Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
29
Terjadi kontradiksi di sini, yaitu antara pernyataan
1 1
a b a b
dan
1 a b
a b
. Dengan demikian, haruslah bahwa a
atau
b
. ■
Teorema 2.3.a. mengatakan bahwa eksistensi invers dari suatu elemen di R
adalah unik. Sedangkan Teorema 2.3.b. mengandung arti bahwa perkalian dua elemen tak nol di
R
tidaklah mungkin menghasilkan elemen nol. Di dalam himpunan bilangan real
R dikenal pula operasi lain, yaitu operasi
pengurangan
dan pembagian
:
. Jika
R
b a,
maka operasi pengurangan didefinisikan
dengan
: a b
a b
sedangkan
operasi pembagian
didefinisikan dengan
: : 1
a b a
b
, b
.
2.2 SIFAT TERURUT DARI R
Seperti yang telah disinggung pada pendahuluan bab ini, sifat terurut dari R
berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real. Seperti apa kedua konsep tersebut? Di sini, kita akan membahasnya.
Terlebih dahulu kita akan membahas konsep kepositifannya.
Sifat 2.4 Sifat Kepositifan. Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R
, yang dinamakan himpunan bilangan real positif
R
, yang memenuhi sifat-sifat :
a. Jika
R
b a,
maka
R b
a
.
b. Jika
R
b a,
maka
R b
a
.
c. Jika R
a
maka salah satu diantara tiga hal, yaitu
R
a
, a
, dan
R a
, pasti terpenuhi. Sifat 2.4.c. disebut juga sebagai sifat Trichotomy. Sifat ini mengatakan bahwa
R
dibangun oleh tiga buah himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut adalah himpunan
R a
a :
yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan
, dan himpunan bilangan real positif
R
. Himpunan
R a
a :
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
30
bisa juga dituliskan dengan
R
. Jika
R
a
maka a
dan
a
dikatakan sebagai bilangan real positif. Jika
R
a
maka a
dan
a
dikatakan sebagai bilangan real nonnegatif. Jika
R
a
maka a
dan
a
dikatakan sebagai bilangan real negatif. Jika
R
a
maka a
dan
a
dikatakan sebagai bilangan real nonpositif.
Penjumlahan k
buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan k
. Himpunan bilangan
k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut sebagai himpunan
bilangan asli, dinotasikan dengan
N . Himpunan N ini merupakan himpunan
bagian dari himpunan
R
. Himpunan ini memiliki sifat fundamental, yakni bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari
N memiliki elemen terkecil. Sifat yang
demikian disebut sebagai sifat well-ordering dari
N .
Selanjutnya, jika kita ambil sembarang
N
k
maka
N
k
. Gabungan himpunan
N ,
, dan
: N
k k
membentuk suatu himpunan yang disebut
sebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan dengan
Z . Himpunan bilangan
asli
N disebut juga sebagai himpunan bilangan bulat positif, dinotasikan dengan
Z
, sedangkan himpunan
: Z
k k
disebut juga himpunan bilangan bulat
negatif, dinotasikan dengan
Z
. Dari himpunan
Z , kita bisa mengonstruksi bilangan dalam bentuk
m n , dengan
n
. Bilangan real yang dapat direpresentasikan dalam bentuk yang demikian disebut sebagai bilangan rasional. Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapat
direpresentasikan dalam bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan
Q . Dapat dikatakan bahwa himpunan
bilangan real
R
merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0 merupakan contoh
bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan bahwa
2
, akar dari persamaan
2
2 x
, merupakan contoh bilangan irasional lihat Bartle-Sherbert [1].
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
31
Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep ketidaksamaan antara dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang berkaitan dengan sifat terurut
dari R
.
Definisi 2.5. Misalkan
R
b a,
.
a. Jika
