Teorema Limit Definisi 4.11. Pengantar Analisis Real Bartle and Sherbert AnalisisRealKSA

Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 84 Misalkan fx = sgn x. Perhatikan bahwa          , 1 , , 1 sgn x x x x . Sehingga fungsi sgn x dapat ditulis menjadi , sgn   x x x x . Ambil   N    n n x n n , 1 . Tetapi n n n n n n n n n x x x x f 1 1 1 sgn        , sehingga   n x f divergen. ■

4.3 Teorema Limit Definisi 4.11.

Misalkan R R   A f A : , dan R  c , dengan c titik timbun A. f dikatakan terbatas pada lingkungan c jika ada lingkungan  dari c, yaitu c V  dan konstanta M 0 sehingga . , c V A x M x f      Teorema 4.12. Misalkan R R   A f A : , dan f mempunyai limit di R  c , maka f terbatas pada suatu lingkungan dari c. Definisi 4.13 Misalkan R R R    A g A f A : , : , . Definisikan A x x h x h x f x h f b x bf x bf x g x f x fg x g x f x g f x g x f x g f                     , , , , Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 85 Teorema 4.14. Misalkan R R R    A g A f A : , : , dan R  c , dengan c titik timbun A. Misalkan   b . 1. Jika L x f c x   lim dan M x g c x   lim , maka bL x bf LM x fg M L x g f M L x g f c x c x c x c x             lim lim lim lim 2. Jika lim , , , :        H x h A x x h A h c x R maka . lim H L h f c x         Bukti: 1. Ambil   sebarang. Misal L x f c x   lim , artinya    , 1  untuk 1     c x dan A x  berlaku 2    L x f . Misal M x g c x   lim , artinya    , 2  untuk 2     c x dan A x  berlaku 2    M x g . Akan ditunjukkan M L x g f c x     lim . Pilih , min 2 1     , sehingga untuk     c x dan A x  berlaku M x g L x f M L x g f                  2 2 M x g L x f Jadi terbukti M L x g f c x     lim . ■ 2. Bukti selanjutnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Contoh 4.15. Hitung                6 3 4 lim . 4 lim . 2 2 2 2 x x b x x a x x Jawab. Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 86 a Kita dapat menggunakan teorema 4.13 b, karena jika dimisalkan fx = x + 4 dan hx = x 2 , lim , , 2        H x h x x h x maka 2 3 4 6 lim 4 lim 4 lim 2 2 2 2 2               x x x x x x x b Tidak dapat menggunakan teorema 4.13 b, karena jika dimisalkan        x x x h x x f , 6 3 , 4 2 tetapi 6 3 lim lim 2 2       x x h H x x maka untuk   3 4 2 2 3 1 2 lim 3 1 2 3 1 lim 6 3 4 lim , 2 2 2 2 2                  x x x x x x x x . ■ Teorema 4.16. Misalkan R R   A f A : , dan R  c , dengan c titik timbun A. Jika c x A x b x f a      , dan jika lim x f c x  ada maka b x f a c x    lim . Teorema Apit 4.17. Misalkan R R   A h g f A : , , , dan R  c , dengan c titik timbun A. Jika c x A x x h x g x f      , dan jika lim lim x h L x f c x c x     maka L x g c x   lim . Contoh 4.18. Buktikan bahwa        x x 1 cos lim tidak ada tetapi 1 cos lim         x x x . Bukti. Akan dibuktikan        x x 1 cos lim tidak ada . Misalkan        x x f 1 cos . Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 87 Ambil subbarisan      n n x n , 2 1  dan subbarisan       n n y n , 1 2 1  , dimana 1 2 1 lim , 2 1 lim          n n n n .Tetapi 1 2 cos    n x f n dan 1 1 2 cos      n y f n , sehingga lim lim n n n n y f x f      . Jadi        x x 1 cos lim tidak ada. Akan dibuktikan 1 cos lim         x x x . Perhatikan bahwa x x x x          1 cos dan x x x x      lim lim maka menurut teorema apit 1 cos lim         x x x . ■ Teorema 4.19. Misalkan R R   A f A : , dan R  c , dengan c titik timbun A. Jika lim   x f c x maka c x c V A x x f c V        , ,   . Bukti: Misalkan lim    x f L c x . Pilih 2   L  , sehingga menurut definisi limit fungsi 2 , L L x f A x c x             . Karena 2 L L x f   maka 2 2 L L x f L     atau c x c V A x L x f       , , 2  . ■ Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 88 Soal – soal 1. Misalkan         N n n D : 1 . Tentukan titik timbun D. 2. Misalkan 5 3 , : , 2 ,     x x f A f A R . Buktikan 5 lim   x f x dan 8 lim 1   x f x 3. Buktikan jika R  A f : dan c titik timbun A , R  c maka f hanya mempunyai satu limit di titik c. 4. Buktikan , 1 1 lim    c c x c x . 5. Misalkan R R   A f A : , dan R  c , dengan c titik timbun A. Buktikan jika lim lim       L x f L x f c x c x . 6. Misalkan R R   I f I : , dan I c  . Misalkan I x c x K L x f L K       , Buktikan L x f c x   lim . 7. Buktikan bahwa limit berikut tidak ada 1 sin lim sgn lim 1 lim 1 lim 2 2         x x d x x c x x b x x a x x x x 8. Misalkan R R   A g f A : , , dan R  c , dengan c titik timbun A. Misalkan f terbatas pada lingkungan dari c dan lim   x g c x . Buktikan bahwa lim   x fg c x . 9. Berikan contoh fungsi f dan g dimana fungsi f dan g tidak punya limit di titik c, tetapi f + g dan fg mempunyai limit di titik c. 10. Buktikan teorema 4.15 11. Misalkan R R   A f A : , dan R  c , dengan c titik timbun A. Buktikan jika lim   x f c x maka c x c V A x x f c V        , ,   . Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 89 BAB V KEKONTINUAN FUNGSI 5.1 Definisi Fungsi Kontinu Definisi 5.1.