Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
27
2.1 Sifat Aljabar dari R
Sifat 2.1 Sifat Aljabar dari R
. Pada himpunan bilangan real R
yang dilengkapi operasi penjumlahan
dan operasi perkalian
berlaku sifat-sifat,
terhadap operasi penjumlahan : T1.
a b b
a
untuk setiap
R
b a,
T2.
a b c
a b
c
untuk setiap
R
c b
a , ,
T3. Terdapat elemen R
sedemikian sehingga
a a
a
untuk setiap
R
a
T4. Terdapat elemen R
a
sedemikian sehingga
a a
a a
untuk
setiap R
a
terhadap operasi perkalian : K1.
a b b a
untuk setiap
R
b a,
K2.
a b c a b c
untuk setiap
R
c b
a , ,
K3. Terdapat elemen R
1
sedemikian sehingga 1
1 a
a a
untuk setiap
a
K4. Terdapat elemen R
a
1 sedemikian sehingga
1 1
1 a
a a
a
untuk setiap
R
a ,
dan
D.
a b c
a b a c
dan
b c
a b a
c a
untuk setiap
R
c b
a , ,
.
Sifat T1 dan K1 merupakan sifat komutatif, sifat T2 dan K2 merupakan sifat asosiatif, sifat T3 dan K3 menunjukkan eksistensi elemen identitas, dan sifat T4
dan K4 menunjukkan eksistensi elemen invers, berturut-turut masing-masing terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Yang terakhir, sifat D merupakan
sifat distributif perkalian atas penjumlahan. Sifat T1-T4, K1-K4, dan D yang dipenuhi oleh semua elemen di
R , menjadikan
R dipandang sebagai suatu
lapangan.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
28
Terkait dengan elemen identitas 0 terhadap operasi penjumlahan dan 1 terhadap operasi perkalian, kita memiliki fakta bahwa kedua elemen ini
merupakan elemen yang unik atau tunggal. Selain itu, perkalian setiap elemen di
R dengan elemen 0 hasilnya adalah 0. Fakta-fakta ini, secara formal matematis,
dapat direpresentasikan dalam teorema berikut ini.
Teorema 2.2. a. Jika
R
a z,
dan
z a
a
maka z
.
b. Jika u b
b
dengan
R
b u,
dan b
maka
1. u
c. a
untuk setiap
R
a .
Bukti. a. Berdasarkan sifat T3, T4, T2, dan hipotesis
z a
a
,
z z
z a
a z
a a
a a
.
b. Berdasarkan sifat K1, K2, K3, dan hipotesis u b
Kategori