Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
92
Contoh 5.6
1 Misalkan
1
x
, x
sin x
g
. Karena
x g
lim
x
tidak ada, maka kita tidak dapat memperluas fungsi gx di titik x = 0.
2 Misalkan
1
x
, x
sin x
x f
. Karena f0 tidak terdefinisi dan f tidak kontinu di titik x = 0 tetapi
1
x sin
x lim
x
, maka kita dapat memperluas fungsi fx menjadi
R R
:
F yang didefinisikan sebagai berikut:
1
x ,
x sin
x x
, x
F .
Sehingga F kontinu di x = 0.
5.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu
Misalkan
R R
R
b A
h g
f A
, :
, ,
,
. Pada definisi 3.12 telah dibahas tentang penjumlahan f + g, selisih f - g, perkalian dua fungsi fg, dan perkalian fungsi
dengan skalar bf serta pembagian f h dengan
A x
x h
,
. Berikut ini akan membahas penjumlahan, selisih, perkalian dua fungsi, dan perkalian fungsi
dengan skalar serta pembagian fungsi kontinu.
Teorema 5.7.
Misalkan
R R
R
b A
g f
A ,
: ,
,
. Misalkan A
c
dan f dan g kontinu di titik c,
a Maka f + g, f - g, fg, bf kontinu di titik c. b Jika
A :
h kontinu di
A c
dan jika
A x
, x
h
0
maka f h kontinu di titik c.
Bukti:
a. Untuk membuktikan teorema di atas, dibagi menjadi dua kasus :
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
93
1. Jika c bukan titik timbun A 2. Jika c titik timbun A, f kontinu di titik c, dan g kontinu di titik c maka
lim c
f x
f
c x
dan
lim c
g x
g
c x
. Sehingga
lim lim
lim lim
x g
x f
x g
x f
x g
f
c x
c x
c x
c x
c
g f
c g
c f
Akibatnya f + g kontinu di titik c. ■
Teorema 5.8.
Misalkan
R R
R
b A
g f
A ,
: ,
,
. Misalkan A
c
dan f dan g kontinu pada A,
a Maka f + g, f - g, fg, bf kontinu pada A. b Jika
R
A h :
kontinu pada A dan jika
A x
, x
h
0
maka f h kontinu di pada A.
Teorema 5.9.
Misalkan
R R
A f
A :
,
, dan misalkan | f | didefinisikan sebagai A
x x
f x
f
, .
a Jika f kontinu di titik A
c
maka | f | kontinu di titik c. b Jika f kontinu pada A maka | f | kontinu pada A.
Bukti teorema 5.8 dan 5.9 diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Teorema 5.10.
Misalkan
A x
x f
A f
A
, :
, R
R
, dan misalkan f
didefinisikan sebagai
A x
x f
x f
,
a Jika f kontinu di titik A
c
maka f
kontinu di titik c. b Jika f kontinu pada A maka
f kontinu pada A.
Bukti.
a Ambil
sebarang. Misalkan A
c
. Jika
c
f
maka
c
f .
Karena f kontinu di A
c
maka
Mencintai ilmu adalah cara termudah untuk mempelajarinya Abu Abdillah
94
2
,
x f
x f
c x
A x
atau
c
f x
f x
f
.
Sekarang misalkan A
c
dan
c
f
. Karena Karena f kontinu di A
c
maka
c f
c f
x f
c x
A x
,
. Perhatikan bahwa
c x
A x
, berlaku
c f
c f
c f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
c f
x f
Jadi terbukti f
kontinu di titik c. ■
Pada teorema 5.7 membahas tentang perkalian dua fungsi kontinu adalah kontinu. Selanjutnya akan dibahas tentang komposisi fungsi kontinu.
Komposisi Fungsi Kontinu Teorema 5.11.
Misal
B A
f B
g A
f B
A
, :
, :
, ,
R R
R
. Jika f kontinu di titik A
c
dan g kontinu pada
B c
f b
maka
R
A f
g :
kontinu di titik c.
Teorema 5.12.
Misal
B A
f B
g A
f B
A
, :
, :
, ,
R R
R
. Misalkan f kontinu pada A dan g kontinu pada B . Jika
B A
f
maka
R
A f
g :
kontinu pada A. Bukti teorema 5.11 dan 5.12 diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
5.3 Fungsi Kontinu pada Interval Definisi 5.13.
