
, sebab H
r
1
⊂ H
r
1
−1
⊂ H
r
1
−2
⊂ ... ⊂ H
1
. Karena itu H
r
1
menjadi layak dengan peluang sama dengan p
1
+ p
2
+ . . . + p
r
1
. Jika
r
1
−1
∑
i =1
p
i
α ≤
r
1
−1
∑
i =1
p
i
+ p
r
1
, r
1
∈ {2,3,...,R
1
}, himpunan paling layak dengan peluang bersyarat kompatibel adalah H
r
1
, sebab P a
1r
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b =
r
1
∑
i =1
p
i
≥ α
ketika realisasi dari peubah acak ˜ a
1
adalah a
11
atau a
12
atau . . . atau, a
1r
1
. Jika
α ≥
r
1
∑
i =1
, maka H
r
1
tidak menjamin kelayakan dengan peluang lebih atau sama dengan
α .
Akhirnya, himpunan H
R
1
akan menjadi layak dengan pasti, apapun nilai peubah acak ˜
a
1
diambil, karena H
R
1
⊂ H
r
1
, ∀r
1
∈ {1,2,...,R
1
menjadi himpunan kelayakan terbesar selaras dengan peluang bersyarat yang diberikan, apabila
R
1
−1
∑
i =1
α ≤ 1,
yaitu jika α
sedemikian hingga H
R
1
−1
tidak layak dengan peluang lebih dari atau sama dengan
α Misalkan ditentukan fungsi
G : 0, 1] → R
α → G
α = maks
g x
: x
∈ C α
Seperti untuk setiap α
∈ 0,1] himpunan C α
tertutup dan dibatasi, jika fungsi g kontinu, masalah maksimasi yang muncul dalam definisi fungsi G memiliki suatu
solusi optimal dan karena itu fungsi G didefinisi dengan baik.
Teorema 6
Untuk α
1
, α
2
∈ 0,1]4, jika α
1
α
2
⇒ G α
1
≥ G α
2
73
Bukti : Ada dua kemungkinan situasi
a. α
1
, α
2
dalam interval yang sama r
1
, seperti pada Teorema 5. Dalam hal ini C
α
1
= C α
2
sehingga G
α
1
= maks {g x : x ∈ C
α
1
} = maks{g x : x ∈ C
α
2
} = G α
2
b. α
1
, α
2
berada dalam sub interval yang berbeda. Misalkan α
1
berada dalam sub interval r
′
1
dan α
1
berada dalam sub interval r
” 1
seperti α
1
α
2
demikian r
′
1
⊂ r
” 2
Dengan Teorema 5 G
α
1
= maks{g x : x ∈ C
α
1
= H
r
′ 1
}, G
α
2
= maks g x : x ∈ C
α
2
= H
r
” 1
}
dan kemudian untuk setiap x
∈ H
r
′ 1
yaitu x
∈ H
r
′ 1
⇒ G α
1
≥ G α
2