1.1. Contoh Model Deterministik Pada Vehicle Routing Problem VRP

54 Y i , j,k = jumlah komoditas melalui jalur i,j oleh pengangkutan k U i = jumlah permintaan komoditas yang tidak dapat dipenuhi pada node i T i ,k = waktu kunjungan pada node i oleh pengangkutan k d i ,k = keterlambatan pengangkutan k melayani node i. Tujuannya adalah meminimumkan permintaan yang tidak terpenuhi dan waktu kun- jungan, yang dinyatakan sebagai minimumkan ∑ i ∈D U i + κ∑ i ∈D,k∈K T i ,k Persoalan ini mengandung 17 kendala, yang terdiri dari kendala yang berkenaan de- ngan karakteristik arus kenderaan, jadwal kelayakan sehubungan pertimbangan waktu, keadaan layanan di node, keadaan konstruksi pada arus permintaan, dan sifat biner dan non-negatif dari peubah permintaan. Kendala mengenai karakteristik arus kenderaan yaitu kendala 4 .4-4.9 berikut ∑ i ∈D ∑ k ∈K X ,i,k ≤ n 4.4 ∑ i ∈D ∑ k ∈K X i ,0,k ≤ n 4.5 ∑ j ∈D X , j,k ∑ k ∈K X j ,0,k = 1 ∀k ∈ K 4.6 ∑ j ∈C ∑ k ∈K X i , j,k = 1 ∀i ∈ D 4.7 ∑ j ∈C ∑ k ∈K X j ,i,k = 1 ∀i ∈ D 4.8 ∑ j ∈C X i , j,k = ∑ j ∈C X j ,i,k ∀i ∈ D k ∈ K 4.9 Kendala 4 .4 dan 4.5 menetapkan bahwa jumlah kendaraan pengangkutan untuk layanan yang tidak boleh melebihi kuantitas yang tersedia diperencanaan awal. Jumlah 55 kendaraan ke pelanggan dinyatakan dengan jumlah total kendaraan yang mengalir dari dan kembali ke stasiun. Kendala 4 .6 mewakili setiap aliran kendaraan dari dan kem- bali ke stasiun hanya sekali. Kendala 4 .7 dan 4.8 menyatakan bahwa setiap node permintaan harus dikunjungi hanya sekali. Kendala 4 .4 mensyaratkan bahwa semua kendaraan yang mengalir ke titik permintaan harus mengalir keluar dari itu. Kendala 4 .10 - 4.13 berikut menjamin jadwal kelayakan sehubungan dengan pertimbangan waktu. T ,k = 0 ∀k ∈ K 4.10 T i ,k + τ i , j,k − T j ,k ≤ 1 − X i , j,k ∀i, j ∈ C k ∈ K 4.11 ≤ T i ,k − δ i ,k ≤ ∑ j ∈C X i , j,k ∀i ∈ D k ∈ K 4.12 ≤ T i ,k − δ i ,k ≤ dl i ∑ j ∈C X i , j,k ∀i ∈ D k ∈ K 4.13 Fakta bahwa semua kendaraan meninggalkan stasiun pada waktu 0 ditentukan oleh kendala 4 .10. Kendala 4.11 memberlakukan kontinuitas waktu berdasarkan urutan mengunjungi node rute. Kendala 4 .12 menetapkan waktu kunjungan menjadi nol bila kendaraan tidak melalui node. Peubah k merupakan penundaan dari waktu kunjungan jika kendaraan mencapai node setelah tenggang waktu dan diatur ke nol jika tiba se- belum tenggat waktu kendala 4 .13. Selanjutnya kendala 4 .14-4.16 merupakan kendala keadaan layanan di node, yaitu δ i ,k ≤ 1 − S i ,k M ∀i ∈ D k ∈ K 4.14 S i ,k ≤ ∑ j ∈C X i , j,k ∀i ∈ D k ∈ K 4.15 56 S i ,k M ≥ ∑ j ∈C Y j ,i,k − ∑ j ∈C Y j ,i,k ∀i ∈ D k ∈ K 4.16 Kendala 4 .14 menyatakan kendala batas waktu dan hanya dapat dilanggar ketika S i ,k sama dengan nol. Kendala 4 .15 menggambarkan hubungan antara peubah-peubah aliran biner dan variabel biner layanan. Ini berarti peubah layanan hanya dapat benar ketika kendaraan secara fisik melewati sebuah node. Kendala 4 .16 mensyaratkan bahwa tidak ada komoditas mengalir di node setelah batas waktu. Di sisi lain, tidak ada kekosongan di node komoditas wajib dikunjungi sebelum batas waktu karena mungkin tidak ada persediaan cukup untuk memenuhi permintaan. Ini menetapkan hubungan antara arus komoditas dan aliran kendaraan. Kendala 4 .17 - 4.19 keadaan konstruksi pada arus permintaan. S − ∑ k ∈K ∑ j ∈C Y ,i,k − ∑ j ∈C Y j ,0,k ≥ 0 4.17 ∑ k ∈K ∑ j ∈C Y j ,i,k − ∑ j ∈C Y i , j,k +U i − ζ i ≥ 0 ∀i ∈ D 4.18 X i , j,k C k ≥ Y i , j,k ∀i ∈ D k ∈ K 4.19 Kendala 4 .17 membutuhkan total pengiriman komoditi dari depot tidak melebihi pa- sokan saat ini tingkat persediaan. Kendala 4 .18 memberlakukan aliran kebutuhan bahan seimbang untuk node permintaan. Kendala 4 .19 memungkinkan aliran ko- moditas selama ada kapasitas kendaraan memadai. Hal ini juga menghubungkan arus komoditas dan aliran kendaraan. Kendala 4 .20 menyatakan sifat biner dan non-negatif dari peubah keputusan. X i , j,k , S i , j biner; Y i , j,k ≥ 0; U i ≥ 0; T i ,k ≥ 0; δ i ,k ≥ 0 4.20 57 Selanjutnya dapat ditelusuri bahwa VRPs telah banyak digunakan, misalnya su- atu perusahaan yang tidak memiliki pengangkutan terpaksa menyewa kenderaan dari pangkalan kenderaan stasiun, berangkat dari stasiun dan tidak kembali ke stasiun se- lama seluruh kegiatan diselesaikan. Dalam hal ini biasanya biaya proporsional terhadap jarak yang ditempuh, dan studi praktis atas tipe demikian dapat diperoleh dari Taran- tilis dkk 2004 dan 2005. Ada tipe lain, kenderaan berangkat dari stasiun menjemput pelanggan dan kembali ke stasiun untuk kegiatan lainnya, tipe seperti ini dapat juga da- pat menggunakan VRPs seperti apa dibahas dalam Schrage 1981. Ada kemungkinan menggunakan kedua tipe tersebut dan studi lebilanjut terhadap tipe demikian dapat di- pahami dalam Eglese dan Li 2005 dan 2006. Beberapa literatur lain yang membahas VRPs Beraldi Bruni dan Conforti 2004, Li, Golden Wasil 2006.

4. 2. Program Stokastik dan Chance Constrained Programming

CCP Program stokastik berkaitan dengan data atau parameter acak sehingga tidak terlepas dari probalistic programming atau chance programming. Program stokastik adalah suatu teknik optimisasi di mana kendala atau fungsi objectif masalah optimasi mengandung parameter stokastik. Dalam 4 .21 peluang untuk tiap unsur kendala ˜b. jika vektor ˜b berkomponen b 1 , b 2 , . . . , b m dan α berkomponen α 1 , α 2 , . . . , α m berarti bahwa setiap kendala ini dinyatakan dengan peluangnya. CCP adalah suatu alternatif kemungkinan untuk program stokastik dalam pengambilan keputusan berbasis risiko. Model CCP memaksimumkan fungsi tujuan dengan kendala yang harus dipertahankan pada tingkat peluang yang ditentukan. Model umum dapat dinyatakan dengan 58 maks x g x kendala P n ∑ j =1 a j x j ≤ eb ≥ α 4.21 x ≥ 0 atau maks f c, X kendala P AX ≤ b ≥ α X ≥ 0 dimana g x atau f c, X adalah fungsi tujuan, X adalah vektor peubah keputusan, A adalah matriks teknis koefisien, koefisien a j dipandang dalam dua hal deterministik atau peubah acak, b sebagai peubah acak diskrit atau deterministik. Sedangkan 0 ≤ α ≤ 1 adalah tingkat peluang yang ditentukan yang membatasi seluruh kendala linier. Namun bahasan ini dimulai dari bentuk sederhana dengan dua peubah dan selanjutnya akan digeneralisasi ke bentuk yang lebih luas.

4. 2.1. Sumber Stokastik dengan Dua Peubah Keputusan

Pembahasan dimulai dalam dua peubah acak diskrit x 1 dan x 2 , fungsi tujuan deter- ministik dan kendala linier dalam bentuk maks x g x 1 , x 2 kendala a 1 x 1 + a 2 x 2 ≤ eb x 1 , x 2 ≥ 0 yang mudah dipahami karena dapat diilustrasikan secara grafik.