Jika Jika Misalkan Pengantar Analisis Real Bartle and Sherbert AnalisisRealKSA

Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 70 Ada cara lain untuk menunjukkan bahwa suatu barisan bilangan real adalah barisan yang divergen. Teorema berikut, dinamakan Teorema Perbandingan, menjelaskan kondisi yang membuat suatu barisan dikatakan sebagai barisan yang divergen. Teorema 3.24. Jika   N  n x n : dan   N  n y n : adalah barisan bilangan real yang memenuhi n n y x  untuk setiap N  n Maka

a. Jika

    n n x lim maka     n n y lim .

b. Jika

    n n y lim maka     n n x lim . Bukti. a. Misalkan  M . Karena     n n x lim , maka terdapat  N sehingga untuk setiap N n  berlaku M x n  . Karena n n y x  untuk setiap N  n , maka n n y x  untuk setiap N n  . Akibatnya, M y n  untuk setiap N n  .. Karena  M yang diberikan sembarang, maka     n n y lim .

b. Misalkan

 M . Karena     n n y lim , maka terdapat  N sehingga untuk setiap N n  berlaku M y n   . Karena n n y x  untuk setiap N  n , maka n n y x  untuk setiap N n  . Akibatnya, M x n   untuk setiap N n  . Karena  M yang diberikan sembarang, maka     n n x lim . ■ Namun demikian, tidaklah selalu kita bisa menjumpai kondisi dua barisan seperti yang ada pada hipotesis Teorema 3.24, sehingga kita tidak dapat mengaplikasikan teorema tersebut untuk menunjukkan suatu barisan bilangan real adalah barisan yang divergen. Teorema di bawah ini, dinamakan sebagai Teorema Perbandingan Limit, menjelaskan kondisi yang lebih umum dibandingkan kondisi pada Teorema 3.24 yang menjadikan suatu barisan bilangan real dikatakan sebagai barisan divergen. Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah 71 Teorema 3.25. Jika   N  n x n : dan   N  n y n : adalah barisan bilangan real positif yang memenuhi L y x n n n    lim dengan R  L dan  L maka diperoleh bahwa     n n x lim jika dan hanya jika     n n y lim . Bukti. Karena L y x n n n    lim , maka jika diberikan 2 L   terdapat  N sedemikian sehingga untuk setiap N n  berlaku 2 L L y x n n   atau 2 3 2 L y x L n n   atau     n n n y L x y L 2 3 2   . Akibatnya, kita mempunyai bahwa   n n x y L  2 dan   n n y x L  3 2 untuk N n  . Berdasarkan Teorema 2.24, jika     n n x lim maka     n n y lim dengan menggunakan fakta   n n y x L  3 2 untuk N n  . Dengan Teorema yang sama, jika     n n y lim maka     n n x lim dengan menggunakan fakta   n n x y L  2 untuk N n  . Jadi     n n x lim jika dan hanya jika     n n y lim . ■

3.6 DERET TAK HINGGA