1. Proses Formulasi PROGRAM STOKASTIK

12 perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka g + i x, ξ 0 berarti bahwa terda- pat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. Dengan mengandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema 2.4 misalnya dapat di- interpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema 2.6 dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau emergency, yang dilaksanakan de- ngan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W. Jika dipilih W=I, m × m identitas matriks, 2.4 menjadi kasus khusus dari 2.6. Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefinisikan fungsi recourse terhadap 2.5; misalnya, Q x, ξ dapat dipilih sebagai Q x, ξ = min q y|H i y ≥ g + i x, ξ , i = 1, ··· ,m; y ∈ Y ⊂ ℜ ¯ n , dengan q : ℜ ¯ n → ℜ dan H i : ℜ ¯ n → ℜ diandaikan diketahui. Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ek- spektasi biaya total yaitu, tahap pertama dan biaya recourse, cukup memandang for- mulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan recourse min x ∈X E ˜ ξ f x, ˜ ξ = min x ∈X E ˜ ξ n g x, ˜ ξ + Qx, ˜ ξ o . 2.7 Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap-ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil di tahap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K+1 keputusan sekuensial x , x 1 , ··· , x K x τ ∈ ℜ ¯ n τ , yang harus diambil pada tahap τ = 0, 1, ··· ,K. Kata “tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai “periode waktu”. Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objektif dari 2.3 deterministik, yaitu, g x, ξ = g x. Pada tahap τ τ ≥ 1 diketahui realisasi ξ 1 , ··· , ξ τ dari vektor acak ˜ ξ 1 , ··· , ˜ ξ τ dan keputusan sebelumnya x , ··· ,x τ −1 , harus diputuskan terhadap x τ se- hingga kendala dengan fungsi kendala g τ 13 g τ x , ··· ,x τ , ξ 1 , ··· , ξ τ ≤ 0 dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat x τ , yang di- dasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan men- gandaikan fungsi biaya q τ x τ , pada tahap τ ≥ 1 diperolah fungsi recourse Q τ = x , x 1 , . . . , x τ −1 , ξ 1 , . . . , ξ τ = min x τ {q τ x τ |g τ x , x 1 , . . . , x τ −1 , ξ 1 , . . . , ξ τ ≤ 0}, yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse ˆ x τ pada waktu τ tergantung pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ , yaitu, ˆ x τ = ˆx τ x , ··· ,x τ −1 , ξ 1 , ··· , ξ τ , τ ≥ 1 . Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap-ganda f x , ξ 1 , ··· , ξ K = g x + K ∑ τ =1 E ˜ ξ 1 ,···,˜ ξ τ Q τ x , ˆx 1 , ··· , ˆx τ −1 , ξ 1 , ··· , ξ τ menghasilkan deterministik ekivalen untuk problema program stokastik tahap ganda dengan recourse min x ∈X g x + K ∑ τ =1 E ˜ ξ 1 ,···,˜ ξ τ Q τ x , ˆx 1 , ··· , ˆx τ −1 , ˜ ξ 1 , ··· , ˜ ξ τ merupakan generalisasi langsung dari program stokastik dua-tahap dengan recourse 2.7.

2. 3. Pohon Skenario

Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun dike- tahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik. Merupakan hal 14 yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang dise- but skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan ke- mungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorgan- isasikan ke dalam struktur pohon. Gambar 2.1, memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap. Gambar 2.1: Pohon Skenario Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak. Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh K t , untuk t = 1, . . . . . . T . Buhul di setiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan k t = 1,. . . ,K t untuk semua t. Notasi D t k menyatakan