4. Model Chance Constrained Programming untuk Resiko Berbasis Ekonomi
42 dimana fc,X adalah fungsi tujuan, X adalah vektor peubah, A adalah matrik koefisien,
b dan c adalah vektor koefisien, dan α
adalah tingkat peluang. Tidak semua koefisien pada A atau b diperlukan dalam model A secara empirik. Dianggap koefisien kehi-
langan tanah adalah hanya peubah acak dalam model, sehingga kendala kehilangan tanah hanyalah chance constraint dalam model. Dimisalkan baris ke i dari matriks A
menyatakan kendala kehilangan tanah maka model dapat dituliskan maks f
C, X = ∑
j
c
j
X
j
kendala P [
∑
j
a
i j
X
j
≤ b
i
] ≥ α
i
∑ a
k j
X
j
≤ b
k
∀k 6= i X
≥ 0 dimana c
j
adalah koefisien fungsi tujuan tanah nyata kembali setelah pengikisan, X
j
adalah peubah keputusan hasil rotasi, 1 −
α menunjukkan resiko yang dapat diterima
untuk tidak menemukan kendala kehilangan tanah, dan a
i j
koefisien kehilangan tanah, yang mana adalah fungsi peubah acak faktor curah hujan dan limpasan R. University
Soil Loss Equatio USLE menemukan a
i j
= RKLSC
j
P
j
, dimana a
i j
berapa ton kehi- langan tanah per are per tahun dihubungkan dengan hasil rotasi j; R adalah faktor curah
hujan dan limpasan; K faktor pengikisan tanah; L faktor panjang lereng tanah; S faktor keterjalan lereng tanah; C
j
dan P
j
adalah faktor penutup dan pengelolaan dan faktor dukungan praktek konservasi terkait dengan rotasi j.
Pemecahan model CCP di atas memaksimalkan fungsi tujuan dengan kendala jum- lah tanah kurang dari atau sama tingkat toleransi kehilangan tanah b
i
, pada peluang lebih dari atau sama pada taraf keberartian
α , serta memenuhi kendala lain dalam model
seperti tenaga kerja dan lahan. Pertidaksamaan chance constraint ganda kehilangan
43 tanah dapat dirumuskan kembali sebagai:
∑
j
¯ a
i j
x
j
+ θ
r
∑
k
∑
j
x
k
x
j
σ
ik j
≤ b
i
dimana ¯ a
i j
adalah rataan nilai a
i j
, σ
ik j
adalah varians kovarians matriks a
i j
, dan θ
adalah konstanta tergantung pada sebaran peubah acak, a
i j
. Sementara θ
dapat di tentukan dengan pendekatan Tchebysheff Walpole and Myers 1985, Mendenhall
and Scheffer 1973 atau anggapan sebaran peubah acak. Umumnya peneliti secara implisit atau eksplisit menggunakan sebaran normal karena dengan anggapan ini per-
soalan digiring menjadi persoalan linier. Selanjutnya dengan memandang koefisien a
i j
saling bebas diperolehlah:
∑
j
¯ a
i j
x
j
+ θ
r
∑
j
σ
2 i j
x
2 j
≤ b
i
dimana σ
2 i j
adalah varians dari a
i j
. Dengan memandang peubah acak bersebar normal maka persamaan dapat ditulis menjadi:
∑
j
¯ a
i j
x
j
+ K
α
i
r
∑
j
σ
2 i j
x
2 j
≤ b
i
dimana σ
2 i j
x
2 j
t 2
adalah simpangan baku dari ∑
a
i j
x
j
, dan K
α
i
, adalah nilai normal baku dengan peluang
α
i
persen; yakni kendala akan ditemukan α
i
persen dari wak- tunya. Diketahui ruas kiri non-linear, non-linear programming harus digunakan un-
tuk memperoleh solusi. Perlu dicatat bahwa fungsi dalam persamaan bukan konveks ataupun konkaf. Dengan demikian, daerah layak untuk masalah empiris tidak mungkin
suatu himpunan konveks. Segarra, Kramer, dan Taylor Zhu 1994 mendemonstrasikan kendala non linier menjadi linier
44
∑
j
¯ a
i j
x
j
+ K
α
i
∑
j
σ
2 i j
x
2 j
≤ b
i
Ditunjukkan bahwa terdapat kendala konservatif consevative constraint, ∑σ
i j
x
j
pada persamaan ini lebih dari
∑σ
2 i j
x
2 j
1 2
dalam persamaan terdahulu. Keuntungannya pen- dekatan program linier dapat digunakan menyelesaikannya. Dalam kasus peubah acak
seperti faktor curah hujan dan lampias R mengikuti sebaran log-normal ln
R ∼ Nm
R
, σ
2 R
, dan
R ∼ ∧U
R
, D
2 R
dimana m
R
adalah nilai rataan sebaran normal dari ln R;
σ
2 R
varians sebaran normal dari ln
R, yang mana keduanya dapat dihitung dari catatan curah hujan; U
R
dan D
2 R
berturut-turut adalah rataan dan varians dari sebaran log-normal dari R, yang dapat dihitung dari sebaran log-normal yang didefinisikan, sehingga diperoleh
U
R
= e
σ 2
R 2
+m
R
dan D
2 R
= e
σ
2 R
+2m
R
e
σ
2 R
− 1 karena a
i j
= RKLSC
j
P
j
a
i j
∼ ∧k
j
U
R
, k
2 j
D
2 R
dimana k
j
= RKLSC
j
P
j
dan a
i j
x
j
∼ ∧k
j
x
j
U
R
, k
2 j
x
2 j
D
2 R
. Sebaran
∑ a
i j
x
j
mengikuti aturan hampiran log-normal, yang berarti tidak iden- tik dengan sebaran log-normal tetapi ekivalen dengan sebaran sebaran log-normal, se-
hingga ∑
j
a
i j
x
j
mempunyai rataan dan varians berturut-turut U dan D
2
, yaitu
∑
j
a
i j
x
j
∼ ∧U,D
2
45 U
=
∑
j
k
j
x
j
U
R
D
2
=
∑
j
k
2 j
x
2 j
D
2 R
sehingga ln
h
∑
j
a
i j
x
j
i ∼ N
σ
2
dimana m = lnU −
σ
2
2
dan σ
2
= lnD
2
U
2
+ 1, karena itu ln ∑
a
i j
x
j
mengikuti sebaran normal dengan m dan varians
σ
2
sebagai fungsi m
R
dan σ
R
. Dengan menlogaritmakan kendala kehilangan tanah dan
∑ a
i j
x
j
monoton, kendala kehilangan tanah dapat ditulis menjadi
∑
j
ln a
i j
x
j
≤ lnb
i
Karena ln ∑
a
i j
x
j
menyebar normal maka chance constraint dapat dinyatakan dengan m
+ K
α
i
σ ≤ lnb
i
dimana m adalah nilai rataan dari ln [
∑ a
i j
x
j
], m = E[ln ∑
a
i j
x
j
], σ
adalah simpangan baku dari ln
[ ∑
a
i j
x
j
] dan K
α
i
adalah nilai normal baku dengan peluang α
i
. Lebih detail chance constraint didasarkan pada sebaran log-normal dari R, yaitu
ln ∑
j
k
j
x
j
e
σ 2
R 2
+m
R
−
1 2
∑
j
k
2 j
x
2 j
e
σ 2
R
−1 ∑
j
k
j
x
j 2
+ 1
+K
α
i
v u
u u
tln
∑
j
k
2 j
x
2 j
e
σ 2
R
−1 ∑
j
k
j
x
j 2
+ 1 ≤ b
i
Masih ada lagi beberapa temuan-temuan atau bahasan mengenai chance constraint, Marianov dan Rios 2000 merumuskan model lokasi optimal suit dalam jaringan ko-
46 munikasi ATM. Jaringan dirancang sedemikian rupa sehingga sesaat sampai ke suit,
sell ATM mendapatkan ruang bebas dalam suatu penyangga sepanjang b dengan pelu- ang
α . Mereka juga menunjukkan bagaimana mengubah kendala peluang non-linier ke
bentuk linier. Model persoalan yang dibicarakan dimodelkan seperti berikut; min
∑
j ∈J
v
j
y
j
+ ∑
i , j
c
i j
x
i j
kendala ∑
j
x
i j
= 1 ∀i, x
i j
≤ y
j
∀i, j P
[paling sedikit satu posisi b bebas] ≥ α
x
i j
, y
j
= 1, ∀i, j y
j
bernilai 1 bila suit berada di node j, selainnya 0 , x
i j
bernilai 1, jika pengguna yang ditempatkan di permintaan node i dihubungkan dengan suit j, selainnya 0 sedangkan
v
j
dan c
i j
berturut menyatakan instalasi dan biaya menghubungkan. Gaivoronski dan Pflug 2005 dalam tulisannya ”Value-at-risk in portofolio opti-
mization” menyajikan suatu metode menghitung portofolio yang memberikan resiko optimal, setidaknya menghasilkan pengembalian keuntungan dari beberapa porto-
folio tertentu yang diharapkan. Dengan memandang investor memiliki satu unit
anggaran dalam sembarang asset keuangan i = 1, 2, . . . , n, menghasilkan keuntungan
ξ =
ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
untuk portofolio x = x
1
, x
2
, . . . , x
n
dimana
n
∑
i =1
x
i
= 1 kendala anggaran diperoleh keuntungan portofolio pada akhir periode pengamatan W
= x
T
ξ =
n
∑
i =1
x
i
ξ
i
. Peubah W merupakan peubah acak dengan fungsi sebaran F , Fu = PW ≤
u = Px
T
ξ ≤ u dan nilai harapan keuntungan EW = Ex
T
ξ = x
T
E ξ
. Kemudian ia menyusun persoalan optimisasi yang akan diselesaikan
{min
x
R x
T
ξ , dengan kendala
x
T
E ξ
≥ µ, X
T
1
= 1, x ≥ 0}. Penyelesaian dilakukan dengan dua pendekatan yaitu pendekatan parametrik atau pendekatan sampling.
47 Pagnoncelli, Ahmed dan Shapiro 2008, 2009, mengajukan penggunaan pen-
dekatan sample average approximation untuk memecahkan persoalan bentuk
min
x ∈X
f x dengan kendala tunggal P{Gx,
ξ ≤ 0} ≥ 1 −
α , dimana X
⊂ ℜ
n
, ξ
vek- tor acak dengan sebaran peluang P yang memenuhi himpunan
Ξ ⊂
ℜ
d
, α
∈ 0,1, f : ℜ
n
→ ℜ
adalah fungsi konveks bernilai riel dan G : ℜ
n
× Ξ
→ ℜ
m
. Campi dan Garatti 2008 mengajukan pemecahan dengan pendekatan secara acak
persoalan optimisasi chance constrained yang berbentuk: min
x ∈X
C
T
x , dengan kendala
x ∈ X
δ
dengan peluang P ≥ 1 −
ε , dimana
δ parameter yang tidak tentu uncertain,
X ⊆
ℜ
d
, X konveks dan juga X
δ
konveks, ε
parameter peluang menolak bernilai kecil. Scwarm dan Nicolaou 1999 memecahkan persoalan finite-horizon predictive con-
trol dari sistem dinamik dengan kendala stokastik taktentu, seperti munculnya ketidak- pastian karena gangguan dari luar, kesalahan pemodelan, dan gangguan sensor. Dengan
memandang x ∈
ℜ
n
x
, sebagai keadaan sistem, u ∈
ℜ
n
u
input sistem, dan w ∈
ℜ
n
w
vektor gangguan, maka bentuk persoalan chance constrained control yang dipecahkan adalah
min f X,U
kendala U ∈ F
U
P X 6∈ F
X
≤ δ
X = G
xx
x + G
xu
U + G
xw
W Dengan perkataan lain memilih input kontrol yang meminimalkan biaya, dengan jam-
inan bahwa peluang tidak memenuhi daerah layak tidak melebihi δ
. Fungsi biaya f
X,U konveks dalam X dan U, himpunan kendala kontrol F
U
konveks dan him- punan kendala keadaan F
X
konveks. Arellano 2006 dalam tesisnya mengklasifikasi persoalan chance constrained se-
bagai berikut:
48
Gambar 3.2: Klasifikasi persoalan chance constrained Arellano, 2006
Fokus utama dalam tesis, pembahasannya dihubungkan dengan penggunaan proses sementara, optimisasi dari proses dinamis inherent dengan sifat yang melekat bi-
asanya ditampilkan dengan menggunakan model yang didasarkan dengan teknik op- timisasi.
Tarim, Manandhar, dan Walsh 2006 bertujuan memodelkan persoalan penarikan keputusan kombinatorial yang mengandung ketidakpastian dan peluang, diperkenalkan
dengan skenario yang didasarkan stochastic constraint programming. Program kendala stokastik berisi kedua peubah keputusan yang dapat ditetapkan, dan peubah stokastik
yang mengikuti sebaran peluang diskrit. Dengan menggunakan pohon skenario dapat disusun program kendala stokastik ke dalam program kendala konvensional. Mereka
memperkenalkan chance constraints di samping kendala lain pada persoalan optimisasi bisnis yakni: P
{x
i
− d
i
≥ 0} ≥ α
i
, i ∈ {1,2,...,N} dimana x
i
peubah tambahan, dan d
i
peubah stokastik yang menunjukkan permintaan stokastik untuk variasi i .
Nemirovski dan Shapiro 2004, 2006 memecahkan persoalan optimalisasi mem- inimumkan fungsi linier dengan chance constraint P
{Gx, ξ
∈ C} ≥ 1 − ε
dimana C himpunan konveks, dan
ξ vektor gangguan acak dengan sebaran yang diketahui.
Pekerjaan dimulai dari sekenario pendugaan sederhana.
49 Sahinidis 2004 mengembangkan model program linier maks c
T
x dengan kendala Ax
b, x ≥ 0 dimana c dan x adalah n-vektor, b adalah m-vektor, dan A adalah matriks m
× n. Dengan anggapan adanya ketidakpastian A dan b sehingga P
Ax b ≥ p; p ∈ 0,1 menyebabkan persoalan chance constraint maks c
T
x , de-
ngan kendala P Ax b ≥ p, x ≥ 0. Selanjutnya dibahas apabila m = 1 akan terdapat
bentuk sederhana P a
T
x ≥ b ≥ p, b menjadi peubah acak dengan sebaran kumulatif
F. Katakan F β
= p, sehingga Pa
T
x ≥ b ≥ p dapat ditulis seperti Fa
T
x ≥ p
atau a
t
x ≥
β bentuk sederhana yang setara dengan program linier baku. Walsh 2009
membicarakan persoalan dengan kendala stokastik stochastic constraint satisfaction problem CSP , peubah stokastik bebas dengan nilai peluang memenuhi suatu se-
baran peluang. Diperoleh sejumlah model program kendala stokastik yang meningkat secara kompleks, dalam suatu tingkatan CSP, peubah keputusan mendahului peubah
stokastik. Selanjutnya dalam tulisannya diajukan program algoritma. Goyal dan Ravi 2009 membicarakan persoalan buntil klasik. Diberikan n item de-
ngan keuntungan p
1
, p
2
, . . . , p
n
, ukuran buntil B dan tingkat reliabilitas 0 , 5
ρ 1. Item i berukuran acak S
i
tersebar menurut sebaran yang diketahui dan suatu uku- ran bebas dengan ukuran pada item lain. Tujuannya adalah memilih suatu himpunan
bagian S sehingga Pr ∑
i ∈S
S
i
≤ B ≥
ρ , dan keuntungan semaksimalnya. Persoalan
tersebut adalah persoalan chance constrain dan dinamakan chance constrained knap- sack problem
Van der Vlerk 2003 memecahkan persoalan chance constraint pada dana pen- siun dengan model ALM asset liability management. Konsep ini dikembangkan dari
barisan keputusan dan pengamatan bertahap waktu t = 0, 1, . . . , T, dan
ω
t
adalah vek- tor parameter acak yang realisasinya terungkap selama t tahun interval waktu 1
,t, dan ini menunjukkan proses acak waktu-diskrit
ω
1
, ω
2
, . . . , ω
T
dengan ketidakpas-
50 tian. Selanjutnya dalam model ALM. Van der Vlerk mentranslasi lansung ke dalam
chance constraint P {F
t +1
≥ α
|t,s} ≥ γ
t
, γ
t
adalah taraf reliabilitas saat waktu t, dan diteruskan dengan perhitungan lebih lanjut.
Semua literatur yang diutarakan tersebut berkecimpung dalam penyelesaian linear chance constrained programming LCCP.