Formulasi Deterministik Ekivalen PROGRAM STOKASTIK
11
2. 2.1. Proses Formulasi
Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse, un- tuk problema 2.3 dilakukan dengan cara berikut. Definisikan
g
+ i
x, ξ
=
jika g
i
x, ξ
≤ 0, g
i
x, ξ
selainnya .
Kendala ke i dari 2.3 dilanggar jika dan hanya jika g
+ i
x, ξ
0 untuk suatu keputusan x dan realisasi
ξ dari ˜
ξ . Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala suatu recourse
atau aktivitas tahap-kedua y
i
ξ , setelah mengamati realisasi
ξ ,
ξ dipilih sehingga
mengantisipasi pelanggaran kendala – jika ada – dengan memenuhi g
i
x, ξ
−y
i
ξ ≤ 0.
Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan biaya atau penalti q
i
per unit, jadi biaya tambahan ini disebut fungsi recourse berjumlah
Q x,
ξ = min
y m
∑
i =1
q
i
y
i
ξ |y
i
ξ ≥ g
+ i
x, ξ
, i = 1, ··· ,m .
2.4
Yang menghasilkan biaya total –tahap pertama dan biaya recourse f
x, ξ
= g x,
ξ + Qx,
ξ .
2.5 Selain 2.4, dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan
suatu vektor recourse y ξ
∈ Y ⊂ ℜ
¯ n
, Y himpunan polyhedral, seperti {y |y ≥ 0},
suatu sembarang pasti fixed W matrix m × ¯n matriks recourse dan vektor unit biaya
q ∈
ℜ
¯ n
, menghasilkan untuk 2.5 fungsi recourse Q
x, ξ
= min
y
q
T
y |Wy ≥ g
+
x, ξ
, y ∈ Y 2.6
dengan g
+
x, ξ
= g
+ 1
x, ξ
, ··· ,g
+ m
x, ξ
T
. Misalkan suatu pabrik menghasilkan m produk, g
i
x, ξ
dapat dipahami sebagai
12 perbedaan
{permintaan}-{output} produk i. Maka g
+ i
x, ξ
0 berarti bahwa terda- pat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. Dengan mengandaikan
bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema 2.4 misalnya dapat di- interpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema 2.6 dapat
dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan de- ngan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W. Jika dipilih W=I, m
× m identitas matriks, 2.4 menjadi kasus khusus dari 2.6.
Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefinisikan fungsi recourse terhadap 2.5; misalnya, Q
x, ξ
dapat dipilih sebagai Q
x, ξ
= min q
y|H
i
y ≥ g
+ i
x, ξ
, i = 1, ··· ,m; y ∈ Y ⊂ ℜ
¯ n
, dengan q :
ℜ
¯ n
→ ℜ
dan H
i
: ℜ
¯ n
→ ℜ
diandaikan diketahui. Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ek-
spektasi biaya total yaitu, tahap pertama dan biaya recourse, cukup memandang for- mulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan recourse
min
x ∈X
E
˜ ξ
f x, ˜
ξ = min
x ∈X
E
˜ ξ
n g
x, ˜ ξ
+ Qx, ˜ ξ
o .
2.7 Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap-ganda
sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil di tahap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K+1 keputusan sekuensial x
, x
1
, ··· , x
K
x
τ
∈ ℜ
¯ n
τ
, yang harus diambil pada tahap τ
= 0, 1, ··· ,K. Kata “tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai “periode waktu”.
Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objektif dari 2.3 deterministik, yaitu, g
x, ξ
= g x. Pada tahap
τ τ
≥ 1 diketahui realisasi ξ
1
, ··· , ξ
τ
dari vektor acak ˜
ξ
1
, ··· , ˜ ξ
τ
dan keputusan sebelumnya x , ··· ,x
τ −1
, harus diputuskan terhadap x
τ
se- hingga kendala dengan fungsi kendala g
τ