Definisi Definisi Contoh Definisi Teorema Teorema Definisi

Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 13

1.2.6. Definisi

Suatu fungsi B A f  : dikatakan bijektif bila bersifat injektif dan surjektif. Bila suatu fungsi f bijektif, kita sebut f suatu bijeksi. Fungsi-Fungsi Invers Bila B A f  : suatu fungsi dari A ke B , karenanya, subhimpunan khusus dari B A  , maka pasangan berurut A B  diperoleh dengan saling menukar unsur pertama dan kedua di f . Secara umum hasil penukaran tersebut bukanlah fungsi. Tetapi bila f injektif, maka penukaran ini menghasilkan fungsi yang disebut invers dari f .

1.2.7. Definisi

Misalkan B A f  : suatu fungsi injektif dengan domain A dan   f R di B . Bila       f b a A B a b g     , , , maka g suatu fungsi injektif dengan     f R g D  dan range A . Fungsi g disebut fungsi invers dari f dan dituliskan . 1  f Dalam penulisan fungsi yang standar, fungsi 1  f berelasi dengan f sebagai berikut:   y f x 1   jika dan hanya jika   x f y  .

1.2.8. Contoh

Suatu fungsi   1   x x x f dengan     1    x R x f D bersifat injektif buktikan f suatu injeksi untuk latihan pembaca. Selanjutnya kita akan peroleh invers dari f adalah dirinya sendiri bukti diserahkan pada pembaca Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 14 Fungsi Komposisi Sering kita ingin mengkomposisikan dua buah fungsi dengan mencari   x f terlebih dahulu, kemudian menggunakan g untuk memperoleh     x f g , akan tetapi hal ini bisa dilakukan bila   x f ada didalam domain g . Jadi kita harus mengasumsikan bahwa     g D f R 

1.2.9. Definisi

Untuk fungsi B A f  : dan C B g  : , komposisi f g  adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan dengan       x f g x f g   untuk setiap A x  .

1.2.10. Teorema

Bila B A f  : dan C B g  : fungsi dan H suatu subhimpunan dari C . Maka             H f g H f g H g f 1 1 1 1 1          .

1.2.11. Teorema

Bila B A f  : dan C B g  : keduanya bersifat injektif, maka komposisi f g  juga bersifat injektif. Bukti teorema diberikan sebagai latihan bagi pembaca Barisan Fungsi dengan Ν sebagai domain memainkan aturan yang sangat khusus dalam analisis, yang akan kita perkenalkan daalam konsep barisan berikut ini.

1.2.12. Definisi

Suatu barisan dalam himpunan S adalah suatu fungsi yang domannya himpunan bilangan asli Ν dan rangenya termuat di S . Untuk barisan S X  Ν : , nilai X di Ν  n sering ditulis dengan n x daripada   n x , dan nilainya sering kita sebut suku ke- n barisan tersebut. Barisan itu sendiri sering dituliskan dengan   Ν  n x n atau lebih sederhana dengan   n x . Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 15 Sebagai contoh, barisan di R yang dituliskan dengan   Ν  n n sama artinya dengan fungsi R X  Ν : dengan   n n X  . Penting sekali untuk membedakan antara barisan   Ν  n x n dengan nilainya   Ν  n x n , yang merupakan subhimpunan dari S . Suku barisan harus dipandang mempunyai urutan yang diinduksi dari urutan bilangan asli, sedangkan range dari barisan hanya merupakan subhimpunan dari S . Sebagai contoh, suku-suku dari barisan     Ν   n n 1 berganti-ganti 1  dan 1 , tetapi range dari barisan tersebut adalah   1 , 1  , memuat dua unsur dari R Latihan 1.2. 1. Misalkan   1 1       x R x B A dan subhimpunan R dari R , apakah himpunan ini fungsi? 2. Misalkan f fungsi fungsi pada R yang didefinisikan dengan   2 x x f  , dan   1      x R x E dan   1     x R x F tunjukkan bahwa     F E dan       F E f . Sementara       1      x R y F f E f . Disini   F E f  adalah subhimpunan sejati dari     F f E f  . Apa yang terjadi bila dibuang dari E dan F ? 3. Bila E dan F seperti soal nomor 2. Tentukan F E \ dan     F f E f \ dan tunjukkan bahwa       F f E f F E f \ \  salah 4. Tunjukkan bahwa bila B A f  : dan E , F subhimpunan dari A , maka       F f E f F E f    dan       F f E f F E f    . 5. Tunjukkan bila B A f  : , dan G , H subhimpunan dari B , maka       H f G f H G f 1 1 1       dan       H f G f H G f 1 1 1       Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 16 6. Misalkan f didefinisikan dengan   R x x x x f    , 1 2 . Tunjukkan bahwa f bijektif dari R pada   1 1 :    y y . 7. Untuk R b a  , dengan b a  , tentukan bijeksi dari   b x a x A    pada   1    y y B . 8. Tunjukkan bahwa bila B A f  : bersifat injektif dari A E  , maka     E E f f  1 . Berikan suatu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila f tidak injektif. 9. Tunjukkan bahwa bila B A f  : bersifat surjektif, dan B H  , maka     H H f f  1 . Berikan satu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila f tidak surjektif. 10. Buktikan bila B A f  : suatu injeksi, maka      R b a a b f    , , 1 suatu fungsi dengan domain   f R . Kemudian buktikan bahwa 1  f injektif dan f invers dari 1  f . 11. Misalkan B A f  : injektif, tunjukkan bahwa   x x f f    1 untuk setiap   f D x  dan   y y f f  1  untuk setiap   f R y  . 12. Berikan contoh dua buah fungsi B A f  : , B A f  : dari B A f  : pada B A f  : sehingga B A f  : , tetapi B A f  : 13. Buktikan teorema 1.2.10 dan 1.2.11 14. Misalkan g f , fungsi dan   x x f g   untuk semua x di   f D . Tunjukkan bahwa f injektif dan     f D f R  dan     g D g R  . 15. Misalkan g f , fungsi dan dan   x x f g   untuk semua x di   f D dan   y g f  untuk semua y di   g D . buktikan bahwa 1   f g Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 17

1.3 INDUKSI MATEMATIKA