83 P
{˜g
2
x ≤ p} ≥
α 4.31
Ekivalen deterministik dapat ditemukan dengan menggunakan fungsi kepadatan pdf =
probability densty function dari p untuk menemukan nilai,
β , dari
α =
Z
. . .
Z
∞ β
pdf
pdp
sehingga jika ˜ g
2
x ≤
β , maka persamaan 4.31 dipenuhi.
Persoalan chance constrained linier dengan parameter stokastik tersebar normal dapat ditangani dengan efisien. Perhatikan, misalnya, kendala berbentuk
P {a
T
Mx + c ≤ b} ≥
α 4.32
dimana a vektor bersebaran normal dengan rataan ¯a dan kovarians P
a
. Dari
a
T
Mx + c merupakan transformasi linear dari a, maka bersebaran normal. Rataan dari a
T
Mx + c adalah ¯a
T
Mx + c dan variansnya Var a
T
Mx + c = Mx + c
T
P
a
Mx + c 4.33
dengan menggunakan 4.33 maka 4.32 dapat diubah ke bentuk normal baku Pr
a
T
Mx + c − ¯a
T
Mx + c
q
Mx + c
T
P
a
Mx + c
≤ b
− ¯a
T
Mx + c
q
Mx + c
T
P
a
Mx + c
≥
α 4.34
dengan menggunakan nilai kepercayaan α
, didapat b
− ¯a
T
Mx + c
q
Mx + c
T
P
a
Mx + c
≥ K
α
4.35
dengan K
α
merupakan fungsi sebaran kumulatif dari sebaran normal baku α
, yang di- simbolkan dengan F
−1
α . Oleh karena itu kendala stokastik 4.32 dapat disusun
84 kembali sebagai kendala deterministik dari 4.35, selanjutnya 4.35 dapat ditulis
¯a
T
Mx + c ≤ b − K
α
q
Mx + c
T
P
a
Mx + c.
4.36
Dengan hanya mengganti a dengan ¯a dalam 4.32 diperoleh pertidaksamaan determi-
nistik
¯a
T
Mx + c ≤ b
yang tidak benar, karena dapat melanggar kendala
a
r
T
Mx + c ≤ b
dimana a
r
adalah realisasi dari peubah acak a, dengan peluang yang tinggi.
4. 2.9. Contoh Model Stokastik Pada Vehicle Routing Problem VRP
Parameter τ
i , j,k
dalam kendala 4.11 dan τ
i
dalam kendala 4.18 menunjukkan keti- dakpastian parameter waktu melintas dan permintaan berturut. Jika ketidakpastian di-
abaikan dan digantikan dengan nilai representatif seperti rataan µ τ
i , j,k
dan µ ζ
i
atau nilai modus, maka dapat memecahkan masalah deterministik. Dalam CCP parameter
τ
i , j,k
dan ζ
i
dianggap tidak diketahui pada saat direncanakan tetapi mengikuti sebaran peluang yang diketahui. Diasumsikan parameter menuruti sebaran seragam dan be-
bas. Misalkan a
D
dan a
T
adalah taraf keyakinan chance constraint permintaan yang belum terpenuhi di setiap node dan waktu kedatangan pengangkutan, maka kendala
dengan parameter stokastik berada dalam sebaran yang diberikan. Dengan sebaran yang diberikan pada
τ
i , j,k
dan ζ
i
, kendala 4.11 dan 4.18 dapat ditulis kembali dalam chance constraint dengan taraf
α
T
dan α
D
sebagai berikut
85 P
{ τ
|T
i ,k
+ τ
i , j,k
− T
j ,k
M} ≥ 1 − α
T
∀i, j ∈ C k ∈ K 4.37
n ζ
|
∑
k ∈K
h
∑
j ∈C
Y
j ,i,k
−
∑
j ∈C
Y
i , j,k
i +U
i
− ζ
i
≥ 0 o
≥ 1 − α
i
∀i ∈ D 4.38
Dalam hal ini diperoleh model CCP yang dimodifikasi berdasarkan model program deterministik deterministic programming DP dengan menggantikan kendala 4.11
dan 4.18 dengan 4.37 dan 4.38. Dalam beberapa asumsi sebarannya kendala 4.37 dan 4.38 dapat ditransformasikan ke dalam bentuk deterministik. Misalnya dianggap
τ dan
ζ mengikuti sebaran bertururt-turut lognormal dengan rataan µ
τ
dan simpangan baku
σ
τ
dan rataan µ
ζ
dan simpangan baku σ
ζ
. Logaritma log τ
, log ζ
menye- bar normal seperti normal
µ
′
τ
, σ
′
τ
dan normalµ
′
ζ
, σ
′
ζ
. Hubungan antara parameter sebaran lognormal dan sebaran normal dinyatakan sebagai µ
′
= log µ −
1 2
σ
′
2
, σ
′
2
= log
µ
2
+ σ
2
µ
2
, dan κ
τ
dan κ
D
menyatakan nilai Z untuk sebaran normal dengan taraf keyak- inan
α
τ
dan α
D
yang disebut faktor kenyamanan safety factors. Karena itu padanan deterministik kendala 4.37 dan 4.38 dapat dinyatakan dengan 4.39 dan 4.40
berikut: T
i ,k
+ e
µ
′ τ
i , j,k
+ κ
T
σ
′ τ
i . j.k
− T
j ,k
≤ 1 − X
i , j,k
M ∀i, j ∈ C k ∈ K 4.39
∑
k ∈K
∑
j ∈C
Y
j ,i,k
−
∑
j ∈C
Y
i , j,k
+U
i
≥ e
µ
′ ζ
i
+ κ
D
σ
′ ζ
i
∀i ∈ D 4.40
Sehubungan dengan CCP 4.25 maka persoalan pada contoh VRP dapat ditulis min
x ∈X
f X, dengan kendala P{Gx,
ξ ≤ 0} ≥ 1 −
ε .
4.41
Formulasi 4.41 mencari vektor keputusan x dari himpunan layak X yang memini- malkan fx dan memenuhi chance constrained G
x, ξ
≤ 0 dengan peluang paling kecil 1
− ε
, dianggap sebaran peluang diketahui. Dengan ilustrasi pada contoh ini, dibu-
