Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
40
himpunan terbatas. Dari batas-batas bawahnya, kita dapat memilih batas bawah yang terbesar, yaitu elemen 0. Sedangkan dari batas-batas atasnya, kita dapat
memilih batas atas yang terkecil, yaitu elemen 1. Berikut ini adalah definisi secara formal dari batas atas terkecil, disebut supremum, dan batas bawah
terbesar, disebut infimum, dari suatu himpunan bilangan real.
Definisi 2.20. Misalkan X
adalah himpunan bagian tak kosong dari R
.
a. Misalkan X
terbatas atas. Elemen R
a
dikatakan supremum dari X
jika memenuhi syarat-syarat :
1
a
adalah batas atas dari X
2 a
v
, untuk setiap
v
, batas atas dari X
.
b. Misalkan X
terbatas bawah. Elemen R
b
dikatakan infimum dari X
jika memenuhi syarat-syarat :
1 b
adalah batas bawah dari X
2 b
w
, untuk setiap
w
, batas bawah dari X
. Selanjutnya, mungkin timbul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum
infimum dengan maksimum minimum? Contoh sebelumnya tentang himpunan
1 :
x
x R
, bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan
1 :
x
x R
tidaklah mempunyai minimum dan maksimum, karena tidak ada
1 :
,
x
x M
m R
sedemikian sehingga m
x
dan M
x
, untuk setiap
1 :
x x
x R
. Sedangkan untuk supremum dan infimum, himpunan
1 :
x
x R
memilikinya, yaitu 1 dan 0, masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan maksimum haruslah elemen dari himpunan
yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak
termasuk ke dalam himpunan yang bersangkutan. Himpunan
1 :
x
x R
memiliki infimum dan supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam himpunan
1 :
x
x R
. Selanjutnya, kita akan memberikan formulasi lain dari definisi supremum dan
infimum pada definisi 2.20. Kita mulai dengan definisi supremum. Elemen
a
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
41
adalah batas atas dari X
ekuivalen dengan a
x
, untuk setiap x
X
. Pernyataan
a v
, untuk setiap
v
, batas atas dari X
, mengandung arti bahwa jika
z a
maka
z
adalah bukan batas atas dari X
. Jika
z
adalah bukan batas atas dari
X maka terdapat
z
x X
sedemikian sehingga
z
x z
. Jadi kita
mempunyai fakta bahwa jika
z a
maka terdapat
z
x X
sedemikian sehingga
z
x z
. Selanjutnya, jika diberikan
maka
a a
. Dengan menggunakan fakta sebelumnya, maka terdapat
x X
sedemikian sehingga
x a
. Jadi kita memperoleh fakta baru, yang ekuivalen dengan fakta
sebelumnya, yaitu untuk setiap
0 terdapat
x X
sedemikian sehingga
x a
. Dengan demikian kita memperoleh fakta-fakta yang ekuivalen dengan definisi 2.20.
Teorema 2.21. Elemen R
a
, batas atas dari X
, himpunan bagian tak kosong dari
R , adalah supremum dari
X jika dan hanya jika apabila
z a
maka
terdapat
z
x X
sedemikian sehingga
z
x z
.
Teorema 2.22. Elemen R
a
, batas atas dari X
, himpunan bagian tak kosong dari
R , adalah supremum dari
X jika dan hanya jika untuk setiap
terdapat
x X
sedemikian sehingga
x a
.
Fakta-fakta serupa yang berkaitan dengan elemen infimum adalah sebagai berikut.
Teorema 2.23. Elemen R
b
, batas bawah dari X
, himpunan bagian tak kosong dari
R , adalah infimum dari
X jika dan hanya jika apabila
z b
maka
terdapat
z
x X
sedemikian sehingga
z
x z
.
Teorema 2.24. Elemen R
b
, batas bawah dari X
, himpunan bagian tak kosong dari
R
, adalah infimum dari X
jika dan hanya jika untuk setiap
terdapat
x X
sedemikian sehingga
x b
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
42
Bukti Teorema 2.23 dan Teorema 2.24 ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.
Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum atau infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan
R
v u,
adalah supremum dari himpunan yang terbatas atas
U . Untuk menunjukkan bahwa
supremum dari U
adalah tunggal, berarti kita harus menunjukkan bahwa
u v
. Untuk menunjukkannya, perhatikan bahwa
u w
dan
v w
, untuk setiap
w
, batas atas dari
U . Karena
u
dan
v
juga batas atas dari U
, kita memiliki u
v
dan v
u
. Yang demikian berarti
u v
atau supremum dari U
adalah tunggal. Dengan mudah, dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu himpunan
yang terbatas bawah juga tunggal. Berdasarkan semua penjelasan pada subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma
yang sangat esensial. Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari
R , atau biasa juga disebut sifat supremum dari
.
Aksioma 2.25 Sifat Kelengkapan dari R
. Setiap himpunan bagian dari R
yang terbatas atas memiliki supremum di
R .
Aksioma tersebut mengatakan bahwa R
, digambarkan sebagai himpunan titik- titik pada suatu garis, tidaklah “berlubang”. Sedangkan himpunan bilangan-
bilangan rasional
Q
, sebagai himpunan bagian dari R
yang juga memenuhi sifat aljabar lapangan dan terurut, memiliki “lubang”. Inilah yang membedakan
R dengan
Q
. Karena tidak “berlubang” inilah, R
, selain merupakan lapangan terurut, juga mempunyai sifat lengkap. Oleh karena itu,
R disebut sebagai
lapangan terurut yang lengkap. Penentuan supremum dari himpunan
2 ,
: :
2
t t
t T
Q
bisa dijadikan ilustrasi untuk menjelaskan terminologi “lubang” pada himpunan
Q
. Supremum dari
Q
T
yaitu
2
, yang merupakan akar dari persamaan
2
2 x
, bukanlah bilangan rasional. Bilangan
2
ini merupakan salah satu “lubang” pada
Q
. Maksudnya, supremum dari
Q
T
adalah
2
yang bukan merupakan elemen dari
Q
. Sehingga dapat dikatakan
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
43
bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku pada
Q
. Tetapi jika kita bekerja pada
R
, yang demikian tidak akan terjadi. Sekarang, misalkan
V adalah himpunan yang terbatas bawah, artinya terdapat
R
l sedemikian sehingga
l x
, untuk setiap
x V
. Darinya, kita memperoleh bahwa
l x
, untuk setiap
x V
. Dengan demikian, himpunan
: x x V
terbatas atas. Menurut Aksioma 2.25., himpunan
: x x V
memiliki supremum. Misalkan
s
adalah supremum dari
: x x V
. Yang demikian berarti
s x
, untuk setiap
x V
, dan s
r
, untuk setiap
r
, batas atas dari
: x x V
. Darinya, kita memiliki s
x
, untuk setiap x V
, dan
s r
,
untuk setiap
r
, batas atas dari
: x x V
. Dapat ditunjukkan bahwa
r
batas atas dari
: x x V
jika dan hanya jika
r
adalah batas bawah dari V
. Jadi kita memiliki
s x
, untuk setiap
x V
, dan s
t
, untuk setiap
t
, batas bawah dari
V , atau dengan kata lain,
s
adalah infimum dari himpunan V
. Berdasarkan penjelasan tersebut, kita memiliki hal yang serupa dengan Aksioma
2.25, yaitu bahwa setiap himpunan bagian dari
R
yang terbatas bawah memiliki infimum di
R .
Contoh 2.26. Tentukan supremum dari himpunan
1 :
x
x S
R
.
Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa sup S
, supremum dari S
, adalah 1. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa :
1. Batas atas dari S
adalah 1, atau 1
x
, untuk setiap x
S
. 2.
1 v
, untuk setiap
v
, batas atas dari S
. Jelas bahwa 1 adalah batas atas dari
S . Selanjutnya, misalkan
1 v
. Perhatikan
elemen 1 2
2 v
. Dapat ditunjukkan bahwa
1 2 2 1
v v
. Artinya, setiap
elemen 1
v
bukanlah batas atas dari S
. Jelas bahwa
v
batas atas dari S
jika dan hanya jika
1 v
. Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 1 merupakan batas
atas terkecil dari S
. Dengan demikian, 1 merupakan supremum dari S
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
44
Selanjutnya, kita akan menggunakan Teorema 2.21 untuk menunjukkan 1 adalah supremum dari
S . Jika
1 v
, berdasarkan pembahasan tadi, dengan memilih
1 2 2
v
s v
, kita peroleh bahwa
v
s S
dan
v
v s
. Jadi 1 merupakan supremum dari
S .
Kita akan coba cara lain untuk menunjukkan bahwa 1 merupakan supremum dari S
, seperti yang tertulis pada Teorema 2.22. Diberikan
. Di sini kita akan
memilih apakah ada
s S
sedemikian sehingga
1 s
pemilihan
s
yang demikian tidaklah unik. Jika kita memilih
1 2
s
maka kita memperoleh apa yang kita harapkan, karena jelas bahwa
1 2 1
s
, atau dengan kata lain
s S
dan
1 1
2 s
. Yang demikian selalu mungkin untuk sembarang
yang diberikan. Jadi memang 1 adalah supremum dari
S .
■
Contoh 2.27. Tentukan infimum dari
:
x x
I R
.
Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa inf I
, infimum dari I
, adalah 0. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa :
1. Batas bawah dari I
adalah 0, atau x
, untuk setiap
x I
.
2. w
, untuk setiap
w
, batas bawah dari I
. Jelas 0 merupakan batas bawah dari
I . Berikutnya, misalkan
w
. Perhatikan bahwa
2 w
w
. Di sini
2 w
I
. Artinya, jika w
maka
w
bukan batas bawah dari
I . Jelas bahwa
w
jika dan hanya jika
w
adalah batas bawah dari
I . Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah terbesar dari
I .
Berikutnya, kita akan menggunakan Teorema 2.23 untuk menunjukkan 0 adalah infimum dari
I . Misalkan
w
. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dengan memilih
2
w
i w
, kita peroleh bahwa
w
i I
dan
w
i w
. Akibatnya, 0 adalah infimum dari
I .
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
45
Cara lain, adalah dengan menunjukkan seperti apa yang tercantum pada Teorema 2.24. Diberikan
. Kita akan memilih apakah ada
i I
sedemikian sehingga
i
. Jika
2 i
maka
i I
dan
i
. Hal ini selalu mungkin untuk sembarang
yang diberikan. Dengan demikian, 0 adalah
infimum dari I
. ■
Contoh 2.28. Tunjukkan bahwa jika himpunan
R
S
terbatas atas dan a
maka supremum dari
: :
aS as s
S
, sup
aS a
sup
S .
Penyelesaian. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kita
mulai dengan cara yang pertama, yaitu bahwa kita harus menunjukkan bahwa
a
sup S
adalah batas atas dari aS
atau
a
sup S
as
, untuk setiap s
S
, dan
a
sup S
v
, untuk setiap
v
, batas atas dari aS
. Karena S
adalah himpunan yang terbatas atas,
S mempunyai supremum, menurut sifat Kelengkapan dari
R .
Karenanya, sup S
s
, untuk setiap s
S
. Karena a
,
a
sup S
as
, untuk setiap
s S
. Artinya,
a
sup S
adalah batas atas dari aS
. Akibatnya, aS
memiliki supremum. Selanjutnya, misalkan
w
adalah sembarang batas atas dari aS
atau w
as
, untuk setiap s
S
. Karena a
, kita peroleh bahwa
w a s
,
untuk setiap s
S
. Di sini w a
adalah batas atas dari S
. Akibatnya, w a
sup
S atau
w a
sup
S . Kita peroleh bahwa
a
sup S
w
, untuk setiap
w
, batas atas dari
aS . Jadi sup
aS a
sup
S .
Cara kedua untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menunjukkan bahwa
a
sup S
adalah batas atas dari aS
dan untuk setiap
v a
sup S
terdapat
v
s aS
sedemikian sehingga
v
v s
. Telah ditunjukkan bahwa
a
sup S
adalah batas atas dari
aS . Sekarang, misalkan
v a
sup S
. Karena a
,
v a
sup S
. Akibatnya, terdapat
v a
s S
sedemikian sehingga
v a
v a s
. Karenanya, kita memperoleh
v a
v as
. Di sini jelas bahwa
v a
as aS
. Dengan memilih
v v a
s as
, kita mempunyai
v
s aS
dan
v
v s
. Jadi
S a
aS sup
sup
. ■
Lebih jauh, kita akan melihat bagaimana sifat kelengkapan dari R
ini digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan asli
N tidak mempunyai
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
46
batas atas. Artinya tidak terdapat R
x
sedemikian sehingga n
x
, untuk setiap
N
n , atau dengan kata lain jika diberikan
R
x terdapat
N
x
n
sedemikian sehingga
x
n x
.
Teorema 2.29 Sifat Archimedean. Jika R
x
maka terdapat
N
x
n
sedemikian sehingga
x
n x
.
Bukti. Andaikan N
memiliki batas atas atau terdapat R
x
sedemikian sehingga
n x
, untuk setiap
N
n . Akibatnya,
x
adalah batas atas dari N
. Menurut sifat kelengkapan dari
R ,
N memiliki supremum. Misalkan supremum
dari N
itu adalah
a
. Perhatikan bahwa 1
a a
. Karena
1 a
jelas bukan batas
atas dari N
, maka terdapat N
m
sedemikian sehingga 1
a m
. Darinya kita
memiliki bahwa 1
a m
. Perhatikan bahwa
N
1 m
. Yang demikian mengakibatkan bahwa
a
bukan batas atas dari N
. Hal ini kontradiksi dengan asumsi di awal bahwa
a
adalah supremum dari N
, yang tiada lain juga merupakan batas atasnya. Jadi himpunan
N tidak memiliki batas atas atau Jika
R
x maka terdapat
N
x
n
sedemikian sehingga
x
n x
. ■
Sekarang, misalkan t
. Kita peroleh bahwa
1 t
. Menurut sifat
Archimedean, terdapat N
n
, yang bergantung pada 1 t
bisa juga dikatakan bergantung pada
t
, sedemikian sehingga 1
n t
, atau juga bisa ditulis sebagai
1 n t
. Berdasarkan pembahasan ini, kita memiliki akibat berikut.
Akibat 2.30. Jika t
maka terdapat
N
t
n
sedemikian sehingga
0 1
t
n t
Selain Akibat 2.30, sifat Archimedean memilki konsekuensi lain, seperti yang dinyatakan pada akibat berikut ini.
Akibat 2.31. Jika
y
maka terdapat N
y
n sedemikian sehingga
1
y y
n y
n
.
Bukti. Misalkan
m y
m E
y
:
: N
dengan
R
y
. Sifat Archimedean menjamin bahwa himpunan
y
E tidaklah kosong. Karena
y
E himpunan bagian
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
47
dari N
dan tidak kosong, maka menurut sifat well-ordering dari R
,
y
E mempunyai elemen terkecil. Misalkan elemen terkecil itu adalah
y
n . Karena
y
n adalah elemen terkecil dari
y
E , maka
1
y y
n E
atau
y n
y
1
. Dengan demikian
1
y y
n y
n
. ■
Jika kita memiliki dua buah sembarang bilangan rasional yang berbeda, secara intuitif kita akan mengatakan bahwa di antara keduanya juga terdapat bilangan
rasional yang lain dan jumlahnya bisa tak berhingga. Dengan kata lain, himpunan semua bilangan rasional
Q
adalah himpunan yang rapat. Secara formal, memang dapat dibuktikan bahwa
Q
memiliki sifat yang demikian.
Teorema 2.32. Jika
Q
y x,
dan x
y
maka terdapat bilangan rasional
r
sedemikian sehingga x
r y
.
Bukti. Misalkan x
. Akibatnya,
y
. Menurut Akibat 2.30, terdapat
N
p
sedemikian sehingga
1 p y
. Bilangan rasional
: 1 r
p
memenuhi x
r y
.
Berikutnya, misalkan x
. Darinya, kita memiliki
y x
. Berdasarkan Akibat 2.30, terdapat
N
m sedemikian sehingga
1 m y
x
. Karenanya,
1 my
mx
atau
1 mx my
. Pandang mx
. Menurut Akibat 2.31, terdapat
N
n sedemikan sehingga
1 n
mx n
. Dari 1
n mx
kita memperoleh
1 n
mx
, sehingga
1 n
mx my
. Dari
mx n
kita memperoleh mx
n my
. Akibatnya,
x n m
y
. Bilangan rasional :
r n m
memenuhi
x r
y
.
Terakhir, misalkan x
atau
x
. Akibatnya,
y x
. Dengan cara serupa seperti pada kasus
x
, kita bisa mendapatkan bilangan rasional
r
sedemikian sehingga
x r
y
. ■
Kita juga memiliki fakta lain, yang analog dengan teorema 2.32, untuk himpunan bilangan-bilangan irasional.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
48
Akibat 2.33. Jika
R
y x,
dan x
y
maka terdapat bilangan irasional
z
sedemikian sehingga x
z y
.
Bukti. Dari hipotesis kita dapatkan bahwa R
2
, 2
y x
dan 2
2 x
y
. Menurut Teorema 2.32, terdapat bilangan rasional
r
sedemikian sehingga 2
2 x
r y
atau
2 x
r y
. Bilangan
: 2
z r
merupakan bilangan irasional dan memenuhi
x z
y
. ■
2.4 INTERVAL
