2.7. Bentuk Umum Linier CCP

77 optimalkan z = c’x kendala P          a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n .. . .. . . . . .. . a m1 a m2 . . . a mn                   x 1 x 2 .. . x n          ≤          b 1 b 2 .. . b m          ≥          α 1 α 2 .. . α m          atau optimalkan z = c ′ x kendala P AX ≤ b ≥ α X ≥ 0 Nemirovski dan Shapiro 2004 menuliskan optimalkan x ∈X f x kendala P {Fx, ξ ≤ 0} ≥ 1 − α dengan mana ξ adalah vektor acak dengan sebaran peluang P pada suatu himpunan Ξ ⊂ ℜ d , X ⊂ ℜ n adalah himpunan konveks tidak kosong atau menyatakan daerah deter- ministik yang layak α ∈ 0,1 f : ℜ n → ℜ adalah fungsi riel konveks, yaitu fungsi tujuan yang dioptimalkan F = f 1 , . . . , f m : ℜ n × Ξ → ℜ m Peluang kendala muncul secara alami dalam berbagai penggunaan dan disebut chance probalistic constraints. Seperti kendala F x, ξ ≤ 0 untuk semua nilai ξ ∈ Ξ dari vektor ketidakpastian yang dapat menjadi mahal bahkan tidak mungkin. Dalam berbagai referensi antara lain Pagnoncelli, Ahmed dan Shapiro 2008, Ackooij, dkk 2011 juga menulis bentuk umum CCP sebagai berikut 78 min x ∈X f x dengan kendala Pr{Gx, ξ ≤ 0} ≥ 1 − ε 4.25 dimana X ⊂ ℜ n menyatakan daerah layak deterministik, f : ℜ n → ℜ menyatakan fungsi tujuan yang diminimalkan, ξ adalah vektor acak dengan sebaran ditentukan pada himpunan Ξ ⊂ ℜ n , G : ℜ n × ℜ d → ℜ m adalah pemetaan constraint, 0 adalah vektor nol berdimensi m dan ε ∈ 0,1 parameter risiko taraf signifikansi yang di- tentukan. Jadi rumusan 4.25 adalah mencari vektor keputusan x dari daerah layak X yang meminimalkan f x yang memenuhi kendala Gx, ξ ≤ 0 dengan peluang paling kurang 1 − ε , dan anggapan sebaran ξ diketahui. Walaupun diberikan berbagai lambang penulisan namun dapat ditunjukkan makna yang serupa dan tergantung pada permasalahn lapangan. Pandang program linear 4.24 dalam bentuk optimalkan F x = n ∑ j =1 c j x j kendala P { n ∑ j =1 a i j x j ≤ b i } ≥ p i , i = 1, 2, . . . , x j ≥ 0,i = 1,2,...,n 4.26 Dengan memandang a i j , dan b i j sebagai variabel stokastik maka persamaan dapat di- tulis optimalkan F x = n ∑ j =1 c j x j kendala P { n ∑ j =1 ˜ a i j x j ≤ ˜b i } ≥ p i , i = 1, 2, . . . , x j ≥ 0,i = 1,2,...,n 4.27 Kedua model persamaan di atas berturut-turut dapat dibentuk dengan simbol ˜a i j , ˜b i yang menunjukkan peubah stokastik, P menunjukkan peluang n ∑ j =1 ˜ a i j x j ≤ ˜b i dengan mana p i = 1− α i , α i melambangkan resiko atau peluang yang harus dipenuhi perangkat 79 datanya. Secara umum persoalan selengkapnya dapat dinyatakan dengan notasi matriks optimalkan x g x kendala P ˜ Ax ≤ ˜b ≥ α x ∈ D x ≥ 0 4.28 yang mengandung m kendala linier dan n peubah keputusan. Kendala ke-i yang ditun- jukkan oleh ˜ a i x ≤ ˜b i dimana i = 1, 2, ..., m berbentuk a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a i j x j + . . . + a in x n ≤ ˜b i atau a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a i j −1 x j −1 + ˜a i j x j + a i j +1 x j +1 + . . . + a in x n ≤ b i Bentuk deterministik setara digunakan memilah metode chance constrained untuk setiap kendala i ∈ {1,2,...,m}: optimalkan x g x kendala P ˜ a T i x ≤ ˜b i ≤ α i untuk i = 1, 2, . . . , m x ≥ 0 x ∈ D 4.29 Cara memproses persoalan 4.29 dengan tepat menggunakan: Teorema 2 , jika kendala ˜a T i x ≤ ˜b i adalah a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a i j x j + . . . + a in x n ≤ ˜b i , dan substitusi P ˜ a T i x ≤ ˜b i ≤ α i , x ≥ 0,sesuai himpunanH is Teorema 5 , jika kendala ˜a T i x ≤ ˜b i adalah a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a i j −1 x j −1 + ˜a i j x j +a i j +1 x j +1 + . . . + a in x n ≤ b i dan substitusi P ˜ a T i x ≤ ˜b i ≤ α i , x ≥ 0 sesuai himpunan H ir i Pemecahan persoalan 4.28 dengan α yang diketahui, digunakan Teorema 7, dengan memilih α 1 , α 2 , . . . , α m , dalam 0,1], sehingga m ∑ i =1 α i = m + α − 1 80

4. 2.8. Linear Chance Constraint Dengan

˜ a i j , ˜b i Menyebar Baku Misalkan pada 4.27 ˜ a i j , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n bersebar baku dengan rataannya µ ˜ a i j = E ˜a i j dan varians σ 2 ˜a i j , dan juga untuk ˜b i bersebar baku dengan rataan ˜b i = Eb i dan varians σ 2 ˜b i . Katakanlah h i = n ∑ j =1 ˜ a i j x j − ˜b i = n +1 ∑ j =1 ˜ a i j x j , i = 1, 2, . . . , m dan x n +1 = 1, ˜a in + 1 = −˜b i , i = 1, 2, . . . , m E h i = E n ∑ j =1 ˜ a i j x j − ˜b i = n +1 ∑ j =1 E ˜a i j x j = n ∑ j =1 E ˜a i j x j − E˜b i , i = 1, 2, . . . , m dan varians h i = σ 2 h i = X T D i X dimana X = x 1 , x 2 , . . . , x n , 1 T D i =             σ 2 ˜ a i1 σ ˜ a i1 , ˜a i2 . . . σ ˜ a i1 , ˜a in σ ˜ a i1 ,˜b i σ ˜ a i2 , ˜aa i1 σ 2 ˜ a i2 . . . σ ˜ a i2 , ˜a in σ ˜ a i2 ,˜b i .. . .. . . . . .. . .. . σ ˜ a in , ˜a i1 σ ˜ a in , ˜a i2 . . . σ 2 ˜ a in σ ˜ a in ,˜b i σ ˜b i , ˜a i1 σ ˜b i , ˜a i2 . . . σ ˜b i ,˜b in σ 2 ˜b i             i = 1, 2, . . . , m Dengan demikian P h i ≤ 0 ≥ p i , i = 1, 2, . . . , m dan bersebar normal baku rataan nol dan varians 1 P h i − Eh i p var h i ≤ −Eh i p var h i ≥ p i , i = 1, 2, . . . , m dengan h i − Eh i p var h i menuruti sebaran normal baku dan Φ −Eh i p var h i ≥ Φ c i = p i , i = 1, 2, . . . , m 81 dimana Φ menunjukkan sebaran kumulatif normal baku dan Φ −1 sebagai fungsi invers, dan karena itu −Eh i p var h i ≥ c i ⇔ Eh i + c i p var h i ≤ 0, i = 1,2,...,m atau dengan mensubstitusi h i n ∑ j =1 E ˜a i j x j − E˜b i − c i p var h i ≤ 0, i = 1,2,...,m Lalu, diperoleh model program linier dengan variabel tertentu, yaitu optimalkan F x = n ∑ j =1 c j x j kendala n ∑ j =1 E ˜a i j x j − E˜b i − c i p var h i ≤ 0,i = 1,2,...,m x j ≥ 0, j = 1,2,...,m dalam bentuk deterministik. Pandang chance constraint individu bentuk berikut: maks m ∑ i =1 a in x i kendala P m ∑ i =1 a i j x i ≥ ξ j ≥ p j = 1,...,n 4.30 dengan catatan vektor ξ bersebar multivariat normal dengan rataan vektor b dan ma- triks varians covarians Henrion, 2004          σ 2 1 σ 2 1 . . . σ 2 1 σ 2 1 σ 2 1 + σ 2 2 . . . σ 2 1 + σ 2 2 .. . .. . . .. .. . σ 2 1 σ 2 1 + σ 2 2 . . . σ 2 1 + σ 2 2 + . . . + σ 2 n          Hal utama adalah varians dari ξ j adalah ˜ σ 2 j = j ∑ k =1 σ 2 k , sehingga dapat diperoleh peubah acak baku