Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
84
Misalkan fx = sgn x. Perhatikan bahwa
, 1
, ,
1 sgn
x x
x x
.
Sehingga fungsi sgn x dapat ditulis menjadi
, sgn
x x
x x
.
Ambil
N
n n
x
n n
, 1
. Tetapi
n n
n n
n n
n
n n
x x
x x
f 1
1 1
sgn
,
sehingga
n
x f
divergen. ■
4.3 Teorema Limit Definisi 4.11.
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. f dikatakan terbatas pada lingkungan c jika ada lingkungan
dari c, yaitu
c V
dan konstanta M 0 sehingga
. ,
c V
A x
M x
f
Teorema 4.12.
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan f mempunyai limit di R
c
, maka f terbatas pada suatu lingkungan dari c.
Definisi 4.13
Misalkan
R R
R
A g
A f
A :
, :
,
. Definisikan
A x
x h
x h
x f
x h
f b
x bf
x bf
x g
x f
x fg
x g
x f
x g
f x
g x
f x
g f
, ,
, ,
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
85
Teorema 4.14.
Misalkan
R R
R
A g
A f
A :
, :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Misalkan
b .
1. Jika
L x
f
c x
lim
dan
M x
g
c x
lim
, maka
bL x
bf LM
x fg
M L
x g
f M
L x
g f
c x
c x
c x
c x
lim lim
lim lim
2. Jika
lim ,
, ,
:
H x
h A
x x
h A
h
c x
R
maka
. lim
H L
h f
c x
Bukti: 1. Ambil
sebarang. Misal
L x
f
c x
lim
, artinya
,
1
untuk
1
c
x dan
A x
berlaku
2
L
x f
. Misal
M x
g
c x
lim
, artinya
,
2
untuk
2
c
x dan
A x
berlaku
2
M
x g
. Akan ditunjukkan
M L
x g
f
c x
lim
. Pilih
, min
2 1
, sehingga untuk
c
x dan
A x
berlaku
M x
g L
x f
M L
x g
f
2
2 M
x g
L x
f Jadi terbukti
M L
x g
f
c x
lim
. ■
2. Bukti selanjutnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Contoh 4.15.
Hitung
6 3
4 lim
. 4
lim .
2 2
2 2
x x
b x
x a
x x
Jawab.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
86
a Kita dapat menggunakan teorema 4.13 b, karena jika dimisalkan fx = x + 4 dan hx = x
2
,
lim ,
,
2
H x
h x
x h
x
maka
2 3
4 6
lim 4
lim 4
lim
2 2
2 2
2
x x
x x
x x
x
b Tidak dapat menggunakan teorema 4.13 b, karena jika dimisalkan
x
x x
h x
x f
, 6
3 ,
4
2
tetapi
6 3
lim lim
2 2
x x
h H
x x
maka untuk
3 4
2 2
3 1
2 lim
3 1
2 3
1 lim
6 3
4 lim
, 2
2 2
2 2
x x
x x
x
x x
x
. ■
Teorema 4.16.
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Jika
c x
A x
b x
f a
,
dan jika
lim x
f
c x
ada maka
b x
f a
c x
lim
.
Teorema Apit 4.17.
Misalkan
R R
A h
g f
A :
, ,
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Jika
c x
A x
x h
x g
x f
,
dan jika
lim lim
x h
L x
f
c x
c x
maka
L x
g
c x
lim
.
Contoh 4.18.
Buktikan bahwa
x
x
1 cos
lim
tidak ada tetapi
1 cos
lim
x x
x
.
Bukti.
Akan dibuktikan
x
x
1 cos
lim
tidak ada . Misalkan
x
x f
1 cos
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
87
Ambil subbarisan
n
n x
n
, 2
1
dan subbarisan
n n
y
n
, 1
2 1
, dimana
1 2
1 lim
, 2
1 lim
n n
n n
.Tetapi
1 2
cos
n x
f
n
dan
1 1
2 cos
n
y f
n
, sehingga
lim lim
n n
n n
y f
x f
. Jadi
x
x
1 cos
lim
tidak ada.
Akan dibuktikan
1 cos
lim
x x
x
. Perhatikan bahwa
x x
x x
1
cos
dan
x x
x x
lim lim
maka menurut
teorema apit
1 cos
lim
x x
x
. ■
Teorema 4.19.
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Jika
lim
x f
c x
maka
c x
c V
A x
x f
c V
,
,
.
Bukti:
Misalkan
lim
x f
L
c x
. Pilih 2
L
, sehingga menurut definisi limit fungsi
2 ,
L L
x f
A x
c x
. Karena
2 L
L x
f
maka
2 2
L L
x f
L
atau
c x
c V
A x
L x
f
,
, 2
. ■
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
88
Soal – soal
1. Misalkan
N n
n D
: 1
. Tentukan titik timbun D. 2. Misalkan
5 3
, :
, 2
,
x
x f
A f
A R
. Buktikan
5 lim
x f
x
dan
8 lim
1
x f
x
3. Buktikan jika
R
A f :
dan c titik timbun A , R
c
maka f hanya mempunyai satu limit di titik c.
4. Buktikan ,
1 1
lim
c c
x
c x
. 5. Misalkan
R R
A f
A :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Buktikan jika
lim lim
L x
f L
x f
c x
c x
. 6. Misalkan
R R
I f
I :
,
dan I
c
. Misalkan
I x
c x
K L
x f
L K
, Buktikan
L x
f
c x
lim
. 7. Buktikan bahwa limit berikut tidak ada
1 sin
lim sgn
lim 1
lim 1
lim
2 2
x x
d x
x c
x x
b x
x a
x x
x x
8. Misalkan
R R
A g
f A
: ,
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Misalkan f terbatas pada lingkungan dari c dan
lim
x g
c x
. Buktikan bahwa
lim
x fg
c x
. 9. Berikan contoh fungsi f dan g dimana fungsi f dan g tidak punya limit di titik c,
tetapi f + g dan fg mempunyai limit di titik c. 10. Buktikan teorema 4.15
11. Misalkan
R R
A f
A :
,
dan R
c
, dengan c titik timbun A. Buktikan jika
lim
x f
c x
maka
c x
c V
A x
x f
c V
,
,
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
89
BAB V
KEKONTINUAN FUNGSI
5.1 Definisi Fungsi Kontinu Definisi 5.1.