Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
38
Kasus I, x
2 .
Kita peroleh
3 3
3 x
x x
dan
2 2
2 x
x x
. Akibatnya,
3 2
3 2
4 x
x x
x
atau 2
3 x
atau
3 2 x
. Untuk kasus
ini, kita tidak mempunyai penyelesaian dari 3
2 4
x x
karena
2
: 2
3 :
x x
x x
R R
.
Kasus II, x
2
3 .
Kita peroleh
3 3
3 x
x x
dan
2 2
x x
.
Akibatnya,
3 2
3 2
4 x
x x
x
atau 5
4
. Pernyataan ini merupakan sesuatu yang mustahil. Jadi untuk kasus ini, kita tidak mempunyai penyelesaian.
Kasus III, x
3 .
Kita peroleh
3 3
x x
dan
2 2
x x
.
Akibatnya,
3 2
3 2
4 x
x x
x
atau 2
5 x
atau
5 2 x
. Untuk kasus ini,
kita tidak mempunyai penyelesaian dari 3
2 4
x x
karena
2
5 :
3 :
x x
x x
R R
.
Secara keseluruhan, kita tidak memiliki solusi untuk ketidaksamaan 3
2 4
x x
.
■
2.3 SIFAT KELENGKAPAN DARI R
Pada subbab ini kita akan membahas sifat ketiga dari R
, yaitu sifat kelengkapan.
Seperti yang telah dikatakan pada pendahuluan bab ini, sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan
bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu batas bawahnya.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
39
Definisi 2.19. Misalkan X
adalah himpunan bagian tak kosong dari R
.
a. Himpunan X
dikatakan terbatas atas jika terdapat R
a
sedemikian sehingga
a x
, untuk setiap
x X
. Bilangan real
a
yang demikian disebut sebagai batas atas dari
X .
b. Himpunan X
dikatakan terbatas bawah jika terdapat R
b
sedemikian sehingga
b x
, untuk setiap
x X
. Bilangan real
b yang demikian disebut
sebagai batas bawah dari X
.
c. Himpunan
X dikatakan terbatas jika
X terbatas atas dan terbatas bawah.
Himpunan X
dikatakan tidak terbatas jika X
tidak terbatas atas atau tidak terbatas bawah.
Sebagai contoh, perhatikan himpunan
:
x
x R
. Setiap elemen pada himpunan
:
b
b R
merupakan batas bawah dari
:
x
x R
. Setiap kita mengambil elemen
:
x x
x R
maka selalu kita dapatkan bahwa 1
x x
, sedangkan
: 1
x x
x R
. Yang demikian mengandung arti bahwa tidak ada
R
a sedemikian sehingga
a x
, untuk setiap
:
x x
x R
. Jadi himpunan
:
x
x R
terbatas bawah tetapi tidak terbatas atas, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas.
Contoh lain, pandang himpunan
1 :
x x
R
. Himpunan
1 :
a a
R
merupakan koleksi semua batas atas dari
1 :
x x
R
. Tidak ada R
b
sedemikian sehingga b
x
, untuk semua
1 :
x
x x
R
, karena setiap kita mengambil
1 :
x
x x
R
maka selalu dapat kita peroleh bahwa 1
x x
,
sedangkan
1 :
1
x
x x
R
. Akibatnya, himpunan
1 :
x x
R
tidak mempunyai batas bawah. Jadi himpunan
1 :
x x
R
terbatas atas tetapi tidak terbatas bawah, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak
terbatas. Berdasarkan paparan sebelumnya, himpunan
1 :
x
x R
memiliki batas atas dan batas bawah, atau dengan kata lain himpunan tersebut merupakan
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
40
himpunan terbatas. Dari batas-batas bawahnya, kita dapat memilih batas bawah yang terbesar, yaitu elemen 0. Sedangkan dari batas-batas atasnya, kita dapat
memilih batas atas yang terkecil, yaitu elemen 1. Berikut ini adalah definisi secara formal dari batas atas terkecil, disebut supremum, dan batas bawah
terbesar, disebut infimum, dari suatu himpunan bilangan real.
Definisi 2.20. Misalkan X
