89 program integer dapat dinyatakan sebagai berikut Lasserre, 2009:
maks
x
{c
T
x |Ax = y, x ≥ 0, x ∈ Z
n
}
atau sama saja dengan penulisan maks
x
c
T
x kendala
Ax = y
x ≥ 0
x ∈ Z
n
dimana Z adalah himpunan bilangan cacah, A adalah matriks dalam ℜ
m x n
dengan bentuk dualitasnya sebagai berikut:
min
f
{ f y| f A
j
≥ c
j
, j = 1, 2, . . . , n, f ∈ Γ
}
dengan Γ
adalah himpunan fungsi f : Z
m
→ ℜ
adalah superadditive yaitu f x + y ≥
f x + f y untuk semua x, y ∈ Z
m
, dan f 0 = 0.
4. 2.11. Aplikasi
Tulisan ini memuat suatu contoh penggunaan sederhana sebagai berikut. Seorang pengusaha sepatu harus memutuskan berapa pasang sepatu perempuan anak-anak x
1
, sepatu perempuan dewasa x
2
, sepatu anak-anak laki-laki x
3
dan sepatu laki-laki dewasa x
4
diproduksi agar mendapatkan keuntungan maksimal. Bahan yang diper- hatikan adalah kulit asli, tenaga kerja, paku, karet dan lem dengan kuantitas berturut-
turut ˜b
1
dalam meter, ˜b
2
dalam jam, 2300 ons, ˜b
3
kg, dan 600 ons. Keuntungan dan kendala produksi ditentukan sebagai berikut:
90 maks 35x
1
+ 55x
2
+ 100x
3
+ 81x
4
kendala 6x
1
+ 25x
2
+ 20x
3
+ 25x
4
≤ ˜b
1
10x
1
+ 15x
2
+ 27x
3
+ 22x
4
≤ ˜b
2
4x
1
+ 10x
2
+ 14x
3
+ 15x
4
≤ 2300 5x
1
+ 25x
3
≤ ˜b
3
25x
4
≤ 600 x
i
≥ 0, i = 1,2,3,4 dimana nilai peubah acak ˜b
1
, ˜b
2
, dan ˜b
3
dapat diperoleh dengan peluang sebagai berikut:
˜b
1
meter 30100
25000 22500
21000 p
1 j 1
3 1
2 1
8 1
24
˜b
2
dalam jam 4600
4400 4100
3600 p
2 j 3
24 5
24 7
12 1
12
˜b
3
kg 2600
2450 2010
1900 p
3 j 1
2 1
3 1
8 1
24
Misalkan solusi optimal dari persoalan stokastik harus diperoleh menurut metode chance constrained bersama untuk
α = 0,8 maka dengan menggunakan Teorema 7
akan lebih dahulu ditentukan α
1
, α
2
, α
3
, ∈ 0,1] sedemikian sehingga α
1
+ α
2
+ α
3
, = 3
+ 0, 8 − 1 = 2,8. Antara lain α
1
= 0, 95, α
2
= 0, 90, α
3
= 0, 95, adalah nilai yang mungkin untuk
α
1
, α
2
, α
3
. Selanjutnya untuk masing-masing
α
i
digunakan Teorema 2 sedemikian sehingga 1 Untuk
α
1
= 0, 95 dalam hal mana
1 3
+
1 2
=
5 6
= 0, 833 α
1
≤
5 6
+
1 8
=
23 24
maka kendala yang sesuai adalah
91 P
6x
1
+ 25x
2
+ 20x
3
+ 25x
4
≤ ˜b
1
≥ α
1
= 0, 95, x
i
≥ 0,i = 1,2,3,4 dipenuhi oleh: H
13
: 6x
1
+ 25x
2
+ 20x
3
+ 25x
4
≤ 22500, x
i
≥ 0,i = 1,2,3,4 2 Untuk
α
2
= 0, 90 dalam hal mana
3 24
+
5 24
=
8 24
= 0, 33 α
2
≤
8 24
+
7 12
=
22 24
maka kendala yang sesuai adalah
P 10x
1
+ 15x
2
+ 27x
3
+ 22x
4
≤ ˜b
2
≥ α
2
= 0, 90, x
i
≥ 0,i = 1,2,3,4 dipenuhi oleh: H
23
: 10x
1
+ 15x
2
+ 27x
3
+ 22x
4
≤ 4100, x
i
≥ 0,i = 1,2,3,4 3 Untuk
α
3
= 0, 95 dalam hal mana
1 2
+
1 3
=
5 6
= 0, 833 α
3
≤
5 6
+
1 8
=
23 24
maka kendala yang sesuai adalah
P 5x
1
+ 25x
3
≤ ˜b
3
≥ α
3
= 0, 95, x
i
≥ 0,i = 1,2,3,4 dipenuhi oleh: H
33
: 5x
1
+ 25x
3
≤ 2010, x
i
≥ 0,i = 1,2,3,4 Karena itu untuk
α = 0.8 diperoleh bentuk deterministik yang setara dengan chance
constrained dan nilai optimal seperti dalam tabel berikut:
α α
1
α
2
α
3
C α
Program g
∗
x
∗ 1
x
∗ 2
x
∗ 3
x
∗ 4
maks 35x
1
+55x
2
+100 x
3
+81x
4
kendala 6x
1
+25x
2
+20x
3
+25x
4
≤ 22500 10x
1
+15x
2
+27x
3
+22x
4
≤ 4100
0,80 0,95
0,90 0,95
H
13
∩ H
23
∩ H
33
4x
1
+10x
2
+14x
3
+15x
4
≤ 2300
15002 64,14
73,74 67,57
24
5x
1
+ 25x
3
≤ 2010 25x
4
≤ 600 x
i
≥ 0, i=1,2,3,4
92 Tetapi dengan memandang banyak pasangan sepatu tidak mungkin dalam peca-
han maka x
1
, x
2
, x
3
, dan x
4
adalah bilangan cacah integer maka jawaban seharusnya adalah sebagai berikut:
α α
1
α
2
α
3
C α
Program g
∗
x
∗ 1
x
∗ 2
x
∗ 3
x
∗ 4
maks 35x
1
+55x
2
+100 x
3
+81x
4
kendala 6x
1
+25x
2
+20x
3
+25x
4
≤ 22500 10x
1
+15x
2
+27x
3
+22x
4
≤ 4100
0,80 0,95
0,90 0,95
H
13
∩ H
23
∩ H
33
4x
1
+10x
2
+14x
3
+15x
4
≤ 2300
15002 62
92 68
12
5x
1
+ 25x
3
≤ 2010 25x
4
≤ 600 x
i
≥ 0, i=1,2,3,4
Walaupun tampaknya nilai optimalnya sama, tetapi jumlah pasangan sepatu yang akan diprodukai atas kendala-kendala tersebut berbeda dan jawaban setepatnya adalah yang
disajikan dengan integer.
4. 3. Aproksimasi Rataan Sampel
Dalam bagian ini dikemukakan tentang Aproksimasi Rataan Sampel Sample Aver- age Approximation SAA sebagai suatu metode untuk menyelesaikan persoalan opti-
misasi. Pandang persoalan optimisasi dalam bentuk min
x ∈D
f x
4.43
dengan D ⊆ R
d
d ∞
dan fungsi bernilai riel f . tidak dapat ditentukan secara eksak
tetapi dapat diestimasi melalui simulasi. Prinsip dari SAA memberikan kemampuan
93 untuk menyelesaikan persoalan optimisasi demikian melalui pemakaian metode sam-
pling dan optimisasi untuk persoalan deterministik. Dalam pembicaraan ini diandaikan bahwa fungsi f tidak dapat diamati atau di-
hitung secara langsung, tetapi diketahui bahwa f x = E f x,
ξ dimana
ξ elemen
acak dengan distribusi tidak tergantung pada x dan f ., . merupakan fungsi bernilai
riel deterministik. Secara implisit hal ini berarti bahwa untuk setiap ∈ D tertentu,
E [ f x,
ξ ]
∞ .
Dalam SAA dipilih dan ditetapkan ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
semuanya berdistribusi sama seperti
ξ , dan dinyatakan
f
n
x = 1
n
n
∑
i =1
f x,
ξ
i
Diberikan sampel ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
fungsi f
n
. deterministik sehingga dapat dipergu- nakan algoritma optimisasi deterministik untuk menyelesaikan persoalan
min
x ∈D
f
n
x 4.44
Ambil suatu optimisasi, misalnya X
∗ n
dari 4.44 sebagai estimator penyelesaian
optimal dari 4.43. Diandaikan bahwa ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
, membentuk sampel berdis- tribusi identik dan bebas.
Sebagai contoh, pandang persoalan penjual surat kabar newsvendor. Sebanyak x unit surat kabar dibeli dengan biaya c
0 per unit, obsevasi permintaan ξ
, jual se- banyak yang dimungkinkan pada hanya s
c. Tujuannya adalah memilih x sehingga memaksimumkan keuntungan.
Keuntungan untuk realisasi yang diberikan ξ
adalah f
x, ξ
= s min x, ξ
− cx. Fungsi konkaf dalam x memiliki kemiringan s − c 0 untuk x cukup kecil dan kemiringan
−c 0 untuk x cukup besar. Akibatnya sama untuk pendekatan f
n
. yang dapat mencapai maksimumnya. Jelasnya, suatu optimasi
