Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
75
yang terbatas. Untuk itu, perhatikan bahwa, jika
1 1
2 :
1 1
n
maka 1
1
n
s , jika
3 1
2 :
2 2
n
maka
2 1
1 2
2 1
3 1
2 1
1
2 2
2
2
n
s ,
dan jika 7
1 2
:
3 3
n
maka
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1 4
4 7
1 6
1 5
1 4
1
2 2
3
n n
n
s s
s .
Secara umum, dengan menggunakan induksi matematika, kita peroleh bahwa jika
1 2
:
k k
n maka
1 2
2 1
... 2
1 2
1 1
k n
k
s
. Karena
2 2
1 1
1 ...
2 1
... 2
1 2
1 1
1 2
k
, maka 2
k
n
s untuk
setiap N
k
. Akibatnya, sub barisan
N
k s
k
n
: terbatas. Dengan demikian,
barisan
N
n s
n
:
terbatas. Menurut Teorema 3.29, deret tak hingga
1
2
1
n
n
konvergen. ■
Kita juga bisa menentukan kekonvergenan suatu deret tak hingga dengan cara membandingkan suku ke-
k pada deret takhingga tersebut dengan suku ke-
k pada deret tak hingga yang lain.
Teorema 3.32 Uji Perbandingan. Misalkan
N
n x
n
:
dan
N
n y
n
:
adalah barisan bilangan real yang bersifat, untuk suatu N
K
,
n n
y x
untuk setiap K
n
.
a. Jika
1
n n
y
konvergen maka
1
n n
x
konvergen.
b. Jika
1
n n
x
divergen maka
1
n n
y
konvergen.
Bukti. Menurut Teorema Cauchy untuk deret tak hingga, jika
1
n n
y
konvergen maka apabila diberikan
terdapat
N
sedemikian sehingga jika
N
n m
maka
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
76
m n
j j
m n
j j
y y
1 1
. Misalkan
N
K M
, sup
:
. Kita peroleh untuk M
n m
,
m n
j j
m n
j j
y x
1 1
.
Menurut Teorema Cauchy untuk deret tak hingga,
1
n n
x
konvergen.
Kontrapositif dari a. adalah b. .
■
Contoh 3.33. Kita akan menunjukkan bahwa deret tak hingga
1 3
1
n
n n
konvergen. Perhatikan bahwa
2 3
1 1
n n
n
untuk setiap
N
n .
Kita ketahui bahwa deret tak hingga
1
2
1
n
n
konvergen. Menurut Uji
Perbandingan,
1 3
1
n
n n
deret tak hingga yang konvergen. ■
Teorema 3.34 Uji Perbandingan Limit. Misalkan
N
n x
n
:
dan
N
n y
n
:
adalah barisan bilangan real positif sejati dan limit
n n
n
y x
L
lim :
Nilainya ada.
a. Untuk
L
,
1
n n
x
konvergen jika dan hanya jika
1
n n
y
konvergen.
b. Untuk
L
, jika
1
n n
y
konvergen maka
1
n n
x
konvergen.
Bukti. Misalkan
L
. Diberikan 2
L
. Karenanya, terdapat
N sedemikian
sehingga untuk
setiap N
n
, 2
L L
y x
n n
atau
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
77
2 3
2 L
y x
L
n n
. Berdasarkan Uji Perbandingan,
1
n n
x
konvergen jika dan hanya jika
1
n n
y
konvergen.
Misalkan
L . Diberikan
1
. Karenanya, terdapat
N sedemikian
sehingga untuk setiap N
n
, 1
n n
y x
atau
n n
y x
. Berdasarkan Uji Perbandingan, jika
1
n n
y
konvergen maka
1
n n
x
konvergen. ■
Perhatikan kembali deret tak hingga
1 3
1
n
n n
pada contoh 3.33. Perhatikan bahwa
1 1
lim 1
1 lim
3 3
2 3
n n
n n
n
n n
. Karena deret tak hingga
1
2
1
n
n
konvergen, maka, menurut Uji Perbandingan Limit, deret tak hingga
1 3
1
n
n n
konvergen.
Ada cara lain, selain menggunakan Teorema 3.29, yaitu dengan menggunakan suatu uji yang disebut sebagai Uji Kondensasi Cauchy, untuk menunjukkan
bahwa deret tak hingga
1
1
n
n
dan
1
2
1
n
n
, masing-masing, divergen dan konvergen, secara berurutan. Bahkan dengan Uji Kondensasi Cauchy kita dapat
menunjukkan secara umum bahwa deret-p,
1
1
n p
n
, konvergen jika
1
p
dan divergen jika
1
p
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
78
Teorema 3.35 Uji Kondensasi Cauchy. Misalkan barisan
N
k a
k
:
nonnegatif dan monoton turun. Deret tak hingga
1
k k
a
konvergen jika dan hanya jika deret tak hingga
1
2
2
k k
k
a
konvergen.
Bukti. Perhatikan jumlah parsial
n k
k n
a s
1
dan
n k
k n
k
a t
1 2
2
. Untuk
k
n 2
,
1 2
2 7
6 5
4 3
2 1
... ...
k k
a a
a a
a a
a a
a s
n k
k
t a
a a
a
k
2 2
2 2
1
2 ...
2 2
2
. Jelas jika
1
2
2
k k
k
a
konvergen maka
1
k k
a
konvergen.
Untuk
k
n 2
,
k k
a a
a a
a a
s
n 2
1 2
4 3
2 1
... ...
1
2 2
... 2
2
2 1
2 2
1
2
k k
t a
a a
a
k
. Seperti halnya di atas, jika
1
k k
a
konvergen maka
1
2
2
k k
k
a
konvergen. ■
Untuk
p
, jelas bahwa
1 lim
p n
n
. Dengan menggunakan Teorema 3.27, deret tak hingga
1
1
n p
n
divergen untuk
p
. Perhatikan bahwa
1 1
1
2 2
2
k k
p k
p k
k
dengan
p
. Dengan menggunakan Uji Kondensasi Cauchy, dapat ditunjukkan bahwa bahwa
deret-p,
1
1
n p
n
, konvergen jika
1
p
dan divergen jika
1
p
Detail penjelasan fakta ini ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca.
Kita pun dapat menunjukkan kekonvergenan suatu deret tak hingga dengan membandingkan dua suku pada deret tak hingga tersebut.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
79
Teorema 3.36. Misalkan
N
n a
n
:
adalah barisan bilangan real non negatif sejati.
a. Jika
