Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
28
Terkait dengan elemen identitas 0 terhadap operasi penjumlahan dan 1 terhadap operasi perkalian, kita memiliki fakta bahwa kedua elemen ini
merupakan elemen yang unik atau tunggal. Selain itu, perkalian setiap elemen di
R dengan elemen 0 hasilnya adalah 0. Fakta-fakta ini, secara formal matematis,
dapat direpresentasikan dalam teorema berikut ini.
Teorema 2.2. a. Jika
R
a z,
dan
z a
a
maka z
.
b. Jika u b
b
dengan
R
b u,
dan b
maka
1. u
c. a
untuk setiap
R
a .
Bukti. a. Berdasarkan sifat T3, T4, T2, dan hipotesis
z a
a
,
z z
z a
a z
a a
a a
.
b. Berdasarkan sifat K1, K2, K3, dan hipotesis u b
b
, b
,
1 1
1 1
1 u
u u b
b u b
b b
b
.
c. Berdasarkan sifat K3, D, dan T3,
1 1 0
1 a
a a
a a
a a
.
Berdasarkan a., diperoleh bahwa a
.
■
Selain fakta di atas, kita juga memiliki fakta berikut ini.
Teorema 2.3. a. Jika
R
b a,
, a
, dan
1 a b
maka
1 b
a
.
b. Jika a b
maka
a
atau b
.
Bukti. a. Berdasarkan sifat K3, K4, K2, dan hipotesis
a
, dan 1
a b
,
1 1
1 1 1
1 b
b b a
a b a
a a
a
.
b. Andaikan a
dan
b
. Akibatnya,
1 1
a b a b
. Berdasarkan
hipotesis, yaitu a b
, dan Teorema 2.2.c., kita memiliki bahwa
1 0 1
a b a b
a b
,
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
29
Terjadi kontradiksi di sini, yaitu antara pernyataan
1 1
a b a b
dan
1 a b
a b
. Dengan demikian, haruslah bahwa a
atau
b
. ■
Teorema 2.3.a. mengatakan bahwa eksistensi invers dari suatu elemen di R
adalah unik. Sedangkan Teorema 2.3.b. mengandung arti bahwa perkalian dua elemen tak nol di
R
tidaklah mungkin menghasilkan elemen nol. Di dalam himpunan bilangan real
R dikenal pula operasi lain, yaitu operasi
pengurangan
dan pembagian
:
. Jika
R
b a,
maka operasi pengurangan didefinisikan
dengan
: a b
a b
sedangkan
operasi pembagian
didefinisikan dengan
: : 1
a b a
b
, b
.
2.2 SIFAT TERURUT DARI R
Seperti yang telah disinggung pada pendahuluan bab ini, sifat terurut dari R
berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real. Seperti apa kedua konsep tersebut? Di sini, kita akan membahasnya.
Terlebih dahulu kita akan membahas konsep kepositifannya.
Sifat 2.4 Sifat Kepositifan. Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R
, yang dinamakan himpunan bilangan real positif
R
, yang memenuhi sifat-sifat :
a. Jika
R
b a,
maka
R b
a
.
b. Jika
R
b a,
maka
R b
a
.
c. Jika R