Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
13
1.2.6. Definisi
Suatu fungsi
B A
f
:
dikatakan bijektif bila bersifat injektif dan surjektif. Bila suatu fungsi
f
bijektif, kita sebut
f
suatu bijeksi.
Fungsi-Fungsi Invers
Bila
B A
f
:
suatu fungsi dari A
ke B
, karenanya, subhimpunan khusus dari
B A
, maka pasangan berurut
A B
diperoleh dengan saling
menukar unsur pertama dan kedua di
f
. Secara umum hasil penukaran tersebut bukanlah fungsi. Tetapi bila
f
injektif, maka penukaran ini menghasilkan fungsi yang disebut invers dari
f
.
1.2.7. Definisi
Misalkan
B A
f
:
suatu fungsi injektif dengan domain A
dan
f R
di B
. Bila
f b
a A
B a
b g
, ,
, maka g
suatu fungsi injektif dengan
f R
g D
dan range A
. Fungsi g
disebut fungsi invers dari
f
dan dituliskan
.
1
f
Dalam penulisan fungsi yang standar, fungsi
1
f
berelasi dengan
f
sebagai berikut:
y f
x
1
jika dan hanya jika
x f
y
.
1.2.8. Contoh
Suatu fungsi
1
x
x x
f dengan
1
x R
x f
D bersifat injektif
buktikan
f
suatu injeksi untuk latihan pembaca. Selanjutnya kita akan peroleh invers dari
f
adalah dirinya sendiri bukti diserahkan pada pembaca
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
14
Fungsi Komposisi
Sering kita ingin mengkomposisikan dua buah fungsi dengan mencari
x f
terlebih dahulu, kemudian menggunakan g
untuk memperoleh
x f
g
, akan tetapi hal ini bisa dilakukan bila
x f
ada didalam domain g
. Jadi kita harus mengasumsikan bahwa
g D
f R
1.2.9. Definisi
Untuk fungsi
B A
f
:
dan
C B
g
:
, komposisi
f g
adalah fungsi dari
A ke
C yang didefinisikan dengan
x f
g x
f g
untuk setiap A
x
.
1.2.10. Teorema
Bila
B A
f
:
dan
C B
g
:
fungsi dan H
suatu subhimpunan dari C
. Maka
H f
g H
f g
H g
f
1 1
1 1
1
.
1.2.11. Teorema
Bila
B A
f
:
dan
C B
g
:
keduanya bersifat injektif, maka komposisi
f g
juga bersifat injektif. Bukti teorema diberikan sebagai latihan bagi pembaca
Barisan
Fungsi dengan
Ν
sebagai domain memainkan aturan yang sangat khusus dalam analisis, yang akan kita perkenalkan daalam konsep barisan
berikut ini.
1.2.12. Definisi
Suatu barisan dalam himpunan S
adalah suatu fungsi yang domannya himpunan bilangan asli
Ν
dan rangenya termuat di S
. Untuk barisan
S X
Ν
: , nilai
X di
Ν
n sering ditulis dengan
n
x
daripada
n
x
, dan nilainya sering kita sebut suku ke-
n
barisan tersebut. Barisan itu sendiri sering dituliskan dengan
Ν
n x
n
atau lebih sederhana dengan
n
x
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
15
Sebagai contoh, barisan di R
yang dituliskan dengan
Ν
n n
sama artinya dengan fungsi
R X
Ν
: dengan
n n
X
. Penting sekali untuk membedakan antara barisan
Ν
n x
n
dengan nilainya
Ν
n x
n
, yang merupakan subhimpunan dari S
. Suku barisan harus dipandang mempunyai urutan yang diinduksi dari urutan bilangan asli,
sedangkan range dari barisan hanya merupakan subhimpunan dari S
. Sebagai contoh, suku-suku dari barisan
Ν
n
n
1
berganti-ganti 1
dan
1 , tetapi
range dari barisan tersebut adalah
1 ,
1
, memuat dua unsur dari R
Latihan 1.2.
1. Misalkan
1 1
x R
x B
A dan subhimpunan
R dari
R , apakah
himpunan ini fungsi? 2. Misalkan
f
fungsi fungsi pada R
yang didefinisikan dengan
2
x x
f
, dan
1
x R
x E
dan
1
x
R x
F tunjukkan
bahwa
F
E
dan
F
E f
. Sementara
1
x R
y F
f E
f .
Disini
F E
f
adalah subhimpunan sejati dari
F f
E f
. Apa yang terjadi bila
dibuang dari E
dan F
? 3. Bila
E dan
F seperti soal nomor 2. Tentukan
F E \
dan
F f
E f
\
dan tunjukkan bahwa
F f
E f
F E
f \
\
salah 4. Tunjukkan bahwa bila
B A
f
:
dan E
, F
subhimpunan dari A
, maka
F f
E f
F E
f
dan
F f
E f
F E
f
. 5. Tunjukkan bila
B A
f
:
, dan G
, H
subhimpunan dari B
, maka
H f
G f
H G
f
1 1
1
dan
H f
G f
H G
f
1 1
1
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
16
6. Misalkan
f
didefinisikan dengan
R x
x x
x f
,
1
2
. Tunjukkan bahwa
f
bijektif dari R
pada
1 1
:
y y
. 7. Untuk
R b
a
,
dengan b
a
, tentukan bijeksi dari
b x
a x
A
pada
1
y y
B .
8. Tunjukkan bahwa bila
B A
f
:
bersifat injektif dari
A E
, maka
E E
f f
1
. Berikan suatu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila
f
tidak injektif. 9. Tunjukkan bahwa bila
B A
f
:
bersifat surjektif, dan
B H
, maka
H H
f f
1
. Berikan satu contoh untuk menunjukkan kesamaan tidak dipenuhi bila
f
tidak surjektif. 10. Buktikan bila
B A
f
:
suatu injeksi, maka
R b
a a
b f
, ,
1
suatu fungsi dengan domain
f R
. Kemudian buktikan bahwa
1
f
injektif dan
f
invers dari
1
f
. 11. Misalkan
B A
f
:
injektif, tunjukkan bahwa
x x
f f
1
untuk setiap
f D
x
dan
y y
f f
1
untuk setiap
f R
y
. 12. Berikan contoh dua buah fungsi
B A
f
:
,
B A
f
:
dari
B A
f
:
pada
B A
f
:
sehingga
B A
f
:
, tetapi
B A
f
:
13. Buktikan teorema 1.2.10 dan 1.2.11 14. Misalkan
g f ,
fungsi dan
x x
f g
untuk semua
x
di
f D
. Tunjukkan bahwa
f
injektif dan
f D
f R
dan
g D
g R
. 15. Misalkan
g f ,
fungsi dan dan
x x
f g
untuk semua
x
di
f D
dan
y g
f
untuk semua y
di
g D
. buktikan bahwa
1
f g
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
17
1.3 INDUKSI MATEMATIKA