Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
48
Akibat 2.33. Jika
R
y x,
dan x
y
maka terdapat bilangan irasional
z
sedemikian sehingga x
z y
.
Bukti. Dari hipotesis kita dapatkan bahwa R
2
, 2
y x
dan 2
2 x
y
. Menurut Teorema 2.32, terdapat bilangan rasional
r
sedemikian sehingga 2
2 x
r y
atau
2 x
r y
. Bilangan
: 2
z r
merupakan bilangan irasional dan memenuhi
x z
y
. ■
2.4 INTERVAL
Pada subbab ini kita membahas suatu himpunan bagian dari R
yang dikonstruksi berdasarkan sifat terurut dari
R . Himpunan bagian ini dinamakan
sebagai interval.
Definisi 2.34. Misalkan
R
b a,
dengan a
b
.
a. Interval buka yang dibentuk dari elemen
a
dan b
adalah himpunan
b x
a x
b a
: :
, R
.
b. Interval tutup yang dibentuk dari elemen
a
dan b
adalah himpunan
b x
a x
b a
: :
, R
.
c. Interval setengah buka atau setengah tutup yang dibentuk dari elemen
a
dan b
adalah himpunan
b x
a x
b a
: :
, R
atau
b x
a x
b a
: :
, R
. Semua jenis interval pada Definisi 2.34 merupakan himpunan yang terbatas dan
memiliki panjang interval yang didefinisikan sebagai b a
. Jika
a b
maka
himpunan buka
, a a
dan himpunan tutup
, a a
a
, yang dinamakan dengan himpunan singleton. Elemen
a
dan b
disebut titik ujung interval. Selain interval terbatas, terdapat pula interval tak terbatas. Pada interval tak
terbatas ini, kita dikenalkan dengan simbol
dan
yang berkaitan dengan ketak terbatasannya.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
49
Definisi 2.35. Misalkan R
a
.
a. Interval buka tak terbatas adalah himpunan
a x
x a
: :
, R
atau
a x
x a
:
: ,
R
.
b. Interval tutup tak terbatas adalah himpunan
a x
x a
: :
, R
atau
a x
x a
:
: ,
R
.
Himpunan bilangan real R
merupakan himpunan yang tak terbatas dan dapat dinotasikan dengan
,
. Perlu diperhatikan bahwa simbol
atau
bukanlah bilangan real. Karenanya, dapat dikatakan bahwa R
ini tidak mempunyai titik-titik ujung.
Teorema 2.36 Karakterisasi Interval. Jika
R
S
adalah himpunan yang memuat paling sedikit dua elemen dan memiliki sifat :
jika
R
y x,
dan x
y
maka
, x y
S
, maka
S merupakan suatu interval.
Bukti. Kita akan membuktikannya untuk empat kasus. Kasus I,
S adalah himpunan terbatas.
Karena S
himpunan terbatas maka S
mempunyai infimum atau supremum. Misalkan infimum dan supremum dari
S adalah masing-masing, secara
berurutan,
a
dan b
. Jika x
S
maka a
x b
. Karenanya,
, x
a b
. Akibatnya,
, S
a b
.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
, a b
S
. Misalkan
, z
a b
atau a
z b
. Yang demikian berarti
z
bukan batas bawah dari S
. Akibatnya, terdapat
z
x S
sedemikian sehingga
z
x z
. Kita memperoleh pula bahwa
z
bukan batas atas dari S
. Itu artinya bahwa terdapat
z
y S
sedemikian sehingga
z
z y
. Kita mendapatkan bahwa
,
z z
z x y
. Karena menurut hipotesis,
,
z z
x y S
, maka
z S
. Karena yang demikian berlaku untuk sembarang
, z
a b
, maka
, a b
S
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
50
Jika
, a b
S
maka
, a b
S
. Karena telah diperoleh bahwa
, S
a b
, maka
, S
a b
. Jika
, a b
S
maka
, S
a b
cukup dinyatakan dengan
, S
a b
. Karena
, a b
S
dan
, S
a b
, maka
, S
a b
. Jika a
S
dan b
S
maka
, S
a b
dan
, a b
S
masing-masing, secara berurutan, cukup dinyatakan
, S
a b
dan
, a b
S
. Akibatnya, kita memperoleh
, S
a b
. Jika a
S
dan b
S
maka dapat ditunjukkan bahwa
, S
a b
.
Kasus II, S
adalah himpunan yang terbatas atas tetapi tidak terbatas bawah.
Karena S
terbatas atas, maka S
mempunyai supremum. Misalkan supremum dari
S adalah
b . Kita memperoleh bahwa
x b
, untuk setiap
x S
. Akibatnya,
, S
b
.
Berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa
, b S
. Misalkan
, z
b
atau z
b
. Karena
z
bukan batas atas dari S
, maka terdapat
z
y S
sedemikian sehingga
z
z y
. Karena S
tidak terbatas bawah, maka terdapat
z
x S
sedemikian sehingga
z
x z
. Akibatnya,
,
z z
z x y
. Karena menurut
hipotesis,
,
z z
x y S
, maka
z S
. Yang demikian berlaku untuk sembarang
, z
b
. Karena itu,
, b S
.
Jika b
S
maka
, b S
dapat pula dinyatakan dengan
, b S
.
Karena
, S
b
dan
, S
b
, maka
, S
b
. Jika b
S
maka
, S
b
cukup dinyatakan dengan
, S
b
Akibatnya, bersama dengan
, b S
, kita memperoleh bahwa
, S
a b
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
51
Kasus III, S
adalah himpunan yang tidak terbatas atas tetapi terbatas bawah.
Dengan cara yang serupa, seperti pada kasus II, dapat ditunjukkan bahwa
, S
a
atau
, S
a
dengan
a
adalah infimum dari S
.
Kasus IV, S
adalah himpunan yang tidak terbatas.
Berdasarkan hipotasis, jelas bahwa
R
S
. Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa
S
R
. Misalkan R
z
. Karena S
tidak terbatas, maka
z
bukanlah batas bawah dan batas atas dari
S . Akibatnya, terdapat
,
z z
x y S
sedemikian sehingga
z
x z
dan
z
z y
. Darinya, kita memiliki
,
z z
z x y
. Menurut hipotesis,
,
z z
x y S
. Akibatnya,
z S
. Karena hal ini berlaku untuk sembarang
R
z ,
maka
S
R
. Dengan demikian, S
R
. Jadi, secara keseluruhan, telah ditunjukkan bahwa
S merupakan suatu interval
di R
. ■
2.5 REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN REAL