1. Proses Formulasi PROGRAM STOKASTIK
12 perbedaan
{permintaan}-{output} produk i. Maka g
+ i
x, ξ
0 berarti bahwa terda- pat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. Dengan mengandaikan
bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema 2.4 misalnya dapat di- interpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema 2.6 dapat
dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan de- ngan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W. Jika dipilih W=I, m
× m identitas matriks, 2.4 menjadi kasus khusus dari 2.6.
Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefinisikan fungsi recourse terhadap 2.5; misalnya, Q
x, ξ
dapat dipilih sebagai Q
x, ξ
= min q
y|H
i
y ≥ g
+ i
x, ξ
, i = 1, ··· ,m; y ∈ Y ⊂ ℜ
¯ n
, dengan q :
ℜ
¯ n
→ ℜ
dan H
i
: ℜ
¯ n
→ ℜ
diandaikan diketahui. Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ek-
spektasi biaya total yaitu, tahap pertama dan biaya recourse, cukup memandang for- mulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan recourse
min
x ∈X
E
˜ ξ
f x, ˜
ξ = min
x ∈X
E
˜ ξ
n g
x, ˜ ξ
+ Qx, ˜ ξ
o .
2.7 Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap-ganda
sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil di tahap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K+1 keputusan sekuensial x
, x
1
, ··· , x
K
x
τ
∈ ℜ
¯ n
τ
, yang harus diambil pada tahap τ
= 0, 1, ··· ,K. Kata “tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai “periode waktu”.
Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objektif dari 2.3 deterministik, yaitu, g
x, ξ
= g x. Pada tahap
τ τ
≥ 1 diketahui realisasi ξ
1
, ··· , ξ
τ
dari vektor acak ˜
ξ
1
, ··· , ˜ ξ
τ
dan keputusan sebelumnya x , ··· ,x
τ −1
, harus diputuskan terhadap x
τ
se- hingga kendala dengan fungsi kendala g
τ
13 g
τ
x , ··· ,x
τ
, ξ
1
, ··· , ξ
τ
≤ 0 dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat x
τ
, yang di- dasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan men-
gandaikan fungsi biaya q
τ
x
τ
, pada tahap τ
≥ 1 diperolah fungsi recourse Q
τ
= x , x
1
, . . . , x
τ −1
, ξ
1
, . . . , ξ
τ
= min
x
τ
{q
τ
x
τ
|g
τ
x , x
1
, . . . , x
τ −1
, ξ
1
, . . . , ξ
τ
≤ 0},
yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆ x
τ
pada waktu τ
tergantung pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap
τ , yaitu,
ˆ x
τ
= ˆx
τ
x , ··· ,x
τ −1
, ξ
1
, ··· , ξ
τ
, τ
≥ 1
. Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap-ganda f
x ,
ξ
1
, ··· , ξ
K
= g x
+
K
∑
τ =1
E
˜ ξ
1
,···,˜ ξ
τ
Q
τ
x , ˆx
1
, ··· , ˆx
τ −1
, ξ
1
, ··· , ξ
τ
menghasilkan deterministik ekivalen untuk problema program stokastik tahap ganda dengan recourse
min
x ∈X
g x
+
K
∑
τ =1
E
˜ ξ
1
,···,˜ ξ
τ
Q
τ
x , ˆx
1
, ··· , ˆx
τ −1
, ˜ ξ
1
, ··· , ˜ ξ
τ
merupakan generalisasi langsung dari program stokastik dua-tahap dengan recourse 2.7.