Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
71
Teorema 3.25. Jika
N
n x
n
:
dan
N
n y
n
:
adalah barisan bilangan real positif yang memenuhi
L y
x
n n
n
lim
dengan R
L
dan
L maka diperoleh bahwa
n n
x lim
jika dan hanya jika
n n
y lim
.
Bukti. Karena
L y
x
n n
n
lim
, maka jika diberikan 2
L
terdapat
N sedemikian sehingga untuk setiap
N n
berlaku
2 L
L y
x
n n
atau
2 3
2 L
y x
L
n n
atau
n n
n
y L
x y
L 2
3 2
. Akibatnya, kita mempunyai bahwa
n n
x y
L
2
dan
n n
y x
L
3 2
untuk N
n
. Berdasarkan Teorema 2.24, jika
n n
x lim
maka
n n
y lim
dengan menggunakan fakta
n n
y x
L
3 2
untuk N
n
. Dengan Teorema yang sama, jika
n n
y lim
maka
n n
x lim
dengan menggunakan fakta
n n
x y
L
2
untuk N
n
. Jadi
n n
x lim
jika dan hanya jika
n n
y lim
. ■
3.6 DERET TAK HINGGA
Misalkan
N
n
x X
n
: :
adalah barisan bilangan real. Dari suku-suku barisan dari
X kita bisa mengonstruksi barisan lain
N
n
s S
n
: :
dengan
n n
x x
x x
s
... :
3 2
1
dengan N
n
. Barisan
S yang demikian dinamakan sebagai deret tak hingga atau deret saja
yang dibangkitkan oleh barisan
N
n
x X
n
: :
. Bilangan
n
s
disebut sebagai jumlah parsial dari derat tak hingga. Bilangan
n
x
disebut sebagai suku dari deret tak hingga. Jika
n n
s
lim
ada maka S
dikatakan sebagai deret tak hingga yang konvergen dan limit tersebut disebut sebagai jumlah deret tak hingga
S atau
jumlah dari
... ...
3 2
1
n
x x
x x
. Deret tak hingga S
dapat pula dinotasikan dengan
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
72
1
n n
x
atau
n
x .
Jadi jika
n n
s
lim
ada maka
1
lim
n n
n n
x s
. Kemudian, jika
n n
s
lim
tidak ada maka S
dikatakan sebagai deret tak hingga yang divergen.
Contoh 3.26. Kita akan memperlihatkan bahwa deret tak hingga
... 8
1 4
1 2
1 2
1
1
n n
adalah deret yang konvergen. Perhatikan bahwa
... 16
1 8
1 4
1 2
1 2
1
1
n n
. Akibatnya,
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
1 1
1 1
n n
n n
n n
n n
. Dengan demikian,
... 8
1 4
1 2
1 2
1
1
n n
Adalah deret yang konvergen. ■
Dapat ditunjukkan bahwa deret
1 ...
3 2
1
r ar
ar ar
ar ar
n n
jika 1
r
coba pembaca buktikan. Deret yang demikian dinamakan deret deret geometrik.
Jelas bahwa deret tak hingga
... 5
3 1
1 2
1
n
n
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
73
adalah salah satu contoh deret tak hingga yang divergen karena jumlah deret tersebut tidak terbatas..
Tentunya bukanlah sesuatu yang mudah untuk menunjukkan suatu deret tak hingga adalah deret yang konvergen. Melalui fakta-fakta berikut ini, kita akan
diberikan syarat perlu untuk kekonvergenan deret tak hingga.
Teorema 3.27. Jika deret tak hingga
1
n n
x
konvergen maka
lim
n n
x
.
Bukti. Jika
n n
x x
x x
s
...
3 2
1
maka
1 3
2 1
1
...
n n
x x
x x
s
. Akibatnya,
n n
n
x s
s
1
. Jika deret tak hingga
1
n n
x
konvergen maka
lim lim
lim lim
lim lim
1 1
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
x x
s s
x s
s
. ■
Pandang barisan jumlah parsial
N
n s
n
:
dengan
n n
x x
x x
s
...
3 2
1
. Jika deret tak hingga
1
n n
x
konvergen maka
N
n s
n
:
adalah barisan yang konvergen. Menurut Kriteria Cauchy untuk barisan, kita memperoleh fakta seperti
yang tertuang dalam teorema berikut ini.
Teorema 3.28 Kriteria Cauchy untuk Deret Tak Hingga. Barisan
N
n s
n
:
atau deret tak hingga
1
n n
x
konvergen jika dan hanya jika untuk setiap
terdapat
N
sedemikian sehingga jika
N
n m
maka
m n
j j
n m
x s
s
1
.
Jika
N
n x
n
:
adalah barisan nonnegatif maka barisan jumlah parsial
N
n s
n
:
adalah barisan
yang monoton
naik. Menurut
Teorema
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
74
Kekonvergenan Monoton, jika
N
n s
n
:
adalah barisan terbatas mala
N
n s
n
:
adalah barisan yang konvergen.
Teorema 3.29. Misalkan
N
n x
n
:
adalah barisan nonnegatif. Barisan jumlah parsial
N
n s
n
:
adalah barisan terbatas jika dan hanya jika
N
n s
n
:
adalah barisan yang konvergen atau deret tak hingga
1
n n
x
adalah konvergen. Lebih jauh,
N
n s
s x
n n
n n
n
: sup
lim
1
.
Contoh 3.30. Perhatikan deret tak hingga
1
1
n
n
. Kemudian, perhatikan pula bahwa
n
n
n
s 2
1 ...
1 2
1 ...
4 1
3 1
2 1
1
1 2
n n
2 1
... 2
1 ...
4 1
4 1
2 1
1
2 1
... 2
1 2
1 1
2 1
n
.
Berdasarkan hal tersebut,
N
n s
n
:
adalah barisan tak terbatas. Menurut Teorema 3.29, deret tak hingga
1
1
n
n
divergen. ■
Contoh 3.31. Kita akan menunjukkan bahwa deret tak hingga
1
2
1
n
n
konvergen. Barisan jumlah parsial dari deret tak hingga tersebut adalah barisan yang
monoton naik. Untuk menunjukkan barisan jumlah parsial terbatas, cukup dengan menunjukkan terdapat sub barisan dari
N
n s
n
:
, yaitu
N
k s
k
n
: ,
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
75
yang terbatas. Untuk itu, perhatikan bahwa, jika
1 1
2 :
1 1
n
maka 1
1
n
s , jika
3 1
2 :
2 2
n
maka
2 1
1 2
2 1
3 1
2 1
1
2 2
2
2
n
s ,
dan jika 7
1 2
:
3 3
n
maka
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1 4
4 7
1 6
1 5
1 4
1
2 2
3
n n
n
s s
s .
Secara umum, dengan menggunakan induksi matematika, kita peroleh bahwa jika
1 2
:
k k
n maka
1 2
2 1
... 2
1 2
1 1
k n
k
s
. Karena
2 2
1 1
1 ...
2 1
... 2
1 2
1 1
1 2
k
, maka 2
k
n
s untuk
setiap N
k
. Akibatnya, sub barisan
N
k s
k
n
: terbatas. Dengan demikian,
barisan
N
n s
n
:
terbatas. Menurut Teorema 3.29, deret tak hingga
1
2
1
n
n
konvergen. ■
Kita juga bisa menentukan kekonvergenan suatu deret tak hingga dengan cara membandingkan suku ke-
k pada deret takhingga tersebut dengan suku ke-
k pada deret tak hingga yang lain.
Teorema 3.32 Uji Perbandingan. Misalkan
N
n x
n
:
dan
N
n y
n
:
adalah barisan bilangan real yang bersifat, untuk suatu N
K
,
n n
y x
untuk setiap K
n
.
a. Jika
