2.9. Contoh Model Stokastik Pada Vehicle Routing Problem VRP

85 P { τ |T i ,k + τ i , j,k − T j ,k M} ≥ 1 − α T ∀i, j ∈ C k ∈ K 4.37 n ζ | ∑ k ∈K h ∑ j ∈C Y j ,i,k − ∑ j ∈C Y i , j,k i +U i − ζ i ≥ 0 o ≥ 1 − α i ∀i ∈ D 4.38 Dalam hal ini diperoleh model CCP yang dimodifikasi berdasarkan model program deterministik deterministic programming DP dengan menggantikan kendala 4.11 dan 4.18 dengan 4.37 dan 4.38. Dalam beberapa asumsi sebarannya kendala 4.37 dan 4.38 dapat ditransformasikan ke dalam bentuk deterministik. Misalnya dianggap τ dan ζ mengikuti sebaran bertururt-turut lognormal dengan rataan µ τ dan simpangan baku σ τ dan rataan µ ζ dan simpangan baku σ ζ . Logaritma log τ , log ζ menye- bar normal seperti normal µ ′ τ , σ ′ τ dan normalµ ′ ζ , σ ′ ζ . Hubungan antara parameter sebaran lognormal dan sebaran normal dinyatakan sebagai µ ′ = log µ − 1 2 σ ′ 2 , σ ′ 2 = log µ 2 + σ 2 µ 2 , dan κ τ dan κ D menyatakan nilai Z untuk sebaran normal dengan taraf keyak- inan α τ dan α D yang disebut faktor kenyamanan safety factors. Karena itu padanan deterministik kendala 4.37 dan 4.38 dapat dinyatakan dengan 4.39 dan 4.40 berikut: T i ,k + e µ ′ τ i , j,k + κ T σ ′ τ i . j.k − T j ,k ≤ 1 − X i , j,k M ∀i, j ∈ C k ∈ K 4.39 ∑ k ∈K ∑ j ∈C Y j ,i,k − ∑ j ∈C Y i , j,k +U i ≥ e µ ′ ζ i + κ D σ ′ ζ i ∀i ∈ D 4.40 Sehubungan dengan CCP 4.25 maka persoalan pada contoh VRP dapat ditulis min x ∈X f X, dengan kendala P{Gx, ξ ≤ 0} ≥ 1 − ε . 4.41 Formulasi 4.41 mencari vektor keputusan x dari himpunan layak X yang memini- malkan fx dan memenuhi chance constrained G x, ξ ≤ 0 dengan peluang paling kecil 1 − ε , dianggap sebaran peluang diketahui. Dengan ilustrasi pada contoh ini, dibu- 86 tuhkan untuk memutuskan kapasitas dari n fasilitas layanan ketidakpastian permintaan pelanggan. Biaya per unit kapasitas menempatkan setiap fasilitas yag diberikan, se- bagai sebaran gabungan permintaan dengan peluang 1 − ε . Tujuannya adalah menen- tukan konfigurasi kapasitas termurah sehingga menjamin kapasitas terpasang melebihi permintaan dengan peluang 1 − ε . CCP ini dirumuskan min x ≤0 n ∑ i =1 c i x i kendala P { ξ i − x i ≤ 0,i = 1,...,n} ≥ 1 − ε 4.42 . disini x i , c i dan ξ i berturut-turut menyatakan kapasitas, biaya, dan permintaan acak untuk fasilitas i. Dengan anggapan sebaran peluang bersama dari vektor acak ξ = ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n diketahui dalam kata lain peluang kendala dalam 4.42 tidak diten- tukan. Peluang kendala dari 4 .42 dapat menjadi lebih lemah dibandingkan dengan mencoba memenuhi permintaan semua kemungkinan ξ . Persamaan 4.42 adalah suatu contoh dari 4 .25 dengan Gx, ξ = ξ − x Dalam contoh tersebut diperlukan persyaratan reliabilitas untuk semua fasilitas bersama. Chance Constrained individu untuk i − 1,2,...,n dapat digunakan untuk setiap fasilitas secara terpisah. Hal ini dapat menyederhanakan masalah karena eki- valen dengan F −1 i x i ≥ 1 − ε i dimana F i adalah fungsi sebaran kumulatif dari ξ i . Suatu catatan, bagaimanapun untuk meyakinkan kendala bersama dengan CC individu, parameter risiko ξ i harus jauh lebih kecil terutama untuk n yang besar. Perlu diperhi- tungkan pendekatan CCP 4.25 dimana sebaran yang benar dari ξ diganti dengan suatu sebaran sampel empirik. Walaupun ada perkembangan secara teoritis dan praktis, persoalan CCP dalam ben- tuk 4.25 masih mempunyai pemecahan yang sulit kecuali untuk hal-hal khusus. Ada dua alasan kesulitan ini: 87 1. Secara umum, untuk x ∈ X perhitungan P{Gx, ξ } ≤ 0 secara akurat, misalnya pemeriksaan apakah x layak pada 4.25 sangat sulit. Dalam situasi multi dimensi hal ini melibatkan perhitungan integral multivariate yang tidak dapat dihitung dengan akurasi tinggi. 2. Daerah layak yang didefinisikan chance constrained umumnya tidak konveks walaupun jika G x, ξ konveks dalam x untuk setiap kemungkinan realisasi ξ . Ini menyatakan walau pemeriksaan daerah kelayakan mudah, masalah optimisasi tetap sulit. Misalnya pengukuran fasilitas dalam contoh VRP, dengan n fasilitas dan m realisasi yang dapat berkemungkinan sama dari vektor permintaan adalah ekivalen dengan persoalan cliqe maksimum pada graph dengan n node dalam m edge. Mengingat kesulitan tersebut pendekatan untuk program chance constrained stokastik dapat diklasifikasi sebagai berikut, yang pertama adalah pendekatan masalah di mana kedua kesulitan tersebut tidak ada, misalnya sebaran ξ sedemikian rupa se- hingga lebih mudah diperiksa kelayakan dan daerah layak adalah konveks. Suatu con- toh klassik ialah ketika G x, ξ = υ − ξ T x dan ξ menyebar normal multivariat dengan rataan µ dan matriks kovarians ∑ . Maka untuk ε ∈ 0,0.5, {x ∈ ℜ n : P { ξ T x ≥ ν } ≥ 1 − ε } = {x ∈ ℜ n : ν − µ T x + z s √ x T ∑ x ≤ 0}, dimana z ε = Φ − 1 1 − ε adalah 1 − ε quantil dari sebaran normal baku. Dalam hal ini dengan adanya syarat konveksitas X, persoalan CCP direduksi ke persoalan optimasi konveks deterministik. Kelas pendekatan kedua adalah untuk persoalan dengan ketidakberadaan kesuli- tan kedua, misalnya daerah layak chance constrained dijamin konveks. Contoh pa- ling baik dalam hal ini G x, ξ = ξ − Ax di mana A adalah matriks deterministik dan 88 ξ menyebar log-concave. Dalam hal ini chance constrained himpunan layak adalah konveks Pr´ekopa, 1970. Bagaimanapun masih bisa menyulitkan ketika menghi- tung P {Gx, ξ } ≤ 0 dengan pasti. Metode pemecahan dalam kelas ini adalah paling mendasar pada teknik klasik program non-linear adaptif dengan penaksir yang sesuai fungsi chance constrained dan gradien-nya Pr´ekopa, 1995. Kelas ketiga dari pen- dekatan adalah ketidakberadaan kesulitan pertama, yaitu perhitungan P {Gx, ξ } ≤ 0 adalah mudah, misalnya ketika ξ memiliki sebaran terbatas dengan sejumlah realisasi sederhana dalam hal ini daerah layak biasanya non-konveks. Sejumlah pendekatan berdasarkan program integer dan optimisasi global telah dikembangkan untuk kelas persoalan ini. Akhirnya belakangan ini sejumlah pendekatan telah diusulkan untuk menangani dengan baik kedua kesulitan. Tema umum dalam pendekatan ini adalah mengusulkan perkiraan konveks dari chance constrained non-konveks yang menghasilkan pemeca- han layak, atau setidaknya sangat mungkin layak untuk masalah asli. Dengan demikian kesulitan memeriksa kelayakan maupun non-konveks dihindari.

4. 2.10. Program Integer

Program integer yang dimaksudkan disini memandang bahwa peubah keputusan x adalah bilangan cacah. Dalam tulisan ini, tidak ada pemecahan langsung dari chance constrained ke integer, tetapi masih berpedoman pada pengubahan bentuk chance con- strained ke bentuk deterministik setara, dan kemudian menyelesaikan bentuk deter- ministik dengan berbagai metode yang telah ditemukan orang, antara lain: integer L- shaped method Birge dan Louveaux, 1997 Program ini diskrit dan analogi dengan program linier tersebut terdahulu. Persoalan program linier menjadi persoalan optimisasi dengan unsur bilangan cacah, sehingga 89 program integer dapat dinyatakan sebagai berikut Lasserre, 2009: maks x {c T x |Ax = y, x ≥ 0, x ∈ Z n } atau sama saja dengan penulisan maks x c T x kendala Ax = y x ≥ 0 x ∈ Z n dimana Z adalah himpunan bilangan cacah, A adalah matriks dalam ℜ m x n dengan bentuk dualitasnya sebagai berikut: min f { f y| f A j ≥ c j , j = 1, 2, . . . , n, f ∈ Γ } dengan Γ adalah himpunan fungsi f : Z m → ℜ adalah superadditive yaitu f x + y ≥ f x + f y untuk semua x, y ∈ Z m , dan f 0 = 0.

4. 2.11. Aplikasi

Tulisan ini memuat suatu contoh penggunaan sederhana sebagai berikut. Seorang pengusaha sepatu harus memutuskan berapa pasang sepatu perempuan anak-anak x 1 , sepatu perempuan dewasa x 2 , sepatu anak-anak laki-laki x 3 dan sepatu laki-laki dewasa x 4 diproduksi agar mendapatkan keuntungan maksimal. Bahan yang diper- hatikan adalah kulit asli, tenaga kerja, paku, karet dan lem dengan kuantitas berturut- turut ˜b 1 dalam meter, ˜b 2 dalam jam, 2300 ons, ˜b 3 kg, dan 600 ons. Keuntungan dan kendala produksi ditentukan sebagai berikut: