3. Aproksimasi Rataan Sampel OPTIMISASI LINEAR CHANCE CONSTRAINED

93 untuk menyelesaikan persoalan optimisasi demikian melalui pemakaian metode sam- pling dan optimisasi untuk persoalan deterministik. Dalam pembicaraan ini diandaikan bahwa fungsi f tidak dapat diamati atau di- hitung secara langsung, tetapi diketahui bahwa f x = E f x, ξ dimana ξ elemen acak dengan distribusi tidak tergantung pada x dan f ., . merupakan fungsi bernilai riel deterministik. Secara implisit hal ini berarti bahwa untuk setiap ∈ D tertentu, E [ f x, ξ ] ∞ . Dalam SAA dipilih dan ditetapkan ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n semuanya berdistribusi sama seperti ξ , dan dinyatakan f n x = 1 n n ∑ i =1 f x, ξ i Diberikan sampel ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n fungsi f n . deterministik sehingga dapat dipergu- nakan algoritma optimisasi deterministik untuk menyelesaikan persoalan min x ∈D f n x 4.44 Ambil suatu optimisasi, misalnya X ∗ n dari 4.44 sebagai estimator penyelesaian optimal dari 4.43. Diandaikan bahwa ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n , membentuk sampel berdis- tribusi identik dan bebas. Sebagai contoh, pandang persoalan penjual surat kabar newsvendor. Sebanyak x unit surat kabar dibeli dengan biaya c 0 per unit, obsevasi permintaan ξ , jual se- banyak yang dimungkinkan pada hanya s c. Tujuannya adalah memilih x sehingga memaksimumkan keuntungan. Keuntungan untuk realisasi yang diberikan ξ adalah f x, ξ = s min x, ξ − cx. Fungsi konkaf dalam x memiliki kemiringan s − c 0 untuk x cukup kecil dan kemiringan −c 0 untuk x cukup besar. Akibatnya sama untuk pendekatan f n . yang dapat mencapai maksimumnya. Jelasnya, suatu optimasi 94 X ∗ n dari f n . terjadi pada kuantil 1 − cs dari distribusi empiris yang dikaitkan de- ngan observasi permintaan ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n , yaitu terkecil ke [n1 − cs] observasi permintaan. Jika diandaikan distribusi dari ξ kontinu pada kuantil 1 − cs yang op- timal untuk persoalan sebenarnya lihat Ravindran et al, 1987, maka X ∗ n konvergen terhadap nilai ini apabila n → ∞ a .s a.s artinya hampir pasti. Jadi dalam hal ini SAA berhasil, dimana barisan optimisasi {X ∗ n } konvergen ke optimasi sebenarnya. Dalam hal bahwa X ∗ n konvergen terhadap himpunan optimisasi persamaan 4.43 bila n → ∞ , perlu ditinjau struktur persoalan sehingga SAA dapat terpakai.

4. 3.1. Kesesuaian struktur persoalan optimasi untuk SAA

Dalam bagian ini dibicarakan beberapa contoh sebagai illustrasi bagaimana SAA dapat berlaku. Contoh Persoalan newsvendor multi dimensi. Pandang suatu perusahaan yang memproduksi p modul dari q sumber daya. Untuk sumber daya tipe i = 1, 2, . . . , q dan tipe produk j = 1, 2, . . . , p andaikan a i j jumlah sumber daya yang diperlukan untuk memproduksi suatu unit produk j dan v j unit mar- gin untuk produk j yaitu, perolehan dikurangi biaya proses. Andaikan manager harus memutuskan pada vektor x = x 1 , . . . , x q sebelum vektor permintaan produk terob- servasi ξ = ξ 1 , . . . , ξ p . Setelah permintaan jadi diketahui, manajer memilih vektor produksi y = y 1 , . . . , y p sehingga memaksimumkan keuntungan operasi dalam pro- gram linier P x, ξ : maks y ∈ ℜ p + v T y kendala Ay ≤ xkapasitas y ≤ ξ permintaan 95 Disini, A adalah matriks berukuran q × p dan a i j elemen

i, j dari A. Ambil

π x, ξ fungsi keuntungan maksimum operasi untuk vektor tingkat sumber daya x dan vektor permintaan yang diketahui ξ . ini secara tepat nilai fungsi objectif dari persoalan P x, ξ , maka π x, ξ = v T y ∗ x, ξ dimana y ∗ x, ξ vektor produksi optimal terkait. Andaikan bahwa permintaan ξ dapat dipandang sebagai vektor acak dan distribusi peluang dari ξ diketahui. Ambil π x ekspektasi keuntungan operasi maksimal dimana π x = E[ π x, ξ ] untuk semua x ∈ ℜ q + . Ambil c i , i = 1 2, . . . , q unit harga investasi untuk sumber daya i. Dengan mengikutsertakan harga investasi dalam keuntungan operasi, nilai perusahaan didefinisikan sebagai π x, ξ − c T x, untuk x, ξ tetap. Objektif manager sekarang adalah meneliti tingkat sumber daya x sehingga memaksimumkan ekspektasi nilai perusahaan. Hal ini meningkatkan persoalan menjadi optimisasi stokastik max x ∈ ℜ q + = π x − c T x Persoalan demikian ini dikenal sebagai persoalan newsvendor multi-dimensi Van Mieghem dan Rudi, 2002. Dari teori program linier, dapat diperlihatkan bahwa fungsi sampel lintasan π ., ξ dan ekspektasi fungsi objektif π memiliki struktur sederhana, yaitu, π ., ξ konkaf untuk ξ tetap, dan juga π . = E[ π ., ξ ]. Jika ξ mempunyai sebaran peluang diskrit, maka Π ., ξ dan π . linier bagian demi bagian dan konkaf. Namun per- mintaan acak difokuskan pada sebaran peluang kontinu, dan ingin ditentukan per- syaratan terhadap mana π . diferensiabel di mana-mana. Andaikan bahwa ξ berhingga dengan peluang 1. Pandang persoalan dual dari program linier P x,q :