Definisi Fungsi Kontinu Definisi .
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
89
BAB V
KEKONTINUAN FUNGSI
5.1 Definisi Fungsi Kontinu Definisi 5.1.
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan A
c
. f dikatakan kontinu di titik c jika untuk setiap lingkungan
c f
V
dari fc terdapat lingkungan
c V
dari c sehingga jika
c V
A x
maka
c f
V x
f
.
Berikut ini ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pengambilan titik c; 1. Jika
A c
, dimana c titik timbun A, maka dari definisi limit dan definisi fungsi
kontinu dapat disimpulkan bahwa
lim x
f c
f c
di kontinu
f
c x
. Dengan kata lain, jika c titik timbun A maka f dikatakan kontinu di titik c jika
memenuhi syarat
f terdefinisi di titik c
lim x
f
c x
ada
lim x
f c
f
c x
2. Jika A
c
, dimana c bukan titik timbun A, maka ada lingkungan
c V
dari c sehingga
} {
c c
V A
. Jadi dapat disimpulkan bahwa fungsi f jelas kontinu di titik
A c
walaupun c bukan titik timbun A. Titik ini disebut ”titik terisolasi dari A”.
Definisi selanjutnya akan membicarakan kekontinuan fungsi pada suatu himpunan.
Definisi 5.2.
Misalkan
R R
A f
A :
,
Jika
A B
, f dikatakan kontinu pada B jika f kontinu di setiap titik pada B.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
90
Teorema 5.3
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan A
c
. Pernyataan berikut ekuivalen : 1 f dikatakan kontinu di titik c jika untuk setiap lingkungan
c f
V
dari fc terdapat lingkungan
c V
dari c sehingga jika
c V
A x
maka
c f
V x
f
. 2 Untuk
, ,
c f
x f
c x
A x
. 3 Jika x
n
barisan bilangan riil,
R
n
A x
n
,
dan x
n
konvergen ke-c maka barisan fx
n
konvergen ke fc.
Kriteria Ketakkontinuan 5.4
Misalkan
R R
A f
A :
,
dan A
c
. f tidak kontinu di titik c jika dan hanya jika
x A
x
n n
konvergen ke c, fx
n
tidak konvergen ke fc.
Contoh 5.5
1. Misalkan fx = 2x. Buktikan fx kontinu pada R
. Bukti:
Ambil
sebarang dan R
c
sebarang. Pilih
2
2 2
2 ,
2 c
x c
x c
f x
f D
x c
x
f
. Sehingga menurut definisi kekontinuan fx kontinu pada
R .
2. Misalkan
R
x
x x
h ,
2
. Buktikan hx kontinu pada
R .
Bukti: Pada contoh 5.5 2 telah dibuktikan bahwa
lim
2
c h
c x
h
c x
dengan
R
c , maka h kontinu pada setiap titik
R
c . Sehingga h kontinu pada
R .
3. Misalkan
R
x
x x
f ,
sgn
. Buktikan bahwa fx tidak kontinu di x = 0. Bukti:
Pada contoh 4.9 2 telah dibuktikan bahwa
sgn lim
x
x
tidak ada di R
.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
91
Sehingga fx = sgn x tidak kontinudi x = 0. 4. Misalkan
R
A , dan f ”fungsi Di richlet” yang didefinisikan sebagai
berikut:
Q
x Q
x x
f \
, ,
1
Buktikan bahwa fx tidak kontinu di R
. Bukti:
Misalkan
Q c
, ambil
N
n c
x Q
x
n n
, ,
\
. Karena
N
n x
f
n
,
maka
lim
n n
x f
, tetapi fc = 1. Akibatnya f tidak kontinu pada
Q c
.
Misalkan
Q \
R
b
, ambil
N
n
b y
Q y
n n
, ,
. Karena
N
n y
f
n
, 1
maka
1 lim
n n
y f
, tetapi fb = 0. Akibatnya f tidak kontinu pada
Q \
R
b
. Dari kedua kasus di atas dapat diambil kesimpulan f tidak kontinu pada
R .
Selanjutnya ada beberapa hal tentang perluasan fungsi kontinu; 1 Terkadang ada fungsi
R
A f :
yang tidak kontinu di titik c karena fc tidak terdefinisi.Tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c maka dapat
didefinisaikan fungsi baru
R
} {
: c
A F
yang didefinisikan sebagai berikut:
A x
, x
f c
x ,
L x
F
Maka F kontinu di titik c. 2 Misalkan fungsi
R
A g :
tidak mempunyai limit di titik c, maka tidak dapat dibuat fungsi
R
} {
: c
A G
yang kontinu di titik c dan didefinisikan sebagai berikut:
A x
, x
g c
x ,
C x
G
Untuk membuktikan pernyataan di atas andaikan
C x
G lim
c x
. Bukti selengkapnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
92
Contoh 5.6
1 Misalkan
1
x
, x
sin x
g
. Karena
x g
lim
x
tidak ada, maka kita tidak dapat memperluas fungsi gx di titik x = 0.
2 Misalkan
1
x
, x
sin x
x f
. Karena f0 tidak terdefinisi dan f tidak kontinu di titik x = 0 tetapi
1
x sin
x lim
x
, maka kita dapat memperluas fungsi fx menjadi
R R
:
F yang didefinisikan sebagai berikut:
1
x ,
x sin
x x
, x
F .
Sehingga F kontinu di x = 0.