3. Pohon Skenario PROGRAM STOKASTIK
14 yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang dise-
but skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun
dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan ke- mungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorgan-
isasikan ke dalam struktur pohon. Gambar 2.1, memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap.
Gambar 2.1: Pohon Skenario
Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai
hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal
dari himpunan peubah acak. Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat
dilabel secara berurutan oleh K
t
, untuk t = 1, . . . . . . T . Buhul di setiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan k
t
= 1,. . . ,K
t
untuk semua t. Notasi D
t
k menyatakan
15 turunan langsung dalam waktu t dari buhul k, sedangkan notasi D
t
l.k menyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k yang terdiri dari l buhul. Misalnya dalam
pohon skenario di Gambar 2.1 D
3
2.1 memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1 paling kiri yang terdiri 2 buhul dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun k dalam
tahap T, andaikan P
k t
merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t
= T − 1,...,l, p
k t
diberikan oleh p
k t
+1
= ∑
l ∈D
t +1
p
l t
+1
dengan p
l
= 1 Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario
yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk persoalan
dimana banyak mengandung faktor acak.
Ilustrasi Dasar
Perhatikan persoalan program linier PL. yang formulasinya dalam notasi vektor dapat ditulis sebagai
min c
T
x kendala Ax
= b x
≥ 0 Dalam model ini nilai parameter c, A dan b tertentu deterministik. Artinya bahwa
nilai-nilai ini tidak mengandung ketidakpastian. Misalnya harga suatu peubah untuk be- berapa waktu mendatang dapat diperoleh tidak bergantung pada faktor-faktor ekonomi.
Hal ini biasanya secara realita tidak tepat. Selalu saja ada pengaruh ketidakpastian. Apalagi pada kondisi dunia pada dekade ini yang dikarakterisasi oleh ketidakpastian
tinggi. Untuk perkembangan ke bentukmodel ketidakpastian perhatikan ilustrasi berikut:
16
Contoh 1 Petani A memiliki sebidang tanah. Ia ingin menamam padi, jagung dan
kacang. Yang ingin ia tentukan adalah berapa luas tanah tersebut untuk padi, jagung dan kacang Birge dan Loveaux, 1997
Andaikan data untuk pengolahan tanaman tersebut seperti tabel 2.1 berikut:
Tabel 2.1: Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang
Padi Jagung
Kacang Hasil rata-rata Tare
2.5 3
2.0 Biaya tanaman Rpare
150 230
250 Harga jual RpT
170 150
30 = 6000T 10
6000T Persyaratan minimum T
200 240
Harga beli RpT 238
210 Luas tanah total 500 are
Dalam contoh ini simbol T menyatakan satuan berat dalam ton. Peubah keputusan
x
1
= luas tanah are untuk padi x
2
= luas tanah are untuk jagung x
3
= luas tanah are untuk kacang w
1
= berat ton padi terjual w
2
= berat ton jagung terjual w
3
= berat ton kacang terjual pada harga yang diinginkan w
4
= berat ton kacang terjual di bawah harga yang diinginkan y
1
= berat ton padi yang dibeli y
2
= berat ton jagung yang dibeli Model PL
17 Problema ini dapat diformulasikan ke dalam model PL deterministik
min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
+ 238y
1
+ 210y
2
− 170w
1
− 150w
2
− 36w
3
− 10w
4
kendala x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 2
.5x
1
+ y
1
− w
1
≥ 200 3x
2
+ y
2
− w
2
≥ 240 w
3
+ w
4
≤ 20x
3
w
3
≤ 6000 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0 w
1
, w
2
, w
3
, w
4
, y
1
, y
2
≥ 0 Hasil optimalnya adalah
Tabel 2.2: Hasil optimal dari data tabel 2.1
Padi Jagung
Kacang Pemakaian tanah are
120 80
300 Hasil T
300 240
6000 Penjualan T
100 -
6000 Pembelian T
- -
- Total keuntungan 118600
Hasil demikian ini pada dasarnya telah memenuhi keinginan sang petani. 1. Memanfaatkan luas tanah sesuai dengan kuota tanaman kacangan
2. Memanfaatkan luas tanah untuk memenuhi persyaratan terhadap padi dan jagung 3. Tanam padi untuk tanah yang sisa – jual kelebihannya
Namun hasil demikian dapat terjadi apabila tidak terjadi hal-hal lain, misalnya cuaca. Disini diandaikan terdapat 3 skenario, yaitu
18 1. Cuaca baik: kenaikan 20
2. Cuaca rata-rata: tetap 3. Cuaca buruk: penurunan 20
Masing-masing skenario memiliki peluang yang sama yaitu 13. Berikut model dengan adanya skenario
min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
+
1 3
238y
11
+ 210y
21
− 170w
11
− 150w
21
− 36w
31
− 10w
41
+
1 3
238y
12
+ 210y
22
− 170w
12
− 150w
22
− 36w
32
− 10w
42
+
1 3
238y
13
+ 210y
23
− 170w
13
− 150w
23
− 36w
33
− 10w
43
y
i j
: = peubah y
i
pada tahap j , w
i j
: = peubah w
i
pada tahap j kendala
I x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0
II 3x
1
+ y
11
− w
11
≥ 200 3
.6x
2
+ y
21
− w
21
≥ 240 w
31
+ w
41
≤ 24x
3
w
31
≤ 6000 w
11
, w
21
, w
31
, w
41
≥ 0 y
11
, y
21
, y
31
≥ 0 2
.5x
1
+ y
12
− w
12
≥ 200 3x
2
+ y
22
− w
22
≥ 240 w
32
+ w
42
≤ 20x
3
w
32
≤ 6000 w
12
, w
22
, w
32
, w
42
≥ 0 y
12
, y
22
, y
32
≥ 0 2x
1
+ y
13
− w
13
≥ 200 2
.4x
2
+ y
23
− w
23
≥ 240 w
33
+ w
43
≤ 16x
3
w
33
≤ 6000 w
13
, w
23
, w
33
, w
43
≥ 0 y
13
, y
23
, y
33
≥ 0 Skenario 1
Skenario 2 Skenario 3
Hasil optimalnya adalah
19
Tabel 2.3: Hasil optimal data tabel 2.1 dengan skenario cuaca berbeda
Padi Jagung
Kacang Tahap I
Areal Are 170
80 250
s = 1 Hasil
Penjualan Pembelian
510 310
- 288
48 -
6000 6000
- s = 2
Hasil Penjualan
Pembelian 425
225 -
240 -
- 5000
5000 -
s = 3 Hasil
Penjualan Pembelian
340 140
- 192
- 48
4000 4000
- Total Keuntungan 108390
Selanjutnya pandang
vektor acak
ξ =
ε
1
, ε
2
, ε
3
dibentuk oleh
tiga hasil
dan ξ
diambil pada
tiga tiga
nilai berbeda
ξ
1
, ξ
2
dan ξ
3
yaitu ε
1
1, ε
2
1, ε
3
1, ε
1
2, ε
2
2, ε
3
2, dan
ε
1
3, ε
2
3, ε
3
3 berturut-turut. Dalam hal ini
ξ tergantung
ε atau
ξ ε
, sedangkan ε
tergantung s atau ε
atau ε
s, sehingga
ξ tergantung pada s atau
ξ s, dimana s menyatakan sekenario. s = 1 , 2 , 3.
Model program stokastik dengan recourse min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
+
3
∑
s =1
P s 238y
1
s + 210y
2
s − 170w
1
s − 150w
2
s − 36w
3
s − 10w
4
s
20
kendala x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0 ε
1
sx
1
+ y
1
s − w
1
s ≥ 200 ε
2
sx
2
+ y
2
s − w
2
s ≥ 240 w
3
s + w
4
s ≤ ε
2
sx
3
w
3
s ≤ 6000 y
1
s, y
2
s, y
3
s ≥ 0, w
1
s, w
2
s, w
3
s, w
4
s ≥ 0 s = skenario
, ε
i
s = hasil tanaman i pada skenario s P
s =
1 3
, s = 1, 2, 3
ε
1
1 ε
2
1 ε
3
1 ε
1
2 ε
2
2 ε
3
2 ε
1
3 ε
2
3 ε
3
3
=
3 .0 3.6 24
2 .5 3.0 20
2 .0 2.4 16
Matriks acak Jadi
min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
← bagian deterministik tahap I +
3
∑
1
P s 238y
1
s + 210y
2
s − 170w
1
s − 150w
2
s − 36w
3
s − 10w
4
s |
{z }
Bagian stokastik tahap II
kendala x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0
← kendala deterministik tahap I
21 ε
1
sx
1
+ y
1
s − w
1
s ≥ 200 ε
2
sx
2
+ y
2
s − w
2
s ≥ 240 w
3
s + w
4
s ≤ ε
2
sx
3
w
3
s ≤ 6000 y
1
s, y
2
s, y
3
s ≥ 0, w
1
s, w
2
s, w
3
s, w
4
s ≥ 0 s
= 1, 2, 3
← kendala stokastik tahap II
Dari bentuk model ini dapat dituliskan fungsi recoursenya adalah Q
x
1
, x
2
, x
3
, s = min 238y
1
s + 210y
2
s −170w
1
s −150w
2
s −36w
3
s −10w
4
s kendala
ε
1
sx
1
+ y
1
s − w
1
s ≥ 200 ε
2
sx
2
+ y
2
s − w
2
s ≥ 240 w
3
s + w
4
s ≤ ε
2
sx
3
w
3
s ≤ 6000 y
1
s, y
2
s, y
3
s ≥ 0, w
1
s, w
2
s, y
3
s, y
4
s ≥ 0 Jadi nilai ekspektasi dari fungsi recourse
Q x = E
ξ
Q x,
ξ =
3
∑
i =1
P sQx
i
, s
Sehingga model recourse berbentuk min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
+ E
ξ
Q x,
ξ kendala x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0 atau secara umum model recourse dua tahap dapat ditulis sebagai
22
min c
T
x + Qx
kendala Ax = b
x ≥ 0
secara lebih umum model recourse ini dapat berbentuk min
x
f
1
x + E
ξ
[Qx, ξ
]
kendala Ax = b
x ≥ 0
dimana untuk setiap realisasi w dari ε
Q x, w = min
y
f
2
y, w kendala W
wy = hw − vwx y
≥ 0 nilai ekspektasi dari nilai objektif tahap kedua merupakan recourse. Pada tahap pertama
sebuah keputusan dibuat didasarkan pada data yang tersedia pada saat itu. Ditahap kedua, untuk setiap realisasi yang mungkin dari peubah acak
ε , suatu ke-
putusan baru diambil yang tergantung pada keputusan tahap satu. Ekspektasi biaya pada kedua tahap dihitung dan keputusan tahap satu dapat direvisi untuk mencapai ke-
seimbangan biaya keseluruhan yang lebih baik antara tahap 1 dan 2. Proses demikian ini diulang hingga ekspektasi biaya keseluruhan optimal.
Peubah ketidakpastian dengan sebaran kontinu
Di bawah ini diilustrasikan tentang program stokastik linier dengan parameter keti- dakpastian memiliki sebaran kontinu.
23
Tabel 2.4: Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang dengan sebaran kontinu
Padi Jagung
Kacang Hasil Tare
ε
1
ε
2
ε
3
Biaya Tanam Rpare 150
230 280
Harga Jual RpT 170
150 30
≤ 6000T 10
6000T Kebutuhan Minimum T
200 240
Harga Beli RpT 238
210 Luas tanah yang tersedia 500 are
1. ε
1
, ε
2
, ε
3
realisasi hasil vektor acak ε
tersebar bebas 2.
ℓ
i
≤ ε
i
≤ u
i
, i = 1, 2, 3 bersebaran bebas, ℓ
i
adalah batas bawah, dan u
i
adalah batas atas.
Kepadatan P
ε
t =
1 u
i
− ℓ
i
ℓ
i
≤ t ≤ u
i
t ∈ [ℓ
i
, u
i
] Formulasi Program Stokastik
min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
← bagian deterministik tahap I +E
ε
1
, ε
2
, ε
3
238y
1
+ 280y
2
− 170w
1
− 150w
2
− 36w
3
− 10w
4
| {z
}
Bagian stokastik tahap II
Kendala
24
I
x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0 ← kendala deterministik tahap I
II
ε
1
x
1
+ y
1
− w
1
≥ 200 ε
2
x
2
+ y
2
− w
2
≥ 240 w
3
+ w
4
≤ ε
3
x
3
w
3
≤ 6000 y
1
, y
2
, y
3
≥ 0, w
1
, w
2
, w
3
, w
4
≥ 0 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0 ← kendala stokastik tahap II
Dekomposisi program stokastik
min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
+E
ε
1
238y
1
− 170w
1
+ E
ε
2
210y
1
− 150w
2
+ E
ε
3
−36w
3
− 10w
4
Kendala: I
x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0 Padi
y Jagung
y Kacang
y II.1
ε
1
x
1
+ y
1
− w
1
≥ 200 y
1
≥ 0,w
1
≥ 0 II.2
ε
2
x
2
+ y
2
− w
2
≥ 240 y
2
≥ 0,w
2
≥ 0 II.3
w
3
+ w
4
≤ ε
3
x
3
w
3
≤ 6000 w
3
, w
4
≥ 0
dengan y
1
dan w
1
hanya tergantung pada keputusan x
1
dan hasil acak ε
1
padi, y
2
dan w
2
hanya tergantung pada keputusan x
2
dan hasil acak ε
2
padi, dan y
3
dan w
3
hanya tergantung pada keputusan x
3
dan hasil acak ε
3
padi
25 Fungsi Recourse
Q
1
x
1
, ε
1
= min 238y
1
ε
1
− 170w
1
ε
1
Kendala ε
1
x
1
+ y
1
− w
1
≥ 200 Padi
y
1
ε
1
≥ 0,w
1
ε
1
≥ 0 Q
2
x
2
, ε
2
= min 210y
2
ε
2
− 150w
2
ε
2
Jagung Kendala
ε
2
x
2
+ y
2
ε
2
− w
2
ε
2
≥ 240 y
2
ε
2
≥ 0,w
2
ε
2
≥ 0 Q
3
x
3
, ε
3
= min−36w
3
ε
3
− 10w
4
ε
3
Kendala w
3
ε
3
+ w
4
ε
3
≤ ε
3
x
3
Kacang w
3
ε
3
≤ 6000 w
3
ε
3
≥ 0 Bentuk eksplisit fungsi recourse
Padi y
1
ε
1
= −min[ ε
1
x
1
− 200,0],w
1
ε
1
= max[ ε
1
x
1
− 200,0], Q
1
x
1
, ε
1
= −238min[ ε
1
x
1
− 200,0] − 170max[ ε
1
x
1
− 200,0] Jagung
y
2
ε
2
= −min[ ε
2
x
2
− 240,0],w
1
ε
1
= max[ ε
2
x
2
− 240,0] Q
2
x
2
, ε
2
= −210min[ ε
2
x
2
− 240,0] − 150max[ ε
2
x
2
− 240,0] Kacang
w
3
ξ
3
= min[6000, ε
3
x
3
], w
4
ε
3
= max[ ε
3
x
3
− 6000,0] Q
3
x
3
, ε
3
= −36min[6000, ε
3
x
3
] − 10max[ ε
3
x
3
− 6000,0]
26 Jadi formulasi recourse
min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
+E
ε
1
Q
1
x
1
, ε
1
+ E
ε
2
Q
2
x
2
, ε
2
+ E
ε
3
Q
3
x
3
, ε
3
kendala x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 Perhitungan nilai ekspektasi untuk fungsi recourse
Padi: Hasil ε
1
bersebaran uniform P
εε
t =
1 u
i
− ℓ
i
ℓ
i
≤ t ≤ u
i
t ∈ [ℓ
i
, u
i
] Kasus 1. Apabila u
1
, x
1
≤ 200,Q
1
x
1
, ε
1
= −238[x
1
, ε
1
− 200], Q
1
x
1
= E
ε
1
Q
1
x
1
, ε
1
= −238
R
u
1
ℓ
1
tx
1
− 200P
ε
1
tdt = 7600 − 238x
1
¯ ε
1
dengan ¯ ε
1
= u
1
+ x
1
2 dalam nilai ekspektasi dari ε
i
, i = 1, 2, 3 Kasus 2. Apabila
ℓ
1
x
1
≤ 200 ≤ u
1
x
1
, Q
1
x
1
= E
ε
1
Q
1
x
1
, ε
1
= −238
R
u
1
ℓ
1
tx
1
− 200P
ε
1
tdt − 170
R
u
1
200 x
1
tx
1
− 200P
ε
1
tdt = −170¯
ε
1
x
1
− 200 + 34 200 − ℓ
1
x
1 2
u
1
− ℓ
1
x
1
Kasus 3. Apabila200 ≤ ℓ
1
x
1
: Q
1
x
1
, ε
1
= 170x
1
, ε
1
− 200, Q
1
x
1
= E
ε
1
Q
1
x
1
, ε
1
= −170
R
u
1
ℓ
1
tx
1
− 200P
ε
1
tdt = 34000 − 170x
1
¯ ε
1
Dengan cara yang sama diperoleh
27 Untuk Jagung
Q
2
x
2
=
50400 − 210x
2
¯ ε
2
u
2
x
2
≤ 240 −150x
2
ξ
2
− 240 + 30 240 − ℓ
2
x
2 2
u
2
− ℓ
2
x
2
ℓ
2
x
2
≤ 240 ≤ u
2
x
2
36000 − 150x
2
¯ ε
2
240 ≤ ℓ
2
x
2
Untuk Kacang
Q
3
x
3
=
−36x
3
¯ ε
3
u
3
x
3
≤ 6000 −36x
3
¯ ε
3
+ 13 u
3
x
3
− 6000
2
u
3
− ℓ
3
x
3
ℓ
3
x
3
≤ 240 ≤ u
3
x
3
−156000 − 10x
3
¯ ε
3
6000 ≤ ℓ
3
x
3
Jadi dapat dituliskan formulasi global dari program stokastik sebagai persoalan opti- misasi konveks
min 150x
1
+ 230x
2
+ 260x
3
+Q
1
x
1
+ Q
2
x
2
+ Q
3
x
3
kendala x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0 Fungsi Q
i
x
i
konveks, kontinu, dapat diturunkan differentiable yang hanya tergan- tung pada vector keputusan x. Penyelesaian persoalan global optimum dengan menggu-
nakan syarat Karush-Kuhn-Tucker sebagai syarat perlu dan cukup. Dengan mengambil λ
sebagai multiplier dan c
i
sebagai koefisien tujuan tahap pertama komoditi ke - i mak- sudnya padi, jagung dan kacang. Dalam hal c
1
,c
2
,c
3
= 150.230.260 diperlihatkan sebagai berikut
28 Syarat Karush-Kuhn-Tucker KKT
x
i
c
i
+ ∂
∂ x
i
Q
i
x
i
+ λ
= 0 c
i
+ ∂
∂ x
i
Q
i
x
i
+ λ
≥ 0 λ
x
1
+ x
2
+ x
3
− 500 = 0 x
1
+ x
2
+ x
3
≤ 500 x
1
, x
2
, x
3
≥ 0, λ
≥ 0 Perhitungan derivatif
Padi ∂
∂ x
1
Q
1
x
1
=
−238¯ ε
1
u
1
x
1
≤ 200 −34
ℓ
2 1
u
1
− ℓ
1
− 5¯ ε
1
− 40000
u
1
− ℓ
1
x
1
ℓ
1
x
1
≤ 200 ≤ u
1
x
1
36000 − 150x
2
¯ ε
2
200 ≤ ℓ
1
x
1
Jagung ∂
∂ x
2
Q
2
x
2
=
−210¯ ε
2
u
2
x
2
≤ 240 −30
ℓ
2 2
u
2
− ℓ
2
− 5¯ ε
2
− 57600
u
2
− ℓ
2
x
2
ℓ
2
x
2
≤ 240 ≤ u
2
x
2
−150¯ ε
2
240 ≤ ℓ
2
x
2
Kacang ∂
∂ x
3
Q
3
x
3
=
−36¯ ε
3
u
3
x
3
≤ 6000 −36¯
ε
3
+ 13u
2 3
u
3
− ℓ
3
− 468
.10
6
u
3
− ℓ
3
x
2 3
ℓ
3
x
3
≤ 6000 ≤ u
3
x
3
−10¯ ε
2
6000 ≤ ℓ
3
x
3
29 Andaikan bahwa
ℓ
1
= 2, 0, u
1
= 3, 0, ¯ ε
1
= 2, 5 ℓ
2
= 2, 4, u
2
= 3, 6, ¯ ε
2
= 3, 0 ℓ
3
= 16, u
3
= 24, ¯ ε
3
= 20 Dengan memakai teknik enumerasi dapat ditentukan bahwa penyelesaian optimal
harus memenuhi x
1
≥ 100, 200
3 ≤ x
2
≤ 100, 250 ≤ x
3
≤ 375
Dengan menggunakan syarat KKT, diperoleh sistem persamaan −275 +
λ = 0
−76 − 1
, 4410
6
x
2 2
+ λ
= 0 476
− 5
, 8510
7
x
2 3
+ λ
= 0 x
1
+ x
2
+ x
3
= 500 Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier homogen di atas diperoleh nilai optimal
λ
∗
= 275, x
∗ 1
= 135, 83, x
∗ 2
= 85.07, x
∗ 3
= 279, 10