Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
79
Teorema 3.36. Misalkan
N
n a
n
:
adalah barisan bilangan real non negatif sejati.
a. Jika
1 lim
1
n
n n
a a
maka deret tak hingga
1
n n
a
konvergen.
b. Jika
1 lim
1
n
n n
a a
maka deret tak hingga
1
n n
a
divergen.
c. Jika
lim
1
n
n n
a a
maka tidak diperoleh kesimpulan apakah
1
n n
a
konvergen atau divergen.
Bukti. Misalkan
L a
a
n n
n
lim
1
. Misalkan 1
L
, maka terdapat
N sedemikian sehingga untuk setiap
N n
,
L a
a
n n
1
. Karenanya, ...
... ...
...
2 2
1
N
k N
N k
N N
N
a L
a L
La a
a a
. Ruas kanan pertidaksamaan di atas merupakan deret tak hingga geometrik
dengan rasio 1
L
. Akibatnya, menurut Teorema 3.32, deret tak hingga
1
n n
a
konvergen.
Jika 1
L
, kita bisa memperoleh bahwa, untuk suatu
N ,
... ...
... ...
2 2
1
N
k N
N k
N N
N
a L
a L
La a
a a
. Karena
1
L , deret di ruas kanan pertidaksamaan adalah deret yang divergen.
Yang demikian mengakibatkan deret di ruas kiri divergen. Akibatnya, deret tak hingga
1
n n
a
divergen. Untuk
1
L , perhatikan deret tak hingga
1
1
n
n
dan
1
2
1
n
n
. Diperoleh
1 1
1 1
lim
n n
n
dan
1 1
1 1
lim
2 2
n n
n
. Deret tak hingga
1
1
n
n
dan
1
2
1
n
n
adalah deret yang divergen dan konvergen, masing-masing secara berurutan. Jadi untuk
1
L , kita tidak bisa mendapatkan
kesimpulan tentang kekonvergenan suatu deret tak hingga. ■
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
80
BAB IV
LIMIT FUNGSI
4.1 Titik Timbun
Definisi 4.1.
Misalkan
R
A
dan R
c
, dengan
c
tidak harus di A. C di sebut titik timbun A jika
, ,
c
c C
V
memuat paling sedikit satu anggota A yang tidak sama dengan c, atau
A c
c V
} {
.
Contoh 4.2.
1. Misalkan A = 2 , 3 , tentukan titik timbun A. Penyelesaian
2 titik timbun A, karena dengan mengambil sebarang δ = ½ , dimana
2 ,
1 2
2 1
2 1
2 1
V
maka
A V
} 2
{ 2
2 1
. Sehingga dengan mengambil δ 0 dapat disimpulkan
A V
} 2
{ 2
. 2 ½ juga titik timbun A, karena
A
V }
2 {
2 ,
2 1
2 1
. 3 juga titik timbun A, karena
A
V }
3 {
3 ,
. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval [2 , 3] merupakan titik
timbun A. 2. Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5 }, tentukan titik timbun B.
Penyelesaian Ambil δ = ½ , sehingga
1 ,
1
2 1
2 1
2 1
V
. Tetapi
B V
} 1
{ 1
2 1
. Jadi 1 bukan titik timbun B. Begitu juga dengan titik yang lain..
Jadi dapat disimpulkan bahwa B = {1, 2, 3, 4, 5 } tidak mempunyai titik timbun.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
81
Teorema 4.3.
Misalkan
R
A
dan R
c
, c titik timbun A jika dan hanya jika
c a
n c
a a
n n
n n
lim ,
, N
. Bukti:
Misal c titik timbun A. Sehingga
1
c V
n
memuat sedikitnya satu titik di A yang berbeda
dari c.
Jika
n
a
titik tersebut,
maka
c a
n c
a A
a
n n
n n
lim ,
, N
.
Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. ■
4.2 Definisi Limit Fungsi Definisi 4.4.
