3. Pohon Skenario PROGRAM STOKASTIK

14 yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang dise- but skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan ke- mungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorgan- isasikan ke dalam struktur pohon. Gambar 2.1, memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap. Gambar 2.1: Pohon Skenario Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak. Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh K t , untuk t = 1, . . . . . . T . Buhul di setiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan k t = 1,. . . ,K t untuk semua t. Notasi D t k menyatakan 15 turunan langsung dalam waktu t dari buhul k, sedangkan notasi D t l.k menyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k yang terdiri dari l buhul. Misalnya dalam pohon skenario di Gambar 2.1 D 3 2.1 memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1 paling kiri yang terdiri 2 buhul dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun k dalam tahap T, andaikan P k t merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t = T − 1,...,l, p k t diberikan oleh p k t +1 = ∑ l ∈D t +1 p l t +1 dengan p l = 1 Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk persoalan dimana banyak mengandung faktor acak. Ilustrasi Dasar Perhatikan persoalan program linier PL. yang formulasinya dalam notasi vektor dapat ditulis sebagai min c T x kendala Ax = b x ≥ 0 Dalam model ini nilai parameter c, A dan b tertentu deterministik. Artinya bahwa nilai-nilai ini tidak mengandung ketidakpastian. Misalnya harga suatu peubah untuk be- berapa waktu mendatang dapat diperoleh tidak bergantung pada faktor-faktor ekonomi. Hal ini biasanya secara realita tidak tepat. Selalu saja ada pengaruh ketidakpastian. Apalagi pada kondisi dunia pada dekade ini yang dikarakterisasi oleh ketidakpastian tinggi. Untuk perkembangan ke bentukmodel ketidakpastian perhatikan ilustrasi berikut: 16 Contoh 1 Petani A memiliki sebidang tanah. Ia ingin menamam padi, jagung dan kacang. Yang ingin ia tentukan adalah berapa luas tanah tersebut untuk padi, jagung dan kacang Birge dan Loveaux, 1997 Andaikan data untuk pengolahan tanaman tersebut seperti tabel 2.1 berikut: Tabel 2.1: Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang Padi Jagung Kacang Hasil rata-rata Tare 2.5 3 2.0 Biaya tanaman Rpare 150 230 250 Harga jual RpT 170 150 30 = 6000T 10 6000T Persyaratan minimum T 200 240 Harga beli RpT 238 210 Luas tanah total 500 are Dalam contoh ini simbol T menyatakan satuan berat dalam ton. Peubah keputusan x 1 = luas tanah are untuk padi x 2 = luas tanah are untuk jagung x 3 = luas tanah are untuk kacang w 1 = berat ton padi terjual w 2 = berat ton jagung terjual w 3 = berat ton kacang terjual pada harga yang diinginkan w 4 = berat ton kacang terjual di bawah harga yang diinginkan y 1 = berat ton padi yang dibeli y 2 = berat ton jagung yang dibeli Model PL 17 Problema ini dapat diformulasikan ke dalam model PL deterministik min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 + 238y 1 + 210y 2 − 170w 1 − 150w 2 − 36w 3 − 10w 4 kendala x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 2 .5x 1 + y 1 − w 1 ≥ 200 3x 2 + y 2 − w 2 ≥ 240 w 3 + w 4 ≤ 20x 3 w 3 ≤ 6000 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , y 1 , y 2 ≥ 0 Hasil optimalnya adalah Tabel 2.2: Hasil optimal dari data tabel 2.1 Padi Jagung Kacang Pemakaian tanah are 120 80 300 Hasil T 300 240 6000 Penjualan T 100 - 6000 Pembelian T - - - Total keuntungan 118600 Hasil demikian ini pada dasarnya telah memenuhi keinginan sang petani. 1. Memanfaatkan luas tanah sesuai dengan kuota tanaman kacangan 2. Memanfaatkan luas tanah untuk memenuhi persyaratan terhadap padi dan jagung 3. Tanam padi untuk tanah yang sisa – jual kelebihannya Namun hasil demikian dapat terjadi apabila tidak terjadi hal-hal lain, misalnya cuaca. Disini diandaikan terdapat 3 skenario, yaitu 18 1. Cuaca baik: kenaikan 20 2. Cuaca rata-rata: tetap 3. Cuaca buruk: penurunan 20 Masing-masing skenario memiliki peluang yang sama yaitu 13. Berikut model dengan adanya skenario min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 + 1 3 238y 11 + 210y 21 − 170w 11 − 150w 21 − 36w 31 − 10w 41 + 1 3 238y 12 + 210y 22 − 170w 12 − 150w 22 − 36w 32 − 10w 42 + 1 3 238y 13 + 210y 23 − 170w 13 − 150w 23 − 36w 33 − 10w 43 y i j : = peubah y i pada tahap j , w i j : = peubah w i pada tahap j kendala I x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 II 3x 1 + y 11 − w 11 ≥ 200 3 .6x 2 + y 21 − w 21 ≥ 240 w 31 + w 41 ≤ 24x 3 w 31 ≤ 6000 w 11 , w 21 , w 31 , w 41 ≥ 0 y 11 , y 21 , y 31 ≥ 0 2 .5x 1 + y 12 − w 12 ≥ 200 3x 2 + y 22 − w 22 ≥ 240 w 32 + w 42 ≤ 20x 3 w 32 ≤ 6000 w 12 , w 22 , w 32 , w 42 ≥ 0 y 12 , y 22 , y 32 ≥ 0 2x 1 + y 13 − w 13 ≥ 200 2 .4x 2 + y 23 − w 23 ≥ 240 w 33 + w 43 ≤ 16x 3 w 33 ≤ 6000 w 13 , w 23 , w 33 , w 43 ≥ 0 y 13 , y 23 , y 33 ≥ 0 Skenario 1 Skenario 2 Skenario 3 Hasil optimalnya adalah 19 Tabel 2.3: Hasil optimal data tabel 2.1 dengan skenario cuaca berbeda Padi Jagung Kacang Tahap I Areal Are 170 80 250 s = 1 Hasil Penjualan Pembelian 510 310 - 288 48 - 6000 6000 - s = 2 Hasil Penjualan Pembelian 425 225 - 240 - - 5000 5000 - s = 3 Hasil Penjualan Pembelian 340 140 - 192 - 48 4000 4000 - Total Keuntungan 108390 Selanjutnya pandang vektor acak ξ = ε 1 , ε 2 , ε 3 dibentuk oleh tiga hasil dan ξ diambil pada tiga tiga nilai berbeda ξ 1 , ξ 2 dan ξ 3 yaitu ε 1 1, ε 2 1, ε 3 1, ε 1 2, ε 2 2, ε 3 2, dan ε 1 3, ε 2 3, ε 3 3 berturut-turut. Dalam hal ini ξ tergantung ε atau ξ ε , sedangkan ε tergantung s atau ε atau ε s, sehingga ξ tergantung pada s atau ξ s, dimana s menyatakan sekenario. s = 1 , 2 , 3. Model program stokastik dengan recourse min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 + 3 ∑ s =1 P s 238y 1 s + 210y 2 s − 170w 1 s − 150w 2 s − 36w 3 s − 10w 4 s 20 kendala x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ε 1 sx 1 + y 1 s − w 1 s ≥ 200 ε 2 sx 2 + y 2 s − w 2 s ≥ 240 w 3 s + w 4 s ≤ ε 2 sx 3 w 3 s ≤ 6000 y 1 s, y 2 s, y 3 s ≥ 0, w 1 s, w 2 s, w 3 s, w 4 s ≥ 0 s = skenario , ε i s = hasil tanaman i pada skenario s P s = 1 3 , s = 1, 2, 3       ε 1 1 ε 2 1 ε 3 1 ε 1 2 ε 2 2 ε 3 2 ε 1 3 ε 2 3 ε 3 3       =       3 .0 3.6 24 2 .5 3.0 20 2 .0 2.4 16       Matriks acak Jadi min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 ← bagian deterministik tahap I + 3 ∑ 1 P s 238y 1 s + 210y 2 s − 170w 1 s − 150w 2 s − 36w 3 s − 10w 4 s | {z } Bagian stokastik tahap II kendala x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0      ← kendala deterministik tahap I 21 ε 1 sx 1 + y 1 s − w 1 s ≥ 200 ε 2 sx 2 + y 2 s − w 2 s ≥ 240 w 3 s + w 4 s ≤ ε 2 sx 3 w 3 s ≤ 6000 y 1 s, y 2 s, y 3 s ≥ 0, w 1 s, w 2 s, w 3 s, w 4 s ≥ 0 s = 1, 2, 3                                ← kendala stokastik tahap II Dari bentuk model ini dapat dituliskan fungsi recoursenya adalah Q x 1 , x 2 , x 3 , s = min 238y 1 s + 210y 2 s −170w 1 s −150w 2 s −36w 3 s −10w 4 s kendala ε 1 sx 1 + y 1 s − w 1 s ≥ 200 ε 2 sx 2 + y 2 s − w 2 s ≥ 240 w 3 s + w 4 s ≤ ε 2 sx 3 w 3 s ≤ 6000 y 1 s, y 2 s, y 3 s ≥ 0, w 1 s, w 2 s, y 3 s, y 4 s ≥ 0 Jadi nilai ekspektasi dari fungsi recourse Q x = E ξ Q x, ξ = 3 ∑ i =1 P sQx i , s Sehingga model recourse berbentuk min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 + E ξ Q x, ξ kendala x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 atau secara umum model recourse dua tahap dapat ditulis sebagai 22 min c T x + Qx kendala Ax = b x ≥ 0 secara lebih umum model recourse ini dapat berbentuk min x f 1 x + E ξ [Qx, ξ ] kendala Ax = b x ≥ 0 dimana untuk setiap realisasi w dari ε Q x, w = min y f 2 y, w kendala W wy = hw − vwx y ≥ 0 nilai ekspektasi dari nilai objektif tahap kedua merupakan recourse. Pada tahap pertama sebuah keputusan dibuat didasarkan pada data yang tersedia pada saat itu. Ditahap kedua, untuk setiap realisasi yang mungkin dari peubah acak ε , suatu ke- putusan baru diambil yang tergantung pada keputusan tahap satu. Ekspektasi biaya pada kedua tahap dihitung dan keputusan tahap satu dapat direvisi untuk mencapai ke- seimbangan biaya keseluruhan yang lebih baik antara tahap 1 dan 2. Proses demikian ini diulang hingga ekspektasi biaya keseluruhan optimal. Peubah ketidakpastian dengan sebaran kontinu Di bawah ini diilustrasikan tentang program stokastik linier dengan parameter keti- dakpastian memiliki sebaran kontinu. 23 Tabel 2.4: Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang dengan sebaran kontinu Padi Jagung Kacang Hasil Tare ε 1 ε 2 ε 3 Biaya Tanam Rpare 150 230 280 Harga Jual RpT 170 150 30 ≤ 6000T 10 6000T Kebutuhan Minimum T 200 240 Harga Beli RpT 238 210 Luas tanah yang tersedia 500 are 1. ε 1 , ε 2 , ε 3 realisasi hasil vektor acak ε tersebar bebas 2. ℓ i ≤ ε i ≤ u i , i = 1, 2, 3 bersebaran bebas, ℓ i adalah batas bawah, dan u i adalah batas atas. Kepadatan P ε t =      1 u i − ℓ i ℓ i ≤ t ≤ u i t ∈ [ℓ i , u i ] Formulasi Program Stokastik min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 ← bagian deterministik tahap I +E ε 1 , ε 2 , ε 3 238y 1 + 280y 2 − 170w 1 − 150w 2 − 36w 3 − 10w 4 | {z } Bagian stokastik tahap II Kendala 24 I      x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ← kendala deterministik tahap I II                                ε 1 x 1 + y 1 − w 1 ≥ 200 ε 2 x 2 + y 2 − w 2 ≥ 240 w 3 + w 4 ≤ ε 3 x 3 w 3 ≤ 6000 y 1 , y 2 , y 3 ≥ 0, w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ≥ 0 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 ← kendala stokastik tahap II Dekomposisi program stokastik min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 +E ε 1 238y 1 − 170w 1 + E ε 2 210y 1 − 150w 2 + E ε 3 −36w 3 − 10w 4 Kendala: I    x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 Padi     y Jagung     y Kacang     y II.1    ε 1 x 1 + y 1 − w 1 ≥ 200 y 1 ≥ 0,w 1 ≥ 0 II.2    ε 2 x 2 + y 2 − w 2 ≥ 240 y 2 ≥ 0,w 2 ≥ 0 II.3            w 3 + w 4 ≤ ε 3 x 3 w 3 ≤ 6000 w 3 , w 4 ≥ 0 dengan y 1 dan w 1 hanya tergantung pada keputusan x 1 dan hasil acak ε 1 padi, y 2 dan w 2 hanya tergantung pada keputusan x 2 dan hasil acak ε 2 padi, dan y 3 dan w 3 hanya tergantung pada keputusan x 3 dan hasil acak ε 3 padi 25 Fungsi Recourse Q 1 x 1 , ε 1 = min 238y 1 ε 1 − 170w 1 ε 1 Kendala ε 1 x 1 + y 1 − w 1 ≥ 200 Padi y 1 ε 1 ≥ 0,w 1 ε 1 ≥ 0 Q 2 x 2 , ε 2 = min 210y 2 ε 2 − 150w 2 ε 2 Jagung Kendala ε 2 x 2 + y 2 ε 2 − w 2 ε 2 ≥ 240 y 2 ε 2 ≥ 0,w 2 ε 2 ≥ 0 Q 3 x 3 , ε 3 = min−36w 3 ε 3 − 10w 4 ε 3 Kendala w 3 ε 3 + w 4 ε 3 ≤ ε 3 x 3 Kacang w 3 ε 3 ≤ 6000 w 3 ε 3 ≥ 0 Bentuk eksplisit fungsi recourse Padi y 1 ε 1 = −min[ ε 1 x 1 − 200,0],w 1 ε 1 = max[ ε 1 x 1 − 200,0], Q 1 x 1 , ε 1 = −238min[ ε 1 x 1 − 200,0] − 170max[ ε 1 x 1 − 200,0] Jagung y 2 ε 2 = −min[ ε 2 x 2 − 240,0],w 1 ε 1 = max[ ε 2 x 2 − 240,0] Q 2 x 2 , ε 2 = −210min[ ε 2 x 2 − 240,0] − 150max[ ε 2 x 2 − 240,0] Kacang w 3 ξ 3 = min[6000, ε 3 x 3 ], w 4 ε 3 = max[ ε 3 x 3 − 6000,0] Q 3 x 3 , ε 3 = −36min[6000, ε 3 x 3 ] − 10max[ ε 3 x 3 − 6000,0] 26 Jadi formulasi recourse min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 +E ε 1 Q 1 x 1 , ε 1 + E ε 2 Q 2 x 2 , ε 2 + E ε 3 Q 3 x 3 , ε 3 kendala x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 Perhitungan nilai ekspektasi untuk fungsi recourse Padi: Hasil ε 1 bersebaran uniform P εε t =      1 u i − ℓ i ℓ i ≤ t ≤ u i t ∈ [ℓ i , u i ] Kasus 1. Apabila u 1 , x 1 ≤ 200,Q 1 x 1 , ε 1 = −238[x 1 , ε 1 − 200], Q 1 x 1 = E ε 1 Q 1 x 1 , ε 1 = −238 R u 1 ℓ 1 tx 1 − 200P ε 1 tdt = 7600 − 238x 1 ¯ ε 1 dengan ¯ ε 1 = u 1 + x 1 2 dalam nilai ekspektasi dari ε i , i = 1, 2, 3 Kasus 2. Apabila ℓ 1 x 1 ≤ 200 ≤ u 1 x 1 , Q 1 x 1 = E ε 1 Q 1 x 1 , ε 1 = −238 R u 1 ℓ 1 tx 1 − 200P ε 1 tdt − 170 R u 1 200 x 1 tx 1 − 200P ε 1 tdt = −170¯ ε 1 x 1 − 200 + 34 200 − ℓ 1 x 1 2 u 1 − ℓ 1 x 1 Kasus 3. Apabila200 ≤ ℓ 1 x 1 : Q 1 x 1 , ε 1 = 170x 1 , ε 1 − 200, Q 1 x 1 = E ε 1 Q 1 x 1 , ε 1 = −170 R u 1 ℓ 1 tx 1 − 200P ε 1 tdt = 34000 − 170x 1 ¯ ε 1 Dengan cara yang sama diperoleh 27 Untuk Jagung Q 2 x 2 =              50400 − 210x 2 ¯ ε 2 u 2 x 2 ≤ 240 −150x 2 ξ 2 − 240 + 30 240 − ℓ 2 x 2 2 u 2 − ℓ 2 x 2 ℓ 2 x 2 ≤ 240 ≤ u 2 x 2 36000 − 150x 2 ¯ ε 2 240 ≤ ℓ 2 x 2 Untuk Kacang Q 3 x 3 =              −36x 3 ¯ ε 3 u 3 x 3 ≤ 6000 −36x 3 ¯ ε 3 + 13 u 3 x 3 − 6000 2 u 3 − ℓ 3 x 3 ℓ 3 x 3 ≤ 240 ≤ u 3 x 3 −156000 − 10x 3 ¯ ε 3 6000 ≤ ℓ 3 x 3 Jadi dapat dituliskan formulasi global dari program stokastik sebagai persoalan opti- misasi konveks min 150x 1 + 230x 2 + 260x 3 +Q 1 x 1 + Q 2 x 2 + Q 3 x 3 kendala x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 Fungsi Q i x i konveks, kontinu, dapat diturunkan differentiable yang hanya tergan- tung pada vector keputusan x. Penyelesaian persoalan global optimum dengan menggu- nakan syarat Karush-Kuhn-Tucker sebagai syarat perlu dan cukup. Dengan mengambil λ sebagai multiplier dan c i sebagai koefisien tujuan tahap pertama komoditi ke - i mak- sudnya padi, jagung dan kacang. Dalam hal c 1 ,c 2 ,c 3 = 150.230.260 diperlihatkan sebagai berikut 28 Syarat Karush-Kuhn-Tucker KKT x i c i + ∂ ∂ x i Q i x i + λ = 0 c i + ∂ ∂ x i Q i x i + λ ≥ 0 λ x 1 + x 2 + x 3 − 500 = 0 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 500 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0, λ ≥ 0 Perhitungan derivatif Padi ∂ ∂ x 1 Q 1 x 1 =              −238¯ ε 1 u 1 x 1 ≤ 200 −34 ℓ 2 1 u 1 − ℓ 1 − 5¯ ε 1 − 40000 u 1 − ℓ 1 x 1 ℓ 1 x 1 ≤ 200 ≤ u 1 x 1 36000 − 150x 2 ¯ ε 2 200 ≤ ℓ 1 x 1 Jagung ∂ ∂ x 2 Q 2 x 2 =              −210¯ ε 2 u 2 x 2 ≤ 240 −30 ℓ 2 2 u 2 − ℓ 2 − 5¯ ε 2 − 57600 u 2 − ℓ 2 x 2 ℓ 2 x 2 ≤ 240 ≤ u 2 x 2 −150¯ ε 2 240 ≤ ℓ 2 x 2 Kacang ∂ ∂ x 3 Q 3 x 3 =              −36¯ ε 3 u 3 x 3 ≤ 6000 −36¯ ε 3 + 13u 2 3 u 3 − ℓ 3 − 468 .10 6 u 3 − ℓ 3 x 2 3 ℓ 3 x 3 ≤ 6000 ≤ u 3 x 3 −10¯ ε 2 6000 ≤ ℓ 3 x 3 29 Andaikan bahwa ℓ 1 = 2, 0, u 1 = 3, 0, ¯ ε 1 = 2, 5 ℓ 2 = 2, 4, u 2 = 3, 6, ¯ ε 2 = 3, 0 ℓ 3 = 16, u 3 = 24, ¯ ε 3 = 20 Dengan memakai teknik enumerasi dapat ditentukan bahwa penyelesaian optimal harus memenuhi x 1 ≥ 100, 200 3 ≤ x 2 ≤ 100, 250 ≤ x 3 ≤ 375 Dengan menggunakan syarat KKT, diperoleh sistem persamaan −275 + λ = 0 −76 − 1 , 4410 6 x 2 2 + λ = 0 476 − 5 , 8510 7 x 2 3 + λ = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 500 Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier homogen di atas diperoleh nilai optimal λ ∗ = 275, x ∗ 1 = 135, 83, x ∗ 2 = 85.07, x ∗ 3 = 279, 10

BAB 3 BEBERAPA APLIKASI PERSOALAN CHANCE

CONSTRAINED Walaupun masih terbatas, persoalan chance constraint makin berkembang, beberapa penulis membahas secara teori atau menggunakan dalam kasus-kasus tertentu. Dalam bab ini penulis hanya menyajikan beberapa ringkasan temuan atau bahasan tersebut.

3. 1. Chance Constrained Programming Untuk Analisis Pengelolaan Portofolio

Sharma, dkk 2008 mengajukan chance constrained programming untuk anali- sis pengamanan dan managemen portofolio dengan sebutan MOCCP multi objective chance constrained programming yang model matematikanya dapat dinyatakan seba- gai maks n ∑ j =1 c k j x j , k = 1, 2, . . . , K 1 3.1 min n ∑ j =1 c k j x j , k = K 1 + 1, K 1 + 2, . . . , K 3.2 dengan kendala P n ∑ j =1 c i j x j ≥ 1 − α i , i = 1, 2, . . . , m. 3.3 x j ≥ 0, j = 1,2,...,n, α i ∈ 0,1, i = 1,2,...,m. 3.4 30 31 dimana x j adalah peubah keputusan ke j, c k j , a i j dan b i , adalah peubah acak, α i adalah taraf signifikansi dari kendala probalistik ke i i = 1,2, ... ,m. Fungsi tujuan dengan beberapa kendalanya mengandung peubah acak. Pembentukan model deterministik yang setara dapat dilakukan seperti di bawah ini. Bentuk deterministik nonlinear programming dari persamaaan 3.1- 3.4 dapat diper- oleh seperti berikut: K 1 ∑ k =1 λ k + K ∑ k =K 1 +1 λ ′ k dengan kendala: E z k − n ∑ j =1 c k j x j + φ −1 1 − β k s var z k − n ∑ j =1 c k j x j ] ≤ λ k , k = 1, 2, . . . .K 1 E n ∑ j =1 c k j x j − z ′ k + φ −1 1 − β ′ k s var − n ∑ j =1 c k j x j z ′ k ≤ λ k , k = K 1 + 1, K 1 + 2, . . . .K E n ∑ j =1 a i j x j − b i + φ −1 1 − α i s var − n ∑ j =1 a i j x j − b i ≤ 0, k = 1,2,...,m x j ≥ 0, j = 1,2,...,n, α i ∈ 0,1, i = 1,2,...,m, λ k , λ ′ k ≥ 0 dimana z k = maks n ∑ j =1 c k j x j , k = 1, 2, . . . , K 1 dan z ′ k = min n ∑ j =1 c k j x j , k = K 1 + 1, K 1 + 2 , . . . , K. Beberapa notasi yang digunakan untuk merumuskan model MOCPP multi objec- tive chance constrained programming yang didasarkan pada stok portofolio diberikan sebagai berikut: