Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
57
yang konvergen maka X
adalah barisan yang konvergen karena X
sendiri adalah sub barisan dari dirinya sendiri.
Bagaimana halnya dengan limit dari suatu barisan bilangan real yang konvergen, apakah tunggal atau tidak ? Misalkan
x
dan y
adalah limit dari barisan bilangan real yang konvergen
N
n
x X
n
: :
. Jika diberikan
terdapat
,
x y
N N
sehingga untuk setiap
x
n N
dan
y
n N
, berlaku, masing-masing secara
berurutan, 2
n
x x
dan
2
n
x y
. Misalkan
: ,
x y
N maks N N
. Selanjutnya, perhatikan bahwa, berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
2 2
n n
n n
x y
x x
x y
x x
x y
untuk semua .
n N
Karena
yang diberikan sembarang, maka
x y
atau
x y
. Yang demikian berarti bahwa limit dari suatu barisan bilangan real
yang konvergen adalah tunggal.
Teorema 3.6. Limit dari satu barisan bilangan real yang konvergen adalah
tunggal.
3.2 SIFAT-SIFAT BARISAN BILANGAN REAL Definisi 3.6. Barisan bilangan real
N
n
x X
n
: :
dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real
M
sedemikan sehingga
n
x M
untuk setiap
N
n .
Berkaitan dengan sifat keterbatasan barisan bilangan real tersebut kita memiliki teorema berikut ini.
Teorema 3.7. Barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas. Bukti. Misalkan barisan bilangan real
N
n
x X
n
: :
adalah barisan yang konvergen ke
R
x . Itu berarti bahwa jika kita ambil
maka terdapat bilangan real
N
sehingga
n
x x
untuk semua
n N
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
58
Selanjutnya, perhatikan bahwa, berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
n n
n
x x
x x
x x
x x
untuk semua
n N
.
Berikutnya, pilih
1 2
3 1
: ,
, ,...,
,
N
M maks x
x x
x x
. Jelas bahwa untuk setiap
N
n berlaku
n
x M
atau dengan kata lain barisan bilangan real
X adalah barisan yang terbatas.
■
Sekarang, Misalkan
N
n
x X
n
: :
dan
N
n
y Y
n
: :
adalah dua buah barisan bilangan real yang konvergen. Apakah
N
n
y x
Y X
n n
: :
,
N
n
cx cX
n
: :
dengan R
c
,
N
n
y x
XY
n n
: :
, dan
N
n
y x
Y X
n n
: :
juga barisan yang konvergen ? Teorema-teorema berikut ini menjelaskan hal tersebut.
Teorema 3.8. Jika X
dan Y
adalah barisan yang konvergen ke
x
dan y
, secara berurutan, dan
R
c maka barisan
X Y
,
cX , dan
XY adalah juiga
barisan yang konvergen, masing-masing secara berurutan, ke x
y
,
cx
, dan xy
.
Bukti. Misalkan
N
n
x X
n
: :
dan
N
n
y Y
n
: :
. Perhatikan bahwa, bedasarkan pertidaksamaan segitiga,
n n
n n
n n
x y
x y
x x
y y
x x
y y
.
X dan
Y adalah barisan yang konvergen ke
x
dan y
, maka jika diberikan
maka terdapat bilangan real
1 2
, N N
sedemikian sehingga untuk setiap
1
n N
dan
2
n N
, masing-masing secara berurutan, berlaku 2
n
x x
dan
2
n
y y
. Misalkan
1 2
: ,
N maks N N
. Jika
n N
maka
2 2
n n
n n
x y
x y
x x
y y
. Karena
yang diberikan sembarang, maka
X Y
konvergen ke
x y
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
59
Berikutnya, perhatikan bahwa
n n
cx cx
c x x
. Misalkan
c
. Jika diberikan
maka dengan memilih berapa pun bilangan
real N
, selalu berlaku
n n
cx cx
c x x
untuk setiap n
N
. Sekarang misalkan
c
. Karena X
adalah barisan yang konvergen ke
x
maka jika diberikan
maka terdapat bilangan real
N
sedemikian sehingga untuk setiap
n N
, berlaku
n
x x
c
. Akibatnya, untuk setiap
n N
,
n n
cx cx
c x x
c c
. Karena
yang diberikan sembarang, maka
cX konvergen ke
cx
. Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa barisan
XY konvergen ke
xy .
Pertama, perhatikan bahwa
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
x y xy
x y x y
x y xy
x y x y
x y xy
x y
y x
x y
Menurut Teorema 3.7, X
adalah barisan yang terbatas. Itu artinya terdapat bilangan real
L
sehingga
n
x L
untuk setiap
N
n . Misalkan
: ,
M maks L y
. Jika diberikan
maka terdapat bilangan real
1 2
, N N
sedemikian sehingga untuk setiap
1
n N
dan
2
n N
, masing-masing secara berurutan, berlaku
2
n
x x
M
dan
2
n
y y
M
. Misalkan
1 2
: ,
N maks N N
. Jika
n N
maka
2 2
n n
n n
n
x y xy
x y
y x
x y M
M M
M
. Karena
yang diberikan sembarang, maka
XY konvergen ke
xy .
■
Pembahasan berikutnya kita akan menunjukkan bahwa X Y
akan konvergen ke
x y
jika
y
. Tetapi sebelumnya, kita lihat terlebih dahulu teorema berikut iini.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
60
Teorema 3.9. Jika
N
n
y Y
n
: :
adalah barisan tak nol
n
y
untuk setiap
N
n yang konvergen ke
y
maka barisan
N
n
y Y
n
: 1
: 1
juga konvergen ke
1 y
.
Bukti. Jika
y
kita peroleh bahwa y
. Karena
Y adalah barisan yang
konvergen ke y
, maka terdapat
1
N
sehingga untuk setiap
1
n N
, berlaku
1 2
n
y y
y
. Karena
n n
y y
y y
atau
n n
n
y y
y y
y y
maka
1 2
n
y y
atau
1 2
n
y y
untuk setiap
1
n N
.
Selanjutnya, jika diberikan
maka terdapat
2
N
sehingga untuk setiap
2
n N
, berlaku
2
1 2
n
y y
y
. Kemudian, perhatikan bahwa, berdasarkan pertidaksamaan segitiga,
1 1
1
n n
n n
n
y y
y y
y y
y y y y
. Jika
1 2
: ,
N maks N N
maka untuk setiap
n N
, berlaku
2 2
1 1
1 2
1 2
n n
n
y y
y y
y y y
y
. Karena
yang diberikan sembarang, maka
1 Y konvergen ke
1 y
. ■
Berdasarkan Teorema 3.8 dan Teorema 3.9, jika X
adalah barisan bilangan real yang konvergen ke
x
dan Y
adalah barisan bilangan real tak nol yang konvergen ke
y
maka barisan bilangan real X Y
juga konvergen ke
x y
.
Teorema 3.10 Teorema Apit. Misalkan
N
n
x X
n
: :
,
N
n
y Y
n
: :
, dan
N
n
z Z
n
: :
adalah barisan-barisan bilangan real yang memenuhi
n n
n
x y
z
untuk setiap N
n
. Jika
lim lim
n n
n n
x z
L
maka
lim
n n
y L
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
61
Bukti. Jika diberikan
maka terdapat bilangan real
1 2
, N N
sedemikian sehingga untuk setiap
1
n N
dan
2
n N
, masing-masing secara berurutan, berlaku
n
L x
dan
n
z L
mengapa demikian ?.
1 2
: ,
N maks N N
.
Akibatnya, jika n
N
maka
n n
n
L x
y z
L
. Kita peroleh bahwa
n
L y
L
atau
n
y L
untuk setiap
n N
.
Karena
yang diberikan sembarang, maka
lim
n n
y L
. ■
Contoh berikut ini memperlihatkan bagaimana Teorema Apit diaplikasikan untuk menghitung limit suatu barisan.
Contoh 3.11. Kita akan menghitung limit dari barisan
N
n n
n :
cos
2
. Secara langsung, mungkin kita agak susah untuk menentukan limitnya. Perhatikan
bahwa 1 cos
1 n
untuk setiap N
n
. Karenanya, kita bisa memperoleh
2 2
2
1 cos
1 n
n n
n
untuk setiap
N
n .
Akibatnya,
2 2
2
1 cos
1 lim
lim lim
n n
n
n n
n n
. Jadi
2
cos lim
n
n n
atau
2
cos lim
n
n n
.
■
Barisan bilangan real yang terbatas belum tentu konvergen. Sebagai contoh, barisan bilangan real
N
n
n
: 1
adalah barisan yang terbatas tetapi tidak konvergen. Syarat cukup lain apa yang diperlukan sehingga barisan yang
terbatas merupakan barisan yang konvergen ? Pembahasan berikut akan menjelaskannya.
Definisi 3.12. Misalkan
N
n
x X
n
: :
adalah barisan bilangan real. Barisan X
dikatakan naik jika
1 2
1
... ...
n n
x x
x x
dan dikatakan turun jika
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
62
1 2
1
... ...
n n
x x
x x
. Barisan bilangan real yang naik atau turun disebut sebagai barisan yang monoton.
Teorema 3.13 Teorema Kekonvergenan Monoton. Misalkan
N
n
x X
n
: :
adalah barisan bilangan real yang monoton. Barisan bilangan real X
konvergen jika dan hanya jika
X terbatas. Lebih jauh,
i Jika
N
n
x X
n
: :
adalah barisan yang naik dan terbatas atas maka
N
n x
x
n n
n
: sup
lim
. ii Jika
N
n
x X
n
: :
adalah barisan yang turun dan terbatas bawah maka
N
n x
x
n n
n
: inf
lim
.
Bukti.
i Karena barisan X
terbatas atas, maka, menurut sifat kelengkapan dari
R ,
himpunan
N
n x
n
:
memiliki supremum. Misalkan
N
n
x x
n
: sup
. Jika diberikan
maka
x
bukanlah batas atas dari
N
n x
n
:
. Yang demikian mengandung arti terdapat
N
K sehingga
K
x x
x
. Karena X
adalah barisan naik dan
x
adalah batas atas dari
N
n x
n
:
maka kita mempunyai fakta bahwa
1 2
...
K K
K
x x
x x
x x
. Dengan kata lain,
n
x x
x
atau
n
x x
untuk setiap
n K
.
Karena
yang diberikan sembarang maka barisan
X konvergen ke
x
. ii Karena barisan
X terbatas bawah, maka, menurut sifat kelengkapan dari
R ,
himpunan
N
n x
n
:
memiliki infimum. Misalkan
N
n
x x
n
: inf
. Jika diberikan
maka
x
bukanlah batas bawah dari
N
n x
n
:
. Yang demikian mengandung arti terdapat
N
K sehingga
K
x x
x
. Karena X
adalah barisan turun dan
x
adalah batas bawah dari
N
n x
n
:
maka kita mempunyai fakta bahwa
2 1
...
K K
K
x x
x x
x x
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
63
Dengan kata lain,
n
x x
x
atau
n
x x
untuk setiap
n K
.
Karena
yang diberikan sembarang maka barisan
X konvergen ke
x
. ■
Contoh 3.14. kita akan menunjukkan bahwa barisan
N
n
x X
n
: :
yang suku-sukunya memenuhi hubungan rekursif
1
1 1
2
n n
x x
dengan
1
x
adalah barisan yang konvergen dengan menggunakan Teorema Kekonvergean Monoton. Akan kita perlihatkan bahwa
N
n
x X
n
: :
adalah barisan yang naik dan terbatas atas yang dibatas atasi oleh 2. Kedua hal itu akan ditunjukkan
dengan menggunakan induksi matematika. Kita peroleh bahwa
2
1 2 x
. Itu berarti bahwa
1 2
x x
. Sekarang asumsikan bahwa
1 k
k
x x
Kita akan membuktikan bahwa
1 2
k k
x x
. Karena
1 k
k
x x
, maka
1
1 1
1 1
2 2
k k
x x
atau
1 2
k k
x x
. Jadi
N
n
x X
n
: :
adalah barisan yang naik.
Jelas
1
2 x
. Asumsikan
2
k
x
. Akan ditunjukkan bahwa
1
2
k
x
. Perhatikan bahwa
1 1
1 1
3 2
1 2 1
2 2
2
k k
k k
x x
x x
.
Berdasarkan pernyataan terakhir, bisa juga kita katakan bahwa
2
n
x
untuk setiap
N
n . Ini berarti
X adalah barisan yang terbatas atas.
Karena
N
n
x X
n
: :
adalah barisan yang naik dan terbatas atas, maka, menurut Teorema Kekonvergenan Monoton, barisan
X konvergen. Perhatikan
bahwa
N
n x
X
n
: :
1
adalah sub barisan dari
N
n
x X
n
: :
. Karena X
adalah barisan yang konvergen, maka, menurut Teorema 3.5, X
juga merupakan barisan yang konvergen ke titik yang sama. Misalkan limit barisannya
adalah
x
. Perhatikan bahwa
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
64
1 1
1 1
1 1
lim lim
1 1
1 2
2 2
n n
n n
n n
x x
x x
x x
x
.
Jadi barisan bilangan real X
konvergen ke 1. ■
3.3 TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
