67
4. 2.5. Teorema
Dari kedua generalisasi tersebut di atas dapat dituliskan definisi yang dimanfaatkan untuk menurunkan teorema seperti uraian di bawah ini.
Definisi 1 : Misalkan dalam P
˜b = b
s
= p
s
, untuk s = 1, 2, . . . , S dan
S
∑
s =1
p
s
= 1, anggap a
j
≥ 0,∀ j ∈ {1,2,...,n} dan b
1
b
2
. . . b
s
0, maka H
s
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ . . . + a
n
x
n
≤ b
s
dan x ≥ 0 atau
H
s
= {x ∈
ℜ
n
: a
T
x
≤ b
s
, x ≥ 0}
Dengan dasar Definisi 1 dapat diturunkan teorema Tena dan Lorente, 2004
Teorema 1
Jika s ,t ∈ {1,2,...,S} dan s t, maka H
t
⊂ H
s
Bukti : Menurut definisi
H
t
= {x ∈
ℜ
n
: a
T
x
≤ b
t
, x ≥ 0}
H
s
= {x ∈
ℜ
n
: a
T
x
≤ b
s
, x ≥ 0}
dan karena s t maka b
s
b
t
.
Jika x
∈ H
t
⇒ x ≥ 0 dan a
T
x
≤ b
t
b
s
⇒ x ≥ 0 dan a
T
x
≤ b
s
⇒ x ∈ H
s
yang berarti H
t
⊂ H
s
dengan cara yang sama ∀ j, H
j
⊃ H
j +1
atau H
1
⊃ H
2
⊃ H
3
⊃ ... ⊃ H
s
Teorema 2
Untuk α
yang bersangkutan kepada sub-interval s dari interval 0,1] diperoleh α
≤ p
1
, untuk s = 1, dan
s −1
∑
i =1
p
i
α ≤
s −1
∑
i =1
p
i
+ p
s
, untuk s = 2, 3, . . . , S, him-
punan deterministik ekivalen C α
sebagai fungsi parameter α
adalah himpunan H
s
Bukti
: Dengan Teorema 1 diketahui H
1
⊃ H
2
⊃ H
3
⊃ ... ⊃ H
s
, karena itu himpunan
68 H
1
akan layak hanya jika peubah acak ˜b bernilai kemungkinan paling tinggi: yang terjadi dengan peluang p
1
. Jika 0 α
≤ p
1
himpunan layak terbesar kompatibel de- ngan peluang bersyarat yang menetapkan metode chance constraint adalah H
1
, karena P
a
T
x
≤ ˜b = p
1
≥ α
0, pada waktu bernilai b
1
. Jika α
p
1
, maka H
1
tidak men- jamin kelayakan dengan peluang lebih atau sama dengan
α . Himpunan H
2
akan layak jika peubah acak ˜b mengambil nilai b
2
, tetapi juga jika mengambil nilai b
1
, karena H
2
⊂ H
1
, maka himpunan H
2
menjadi layak dengan peluang sama dengan p
1
+ p
2
. Karena itu, jika p
1
α ≤ p
1
+ p
2
. himpunan kompatibel paling layak dengan peluang yang ditentukan adalah H
2
sebab P a
T
x = p
1
+ p
2
≥ α
pada saat nilai ˜b adalah b
1
atau b
2
. Jika α
p
1
+ p
2
maka H
2
tidak layak dengan peluang lebih dari atau sama dengan α
Secara umum, untuk s ∈ {1,2,...,S},H
s
akan layak jika peubah acak ˜b berni- lai b
s
, tetapi juga jika mengambil manapun dari nilai-nilai b
s −1
, b
s −2
, . . . , b
1
, sebab H
s
⊂ H
s −1
⊂ H
s −2
⊂ ... ⊂ H
1
, dan karena itu H
s
akan menjadi layak dengan peluang p
1
+ p
2
+ . . . + p
s
. Maka: jika
s −1
∑
i =1
p
i
α ≤
s −1
∑
i =1
p
i
+ p
s
, himpunan paling besar layak kompatibel dengan peluang kendala yang diberikan adalah H
s
, sebab: P a
T
x
≤ ˜b =
s
∑
i =1
p
i
≥ α
0, apabila peubah acak ˜b bernilai b
1
, b
2
, . . . , atau b
s
. Jika α
s
∑
i =1
p
i
+ p
s
, maka H
s
tidak menjamin kelayakan dengan peluang lebih dari atau sama dengan α
. Akhirnya, himpunan H
s
akan menjadi pasti layak, apapun nilai peubah acak ˜b yang di- ambil, karena H
S
⊂ H
s
, ∀s ∈ {1,2,...,S},H
S
menjadi himpunan paling layak kompat- ibel dengan peluang bersyarat yang diberikan. Apabila
s −1
∑
i =1
p
i
α ≤ 1, yaitu, apabila
α sedemikian hingga H
s −1
akan menjadi tidak layak dengan peluang lebih atau sama dengan
α .
Karena α
∈ 0,1] himpunan layak C α
ditegaskan dalam teorema 2, dan dapat didefinisikan
Kategori