Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
70
Ada cara lain untuk menunjukkan bahwa suatu barisan bilangan real adalah barisan yang divergen. Teorema berikut, dinamakan Teorema Perbandingan,
menjelaskan kondisi yang membuat suatu barisan dikatakan sebagai barisan yang divergen.
Teorema 3.24. Jika
N
n x
n
:
dan
N
n y
n
:
adalah barisan bilangan real yang memenuhi
n n
y x
untuk setiap N
n
Maka
a. Jika
n n
x lim
maka
n n
y lim
.
b. Jika
n n
y lim
maka
n n
x lim
.
Bukti. a. Misalkan
M
. Karena
n n
x lim
, maka terdapat
N sehingga untuk
setiap N
n
berlaku
M x
n
. Karena
n n
y x
untuk setiap N
n
, maka
n n
y x
untuk setiap N
n
. Akibatnya,
M y
n
untuk setiap N
n
.. Karena
M
yang diberikan sembarang, maka
n n
y lim
.
b. Misalkan
M
. Karena
n n
y lim
, maka terdapat
N sehingga untuk
setiap N
n
berlaku
M y
n
. Karena
n n
y x
untuk setiap N
n
, maka
n n
y x
untuk setiap N
n
. Akibatnya,
M x
n
untuk setiap N
n
. Karena
M
yang diberikan sembarang, maka
n n
x lim
. ■
Namun demikian, tidaklah selalu kita bisa menjumpai kondisi dua barisan seperti yang ada pada hipotesis Teorema 3.24, sehingga kita tidak dapat
mengaplikasikan teorema tersebut untuk menunjukkan suatu barisan bilangan real adalah barisan yang divergen. Teorema di bawah ini, dinamakan sebagai
Teorema Perbandingan Limit, menjelaskan kondisi yang lebih umum dibandingkan kondisi pada Teorema 3.24 yang menjadikan suatu barisan
bilangan real dikatakan sebagai barisan divergen.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
71
Teorema 3.25. Jika
N
n x
n
:
dan
N
n y
n
:
adalah barisan bilangan real positif yang memenuhi
L y
x
n n
n
lim
dengan R
L
dan
L maka diperoleh bahwa
n n
x lim
jika dan hanya jika
n n
y lim
.
Bukti. Karena
L y
x
n n
n
lim
, maka jika diberikan 2
L
terdapat
N sedemikian sehingga untuk setiap
N n
berlaku
2 L
L y
x
n n
atau
2 3
2 L
y x
L
n n
atau
n n
n
y L
x y
L 2
3 2
. Akibatnya, kita mempunyai bahwa
n n
x y
L
2
dan
n n
y x
L
3 2
untuk N
n
. Berdasarkan Teorema 2.24, jika
n n
x lim
maka
n n
y lim
dengan menggunakan fakta
n n
y x
L
3 2
untuk N
n
. Dengan Teorema yang sama, jika
n n
y lim
maka
n n
x lim
dengan menggunakan fakta
n n
x y
L
2
untuk N
n
. Jadi
n n
x lim
jika dan hanya jika
n n
y lim
. ■
3.6 DERET TAK HINGGA